Antiche fonti matematiche

Il sistema numerico e le operazioni aritmetiche

A differenza degli egiziani, i matematici del vecchio periodo babilonese andarono ben oltre le sfide immediate dei loro doveri contabili ufficiali., Per esempio, hanno introdotto un versatile sistema numerale, che, come il moderno sistema, sfruttando la nozione di valore, e hanno sviluppato metodi computazionali che hanno approfittato di questo mezzo per esprimere i numeri, ma risolto lineare e quadratica problemi con metodi molto simili a quelle ora usato in algebra; il loro successo con lo studio di ciò che sono ora chiamati Pitagorica numero di triple è stata un’impresa notevole teoria dei numeri. Gli scribi che hanno fatto tali scoperte devono aver creduto matematica di essere degno di studio a sé stante, non solo come uno strumento pratico.,

Il vecchio sistema sumero di numeri seguiva un principio decimale additivo (base-10) simile a quello degli egiziani. Ma il Vecchio sistema babilonese lo convertì in un sistema di valori di luogo con la base di 60 (sessagesimale). Le ragioni per la scelta di 60 sono oscure, ma una buona ragione matematica potrebbe essere stata l’esistenza di così tanti divisori (2, 3, 4 e 5, e alcuni multipli) della base, che avrebbe notevolmente facilitato il funzionamento della divisione., Per i numeri da 1 a 59, i simboli 1 e per 10 sono stati combinati in un semplice additivo modo (ad esempio, rappresenta il 32). Ma per esprimere valori più grandi, i babilonesi applicarono il concetto di valore del luogo., Per esempio, il 60 è stato scritto come 70 80 , e così via. Infatti, potrebbe rappresentare qualsiasi potenza di 60. Il contesto ha determinato quale potere era destinato. Entro il 3 ° secolo AC, i babilonesi sembrano aver sviluppato un simbolo segnaposto che funzionava come uno zero, ma il suo significato preciso e l ” uso è ancora incerto., Inoltre, non avevano alcun segno per separare i numeri in parti integrali e frazionarie (come con il moderno punto decimale). Quindi, il numero a tre posti 3 7 30 potrebbe rappresentare 31/8 (cioè, 3 + 7/60 + 30/602), 1871/2 (cioè, 3 × 60 + 7 + 30/60), 11,250 (cioè, 3 × 602 + 7 × 60 + 30), o un multiplo di questi numeri da qualsiasi potenza di 60.

Le quattro operazioni aritmetiche venivano eseguite nello stesso modo del moderno sistema decimale, tranne che il trasporto avveniva ogni volta che una somma raggiungeva 60 anziché 10., La moltiplicazione è stata facilitata per mezzo di tabelle; una tavoletta tipica elenca i multipli di un numero per 1, 2, 3,…, 19, 20, 30, 40, e 50. Per moltiplicare due numeri lunghi diversi punti, lo scriba prima ha suddiviso il problema in diverse moltiplicazioni, ciascuna per un numero di un posto, e poi ha cercato il valore di ciascun prodotto nelle tabelle appropriate. Ha trovato la risposta al problema sommando questi risultati intermedi. Queste tabelle anche assistito in divisione, per i valori che li testa erano tutti reciproci di numeri regolari.,

I numeri regolari sono quelli i cui fattori primi dividono la base; i reciproci di tali numeri hanno quindi solo un numero finito di posti (al contrario, i reciproci dei numeri non regolari producono un numero infinitamente ripetuto). In base 10, ad esempio, solo i numeri con fattori 2 e 5 (ad esempio, 8 o 50) sono regolari e i reciproci (1/8 = 0,125, 1/50 = 0.,02) hanno espressioni finite; ma i reciproci di altri numeri (come 3 e 7) ripetono infinitamente e , rispettivamente, dove la barra indica le cifre che si ripetono continuamente). In base 60, solo i numeri con fattori di 2, 3 e 5 sono regolari; ad esempio, 6 e 54 sono regolari, in modo che i loro reciproci (10 e 1 6 40) siano finiti. Le voci nella tabella di moltiplicazione per 1 6 40 sono quindi simultaneamente multipli del suo reciproco 1/54., Per dividere un numero per qualsiasi numero regolare, quindi, si può consultare la tabella dei multipli per il suo reciproco.

Un tablet interessante nella collezione della Yale University mostra un quadrato con le sue diagonali. Su un lato è scritto “30”, sotto una diagonale “42 25 35” e lungo la stessa diagonale “1 24 51 10” (cioè, 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603). Questo terzo numero è il valore corretto della radice quadrata di√da 2 a quattro posti sessagesimali (equivalente nel sistema decimale a 1.,414213…, che è troppo basso di solo 1 al settimo posto), mentre il secondo numero è il prodotto del terzo numero e del primo e quindi dà la lunghezza della diagonale quando il lato è 30. Lo scriba sembra quindi aver conosciuto un equivalente del metodo familiare lungo di trovare radici quadrate. Un ulteriore elemento di sofisticazione è che scegliendo 30 (cioè 1/2) per il lato, lo scriba ha ottenuto come diagonale il reciproco del valore di radice quadrata di√2 (poiché radice quadrata di√2/2 = 1/Radice quadrata di√2), risultato utile ai fini della divisione.,