starożytne źródła matematyczne

system liczbowy i operacje arytmetyczne

W Przeciwieństwie Do Egipcjan, matematycy z okresu Starego Babilonu znacznie wykraczali poza bezpośrednie wyzwania związane z ich oficjalnymi obowiązkami księgowymi., Na przykład wprowadzili wszechstronny system liczbowy, który, podobnie jak nowoczesny system, wykorzystywał pojęcie wartości miejsca, i opracowali metody obliczeniowe, które wykorzystywały ten sposób wyrażania liczb; rozwiązywali problemy liniowe i kwadratowe metodami podobnymi do tych, które obecnie są używane w algebrze; ich sukces w badaniu tego, co obecnie nazywa się potrójnymi liczbami Pitagorejskimi, był niezwykłym wyczynem w teorii liczb. Uczeni w Piśmie, którzy dokonali takich odkryć, musieli wierzyć, że matematyka jest warta studiowania sama w sobie, a nie tylko jako praktyczne narzędzie.,

starszy sumeryjski system liczbowy stosował zasadę addytywnego dziesiętnego (base-10) podobną do tej stosowanej w Egipcjanach. Ale stary system Babiloński przekształcił to w system wartości miejsca z podstawą 60 (sexagesimal). Powody wyboru 60 są niejasne, ale jednym z dobrych matematycznych powodów mogło być istnienie tak wielu dzielników (2, 3, 4 i 5 oraz niektórych wielokrotności) bazy, co znacznie ułatwiłoby działanie podziału., Dla liczb od 1 do 59 symbole dla 1 i dla 10 zostały połączone w prosty sposób addytywny (np. Jednak aby wyrazić większe wartości, Babilończycy zastosowali pojęcie wartości miejsca., Na przykład 60 zostało zapisane jako , 70 jako , 80 jako I tak dalej. W rzeczywistości może reprezentować dowolną moc 60. Kontekst określał, która władza była zamierzona. W III wieku p. n. e.Babilończycy opracowali symbol zastępczy, który funkcjonował jako zero, ale jego dokładne znaczenie i użycie jest wciąż niepewne., Ponadto nie miały one znaku oddzielającego liczby na części integralne i ułamkowe (jak przy współczesnym przecinku dziesiętnym). Tak więc trzyosobowa Liczba 3 7 30 może reprezentować 31/8 (tj., 3 + 7/60 + 30/602), 1871/2 (tj., 3 × 60 + 7 + 30/60), 11,250 (tj., 3 × 602 + 7 × 60 + 30), lub wielokrotność tych liczb o dowolną moc 60.

cztery operacje arytmetyczne były wykonywane w taki sam sposób, jak we współczesnym systemie dziesiętnym, z tą różnicą, że przenoszenie miało miejsce, gdy suma osiągnęła 60, a nie 10., Mnożenie ułatwiono za pomocą tablic. jedna z typowych tablic wymienia wielokrotności liczby przez 1, 2, 3,…, 19, 20, 30, 40, i 50. Aby pomnożyć dwie liczby kilka miejsc długo, skryba najpierw złamał problem w dół do kilku mnożenia, każdy przez liczbę jednego miejsca, a następnie spojrzał na wartość każdego produktu w odpowiednich tabelach. Znalazł odpowiedź na problem, sumując te pośrednie wyniki. Tabele te wspomagały również podział, gdyż wartości, które je kierują, były zawsze odwrotnością liczb regularnych.,

liczby Regularne to te, których czynniki pierwsze dzielą bazę; wzajemności takich liczb mają więc tylko skończoną liczbę miejsc (dla kontrastu, wzajemności liczb nieregularnych wytwarzają nieskończenie powtarzającą się liczbę). W bazie 10, na przykład, tylko liczby o współczynnikach 2 i 5 (np. 8 lub 50) są regularne, a wzajemności (1/8 = 0,125, 1/50 = 0.,02) mają skończone wyrażenia; ale odwrotności innych liczb (takich jak 3 i 7) powtarzają się nieskończenie I , odpowiednio, gdzie pasek wskazuje cyfry, które stale się powtarzają). W bazie 60 tylko liczby o współczynnikach 2, 3 i 5 są regularne; na przykład 6 i 54 są regularne, tak że ich wzajemności (10 i 1 6 40) są skończone. Pozycje w tablicach mnożenia dla 1 6 40 są zatem jednocześnie wielokrotnościami jej odwrotności 1/54., Aby podzielić liczbę przez dowolną liczbę regularną, można zapoznać się z tabelą wielokrotności dla jej odwrotności.

ciekawa tabliczka z kolekcji Yale University pokazuje kwadrat z przekątnymi. Po jednej stronie jest napisane „30”, pod jedną przekątną „42 25 35”, a po prawej wzdłuż tej samej przekątnej „1 24 51 10” (tj., 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603). Ta trzecia liczba jest poprawną wartością pierwiastka kwadratowego√2 do czterech miejsc płciowych (odpowiednik w systemie dziesiętnym 1.,414213…, która jest za niska tylko o 1 na siódmym miejscu), natomiast druga liczba jest iloczynem trzeciej Liczby i pierwszej, a więc daje długość przekątnej, gdy bok wynosi 30. Skryba wydaje się więc znać odpowiednik znanej długiej metody znajdowania pierwiastków kwadratowych. Dodatkowym elementem złożoności jest to, że wybierając 30 (czyli 1/2) dla boku, skryba otrzymuje jako przekątną odwrotność wartości pierwiastka kwadratowego√2 (od pierwiastka kwadratowego√2/2 = 1/pierwiastek kwadratowy√2), wynik przydatny dla celów podziału.,