surse matematice antice

sistemul numeric și operațiile aritmetice

spre deosebire de egipteni, matematicienii din vechea perioadă babiloniană au depășit cu mult provocările imediate ale îndatoririlor lor contabile oficiale., De exemplu, ei au introdus un versatil sistem de numerație, care, la fel ca sistem modern, exploatate noțiunea de valoare loc, și-au dezvoltat metode de calcul care au profitat de acest mijloc de a exprima numere; au rezolvat liniare și pătratice probleme prin metode asemănătoare cu cele folosite acum în algebra; succesul lor cu studiul a ceea ce se numește acum teorema lui numărul triple a fost o realizare remarcabilă în teoria numerelor. Scribii care au făcut astfel de descoperiri trebuie să fi crezut că matematica este demnă de studiu în sine, nu doar ca un instrument practic.,sistemul Sumerian mai vechi de cifre a urmat un principiu zecimal aditiv (baza-10) similar cu cel al egiptenilor. Dar vechiul sistem babilonian a transformat acest lucru într-un sistem de valori locale cu baza de 60 (sexagesimal). Motivele alegerii lui 60 sunt obscure, dar un bun motiv matematic ar fi putut fi existența atâtor divizori (2, 3, 4 și 5 și câțiva multipli) ai bazei, ceea ce ar fi facilitat foarte mult funcționarea diviziunii., Pentru numerele de la 1 la 59, simbolurile 1 si pentru 10 au fost combinate într-simplu aditiv mod (de exemplu, reprezentat 32). Dar pentru a exprima valori mai mari, babilonienii au aplicat conceptul de valoare a locului., De exemplu, 60 a fost scris ca , 70 ca , 80 , și așa mai departe. De fapt, ar putea reprezenta orice putere de 60. Contextul a determinat ce putere a fost destinată. Până în secolul al III-lea î.hr., babilonienii par să fi dezvoltat un simbol substituent care a funcționat ca un zero, dar sensul său precis și utilizarea este încă incertă., Mai mult, nu aveau nicio marcă care să separe numerele în părți integrale și fracționare (ca în cazul punctului zecimal modern). Astfel, trei-loc numeral 3 7 30 ar putea reprezenta 31/8 (de exemplu,, 3 + 7/60 + 30/602), 1871/2 ( de exemplu, 3 × 60 + 7 + 30/60), 11,250 (de exemplu, 3 × 602 + 7 × 60 + 30), sau mai multe dintre aceste numere de orice putere de 60.cele patru operații aritmetice au fost efectuate în același mod ca în sistemul zecimal modern, cu excepția faptului că transportul a avut loc ori de câte ori o sumă a ajuns la 60, mai degrabă decât la 10., Multiplicarea a fost facilitată prin intermediul tabelelor; o tabletă tipică listează multiplii unui număr prin 1, 2, 3,…, 19, 20, 30, 40, și 50. Pentru a multiplica două numere mai multe locuri lungi, scribul a rupt mai întâi problema în mai multe multiplicări, fiecare cu un număr de un loc, apoi a căutat valoarea fiecărui produs în tabelele corespunzătoare. El a găsit răspunsul la problemă adăugând aceste rezultate intermediare. Aceste tabele, de asemenea, asistat în divizare, pentru valorile pe care le cap au fost toate reciprocitățile de numere regulate.,

numere Obișnuite sunt cele ale căror factori împărțiți bază; inversului de astfel de numere, astfel, au numai un număr finit de locuri (prin contrast, inversului de neregulate numere produce un infinit repetarea numeral). În baza 10, de exemplu, numai numerele cu factori de 2 și 5 (de exemplu, 8 sau 50) sunt regulate, iar reciprocitățile (1/8 = 0.125, 1/50 = 0.,02), au durate de expresii; dar reciproce de alte numere (cum ar fi de 3 și 7) se repetă la infinit și , respectiv, în cazul în care bara indică cifre care se repeta continuu). În baza 60, numai numerele cu factori de 2, 3 și 5 sunt regulate; de exemplu, 6 și 54 sunt regulate, astfel încât reciprocitățile lor (10 și 1 6 40) sunt finite. Intrările din tabelul de înmulțire pentru 1 6 40 sunt astfel multipli simultan ai 1/54 reciproc., Pentru a împărți un număr cu orice număr obișnuit, atunci se poate consulta tabelul multiplilor pentru reciprocitatea sa.o tabletă interesantă din colecția Universității Yale arată un pătrat cu diagonalele sale. Pe o parte este scris „30,” sub o diagonală „42 25 35,” și chiar de-a lungul aceeași diagonală „1 24 51 10” (ex., 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603). Acest al treilea număr este valoarea corectă a rădăcinii pătrate a√2 până la patru locuri sexagesimale (echivalent în sistemul zecimal la 1.,414213…, care este prea mică cu doar 1 pe locul șapte), în timp ce al doilea număr este produsul celui de-al treilea număr și primul și astfel dă lungimea diagonalei atunci când latura este 30. Scribul pare astfel să fi cunoscut un echivalent al metodei familiare lungi de a găsi rădăcini pătrate. Un element suplimentar de sofisticare este acela că, alegând 30 (adică 1/2) pentru lateral, scribul a obținut ca diagonală reciproca valorii rădăcinii pătrate a√2 (deoarece rădăcina pătrată a√2/2 = 1/rădăcina pătrată a√2), rezultat util în scopul divizării.,