oude wiskundige bronnen

het numerieke systeem en de rekenkundige bewerkingen

In tegenstelling tot de Egyptenaren gingen de wiskundigen van de oude Babylonische periode veel verder dan de directe uitdagingen van hun officiële boekhoudkundige taken., Ze introduceerden bijvoorbeeld een veelzijdig cijfersysteem, dat, net als het moderne systeem, de notie van plaatswaarde exploiteerde, en ze ontwikkelden computationele methoden die gebruik maakten van dit middel om getallen uit te drukken; ze losten lineaire en kwadratische problemen op met methoden zoals die nu in de algebra worden gebruikt; hun succes met de studie van wat nu Pythagorasgetallen worden genoemd, was een opmerkelijke prestatie in de getaltheorie. De schriftgeleerden die zulke ontdekkingen hebben gedaan, moeten hebben geloofd dat wiskunde het waard is om op zichzelf te studeren, niet alleen als een praktisch hulpmiddel.,

het oudere Sumerische systeem van cijfers volgde een additief decimaal (base-10) principe vergelijkbaar met dat van de Egyptenaren. Maar het oude Babylonische systeem zette dit om in een plaatswaardesysteem met de basis van 60 (sexagesimal). De redenen voor de keuze van 60 zijn onduidelijk, maar een goede wiskundige reden zou het bestaan van zoveel delers (2, 3, 4, en 5, en enkele veelvouden) van de basis kunnen zijn geweest, wat de werking van de deling aanzienlijk zou hebben vergemakkelijkt., Voor de nummers 1 tot en met 59, de symbolen 1 en 10 werden gecombineerd in de eenvoudige additieve wijze (bijv., vertegenwoordigd 32). Maar om grotere waarden uit te drukken, gebruikten de Babyloniërs het begrip plaatswaarde., Bijvoorbeeld: 60 werd geschreven als 70 als 80 als , enzovoort. In feite kan elke macht van 60 vertegenwoordigen. De context bepaalde welke macht was bedoeld. Tegen de 3e eeuw v. Chr. lijken de Babyloniërs een plaatshouder symbool te hebben ontwikkeld dat als een nul fungeerde, maar de precieze betekenis en het gebruik ervan is nog onzeker., Bovendien hadden ze geen teken om getallen te scheiden in integrale en fractionele delen (zoals met de moderne decimale punt). Dus, het drie-plaatsen cijfer 3 7 30 zou 31/8 (d.w.z., 3 + 7/60 + 30/602), 1871/2 (d.w.z., 3 × 60 + 7 + 30/60), 11,250 (d.w.z., 3 × 602 + 7 × 60 + 30), of een veelvoud van deze getallen met een macht van 60.

De vier rekenkundige bewerkingen werden op dezelfde manier uitgevoerd als in het moderne decimale systeem, behalve dat het uitvoeren plaatsvond wanneer een som 60 in plaats van 10 bereikte., Vermenigvuldiging werd vergemakkelijkt door middel van tabellen; een typische tablet geeft de veelvouden van een getal door 1, 2, 3,…, 19, 20, 30, 40, en 50. Om twee getallen te vermenigvuldigen meerdere plaatsen lang, de schrijver brak eerst het probleem in verschillende vermenigvuldigingen, elk met een nummer van één plaats, en vervolgens zocht de waarde van elk product in de juiste tabellen. Hij vond het antwoord op het probleem door het optellen van deze tussentijdse resultaten. Deze tabellen ook geholpen in deling, voor de waarden die head ze waren allemaal reciprocals van regelmatige getallen.,

regelmatige getallen zijn die waarvan de priemfactoren de basis delen; de reciproken van dergelijke getallen hebben dus slechts een eindig aantal plaatsen (de reciproken van niet-regulaire getallen produceren daarentegen een oneindig herhalend getal). In basis 10 zijn bijvoorbeeld alleen getallen met factoren 2 en 5 (bijvoorbeeld 8 of 50) regelmatig, en de reciproken (1/8 = 0,125, 1/50 = 0.,02) hebben eindige uitdrukkingen; maar de reciproken van andere getallen (zoals 3 en 7) herhalen oneindig en , waarbij de balk de cijfers aangeeft die voortdurend herhalen). In basis 60 zijn alleen getallen met factoren 2, 3 en 5 regulier; bijvoorbeeld, 6 en 54 zijn regulier, zodat hun reciproken (10 en 1 6 40) eindig zijn. De vermeldingen in de vermenigvuldigingstabel voor 1 6 40 zijn dus tegelijkertijd veelvouden van zijn reciproke 1/54., Om een getal te delen door een regelmatig getal, dan, kan men de tabel van veelvouden raadplegen voor zijn wederkerig.

een interessante tablet in de collectie van Yale University toont een vierkant met diagonalen. Aan één zijde staat “30”, onder één diagonaal “42 25 35” en rechts langs dezelfde diagonaal “1 24 51 10” (d.w.z., 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603). Dit derde getal is de correcte waarde van vierkantswortel van√2 tot vier sexagesimale plaatsen (equivalent in het decimale systeem aan 1.,414213…, dat slechts 1 op de zevende plaats te laag is), terwijl het tweede getal het product is van het derde getal en het eerste en dus de lengte van de diagonaal geeft wanneer de zijde 30 is. De schrijver schijnt dus een equivalent te hebben gekend van de bekende lange methode om vierkantswortels te vinden. Een extra element van verfijning is dat door te kiezen 30 (dat wil zeggen, 1/2) voor de kant, de schrijver verkregen als de diagonaal de reciproque van de waarde van de wortel van√2 (sinds wortel van√2/2 = 1/wortel van√2), een resultaat nuttig voor doeleinden van deling.,