Gamle matematiske kilder

tallsystem og aritmetiske operasjoner

i Motsetning til Egypterne, matematikere av den Gamle Babylonske periode gikk langt utover den umiddelbare utfordringene i sitt offisielle regnskap plikter., For eksempel, de introduserte en allsidig tallsystem, som i likhet med den moderne system, utnyttet begrepet sted verdi, og utviklet de beregningsmetoder som tok seg av dette middel til å uttrykke tall; de løste lineære og kvadratiske problemer med metoder mye som de nå brukt i algebra; deres suksess med studiet av det som nå kalles Pytagoreisk tall tremannsrom var en bemerkelsesverdig prestasjon i tallteori. De skriftlærde som har gjort slike funn må antas matematikk for å være verdig til å studere i sin egen rett, ikke bare som et praktisk verktøy.,

Den gamle Sumeriske system av tallord fulgte en additiv desimal (base-10) prinsippet lik som Egypterne. Men den Gamle Babylonske systemet konverterte dette til et sted-verdi system med base på 60 (sexagesimal). Grunnene for valget av 60 er obskur, men en god matematisk grunn kan ha vært eksistensen av så mange divisors (2, 3, 4, og 5, og noen flere) av basen, som ville ha sterkt lettere driften av avdelingen., For tall fra 1 til 59, symboler for 1 og for 10 ble kombinert i en enkel additiv måte (f.eks., representert 32). Men å gi uttrykk for større verdier, Babylonerne brukte begrepet sted verdi., For eksempel, 60 var skrevet som , 70 som , 80 som , og så videre. Faktisk, kunne representere noen makt over 60. Sammenhengen bestemt hvilken makt var ment. Av det 3. århundre f.kr., Babylonerne, synes å ha utviklet en plassholder symbol som fungerte som et null, men den presise betydningen og bruken er fortsatt usikkert., Videre hadde de ikke merke til separate tall i integrert og brøk deler (som med moderne desimaltegn). Dermed, de tre-sted tall 3 7 30 kunne representere 31/8 (dvs., 3 + 7/60 + 30/602), 1871/2 (dvs., 3 × 60 + 7 + 30/60), 11,250 (dvs., 3 × 602 + 7 × 60 + 30), eller flere av disse numrene av noen makt over 60.

De fire aritmetiske operasjonene ble utført på samme måte som i moderne desimal system, bortsett fra at balanseført oppstod når en sum nådd 60 heller enn 10., Multiplikasjon ble løst ved hjelp av tabeller; en vanlig tablett inneholder multipler av et nummer av 1, 2, 3,…, 19, 20, 30, 40, og 50. For å multiplisere to tall flere steder i lang tid, skriver først brøt det problemet ned i flere multiplications, hver av en en-plass nummer, og da sett opp verdien av hvert enkelt produkt i de aktuelle tabellene. Han har funnet svaret på problemet ved å legge opp disse mellomliggende resultatene. Disse tabellene er også bistått i divisjonen, for de verdier som leder dem alle var reciprocals av vanlige tall.,

Faste numre er de som prime faktorer dele base; den reciprocals av slike tall har derfor bare et begrenset antall plasser (i motsetning reciprocals av nonregular tall produsere et uendelig gjenta tall). I base 10, for eksempel, bare tall med faktorer av 2 og 5 (f.eks., 8 eller 50) er vanlig, og reciprocals (1/8 = 0.125, 1/50 = 0.,02) har endelig uttrykk; men reciprocals av andre tall (for eksempel 3 og 7) gjenta uendelig og , henholdsvis, der linjen indikerer tallene at stadig gjenta). I base 60, bare tall med faktorer av 2, 3, og 5 er vanlig, for eksempel, 6 og 54 er vanlig, slik at deres reciprocals (10 og 1 6 40) er begrenset. Oppføringene i multiplikasjon tabellen for 1 6 40 er dermed samtidig multipler av sin gjensidige 1/54., Å dele et tall ved noen vanlige nummer, og deretter kan man se tabell av multispill for sin gjensidige.

Et interessant nettbrettet i samlingen av Yale University viser et kvadrat med sin diagonaler. På den ene siden er det skrevet: «30,» under en diagonal «42 25 35,» og til høyre langs den samme diagonal «1 24 51 10» (dvs., 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603). Denne tredje nummeret er riktig verdi av kvadratroten av√2 for å fire sexagesimal steder (tilsvarende i desimal system-til-1.,414213…, som er for lavt med bare 1 i syvende plass), mens det andre tallet er et produkt av det tredje tallet og første og så gir lengden av diagonalen når siden er 30. Den skriftlærde dermed synes å ha kjent en tilsvarende kjent lenge metode for å finne kvadratrøtter. En ekstra element av raffinement er at ved å velge 30 (som er, 1/2) for siden, skriver oppnådd som diagonal resiproke verdien av kvadratroten av√2 (siden kvadratroten av√2/2 = 1/kvadratroten av√2), et resultat nyttig for det formål å divisjon.,