Das Zahlensystem und die arithmetischen Operationen
Im Gegensatz zu den Ägyptern gingen die Mathematiker der alten babylonischen Zeit weit über die unmittelbaren Herausforderungen ihrer offiziellen Buchhaltungspflichten hinaus., Zum Beispiel führten sie ein vielseitiges Zahlensystem ein, das, wie das moderne System, den Begriff des Ortswerts ausnutzte, und sie entwickelten Rechenmethoden, die diese Ausdrucksmittel zum Ausdruck von Zahlen nutzten; Sie lösten lineare und quadratische Probleme mit Methoden, ähnlich denen, die jetzt in der Algebra verwendet werden; Ihr Erfolg beim Studium der sogenannten pythagoräischen Zahlentripel war eine bemerkenswerte Leistung in der Zahlentheorie. Die Schriftgelehrten, die solche Entdeckungen gemacht haben, müssen geglaubt haben, dass Mathematik ein eigenes Studium verdient, nicht nur als praktisches Werkzeug.,
Das ältere sumerische Zahlensystem folgte einem additiven Dezimalprinzip (Basis-10) ähnlich dem der Ägypter. Aber das alte babylonische System wandelte dies in ein Ort-Wert-System mit der Basis von 60 (sexagesimal) um. Die Gründe für die Wahl von 60 sind unklar, aber ein guter mathematischer Grund könnte die Existenz so vieler Teiler (2, 3, 4 und 5 und einiger Vielfacher) der Basis gewesen sein, was die Funktionsweise der Teilung erheblich erleichtert hätte., Für Zahlen von 1 bis 59 wurden die Symbole für 1 und 
für 10 additiv kombiniert (z.B.
(32). Aber um größere Werte auszudrücken, wandten die Babylonier das Konzept des Ortswerts an., Zum Beispiel wurde 60 als geschrieben, 70 als , 80 als und so weiter. Tatsächlich könnte jede Potenz von 60 darstellen. Der Kontext bestimmte, welche Macht beabsichtigt war. Jahrhundert v. Chr. scheinen die Babylonier ein Platzhaltersymbol entwickelt zu haben, das als Null fungierte, aber seine genaue Bedeutung und Verwendung ist noch ungewiss., Darüber hinaus hatten sie keine Markierung, um Zahlen in Integral-und Bruchteile zu trennen (wie beim modernen Dezimalpunkt). Somit könnte die Drei-Platz-Zahl 3 7 30 31/8 (d.h., 3 + 7/60 + 30/602), 1871/2 ( = = , 3 × 60 + 7 + 30/60), 11,250 ( = = , 3 × 602 + 7 × 60 + 30), oder ein Vielfaches dieser Zahlen mit einer Potenz von 60.
Die vier arithmetischen Operationen wurden wie im modernen Dezimalsystem ausgeführt, mit der Ausnahme, dass sie immer dann auftraten, wenn eine Summe 60 anstelle von 10 erreichte., Die Multiplikation wurde mittels Tabellen erleichtert; Eine typische Tablette listet die Vielfachen einer Zahl durch 1, 2, 3,…, 19, 20, 30, 40, und 50. Um zwei Zahlen an mehreren Stellen zu multiplizieren, zerlegte der Schreiber das Problem zuerst in mehrere Multiplikationen mit jeweils einer Ein-Ort-Nummer und suchte dann den Wert jedes Produkts in den entsprechenden Tabellen nach. Er fand die Antwort auf das Problem, indem er diese Zwischenergebnisse addierte. Diese Tabellen unterstützten auch bei der Teilung, denn die Werte, die sie anführten, waren alle Reziproke regulärer Zahlen.,
Reguläre Zahlen sind solche, deren Primfaktoren die Basis teilen; Die Reziproken solcher Zahlen haben daher nur eine endliche Anzahl von Stellen (im Gegensatz dazu erzeugen die Reziproken nicht regulärer Zahlen eine sich unendlich wiederholende Zahl). In Basis 10 sind beispielsweise nur Zahlen mit Faktoren von 2 und 5 (z. B. 8 oder 50) regelmäßig und die Reziproken (1/8 = 0,125, 1/50 = 0.,02) endliche Ausdrücke haben; aber die Reziproken anderer Zahlen (wie 3 und 7) wiederholen sich unendlich 
und 
, wobei der Balken die Ziffern anzeigt, die sich ständig wiederholen). In der Basis 60 sind nur Zahlen mit den Faktoren 2, 3 und 5 regulär; Zum Beispiel sind 6 und 54 regulär, so dass ihre Reziproken (10 und 1 6 40) endlich sind. Die Einträge in der Multiplikationstabelle für 1 6 40 sind somit gleichzeitig Vielfache ihrer reziproken 1/54., Um eine Zahl durch eine beliebige reguläre Zahl zu teilen, kann man die Tabelle der Vielfachen für ihre reziproke konsultieren.
Eine interessante Tafel in der Sammlung der Yale University zeigt ein Quadrat mit seinen Diagonalen. Auf einer Seite steht „30“, unter einer Diagonale „42 25 35“ und rechts entlang derselben Diagonale „1 24 51 10“ (d. H., 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603). Diese dritte Zahl ist der korrekte Wert der Quadratwurzel von√2 bis vier sexagesimalen Stellen (entspricht im Dezimalsystem 1.,414213…, die um nur 1 an siebter Stelle zu niedrig ist), während die zweite Zahl das Produkt der dritten Zahl und der ersten ist und so die Länge der Diagonale ergibt, wenn die Seite 30 ist. Der Schreiber scheint also ein Äquivalent der bekannten langen Methode des Findens von Quadratwurzeln gekannt zu haben. Ein zusätzliches Element der Raffinesse ist, dass der Schreiber durch Auswahl von 30 (dh 1/2) für die Seite als Diagonale den Kehrwert des Wertes der Quadratwurzel von√2 (seit Quadratwurzel von√2/2 = 1/Quadratwurzel von√2) erhält, ein Ergebnis, das für Zwecke der Teilung nützlich ist.,
Yale Babylonian Collection
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