Antiikin matemaattisia lähteistä

numero järjestelmä ja aritmeettinen toiminnot

toisin Kuin Egyptiläiset, matemaatikot Vanhan Babylonian aikana meni paljon pidemmälle kuin välittömään haasteita niiden virallisen kirjanpidon tehtäviä., Esimerkiksi, he esitteli monipuolinen lukujärjestelmä, joka, kuten moderni järjestelmä, hyödyntää käsite paikka-arvo, ja ne on kehitetty laskennallisia menetelmiä, jotka hyödynsivät tämä tarkoittaa ilmaista numeroita; he ratkaista lineaarisia ja toisen asteen ongelmia, menetelmiä, aivan kuten niitä nyt käytetään algebra; heidän menestys kanssa tutkimuksen, mitä nyt kutsutaan Pythagoraan määrä kolminkertaistuu oli merkittävä saavutus lukuteoria. Kirjanoppineet, jotka tekivät tällaisia löytöjä on oltava uskoi matematiikan olevan arvoinen tutkimus itsessään, ei vain käytännöllinen työkalu.,

vanhempi sumerilainen numerojärjestelmä noudatti egyptiläisten tapaan additiivista desimaaliperiaatetta (base-10). Mutta vanha Babylonialainen järjestelmä muutti tämän paikka – arvojärjestelmäksi, jonka pohja oli 60 (sexagesimal). Syitä valita 60 ovat hämäriä, mutta yksi hyvä matemaattinen syy olisi ollut olemassa niin monta jakajat (2, 3, 4, ja 5, ja jotkut kerrannaisia) pohja, joka olisi helpottanut suuresti toiminnan jako., Numerot 1 ja 59, symbolit 1 ja 10 yhdistettiin yksinkertainen lisäaine tavalla (esim. edustettuna 32). Mutta ilmaistakseen suurempia arvoja babylonialaiset soveltivat paikan arvon käsitettä., Esimerkiksi 60 oli kirjoitettu , 70 kuten , 80 kuten , ja niin edelleen. Itse asiassa voisi edustaa mitä tahansa 60. Konteksti määritteli, mikä voima oli tarkoitettu. Vuoteen 3. vuosisadalla eaa. Babylonialaiset näkyvät ovat kehittäneet paikkamerkki symboli, joka toimi kuin nolla, mutta sen tarkka merkitys ja käyttö on vielä epävarmaa., Lisäksi heillä ei ollut merkki erottaa numeroita olennainen ja murto-osia (kuten moderni desimaalin tarkkuudella). Siten kolme-paikka numero 3 7 30 voisi edustaa 31/8 (ts., 3 + 7/60 + 30/602), 1871/2 ( eli, 3 × 60 + 7 + 30/60), 11,250 (eli, 3 × 602 + 7 × 60 + 30), tai useita näistä numeroista mitään valtaa 60.

neljä aritmeettista operaatiota suoritettiin samalla tavalla kuin modernissa desimaalijärjestelmässä, paitsi että kantaminen tapahtui aina, kun summa oli 60 eikä 10., Kertominen helpotti tarkoittaa, taulukoita; yksi tyypillinen tabletti luetellaan kerrannaisia numero 1, 2, 3,…, 19, 20, 30, 40, ja 50. Moninkertaistaa kaksi numeroa useita paikkoja, pitkä, kirjuri ensimmäinen rikkoi ongelma alas useita kerto, kukin yhden paikan numero, ja sitten katsoin ylös arvo kunkin tuotteen taulukoista. Hän löysi ratkaisun ongelmaan laskemalla yhteen nämä välitulokset. Nämä taulukot myös avustivat jako, sillä arvot, jotka johtavat ne olivat kaikki vastavuoroisesti säännöllisen numerot.,

Säännöllinen numerot ovat ne, joiden prime tekijät jakaa base; reciprocals määrin näin on vain rajallinen määrä paikkoja (sen sijaan, reciprocals nonregular numerot tuottaa äärettömän toistuva numero). Base 10, esimerkiksi, vain numerot tekijät 2 ja 5 (esim., 8 tai 50) ovat säännöllisiä, ja käänteisluvut (1/8 = 0.125, 1/50 = 0.,02) on äärellinen ilmauksia, mutta reciprocals muut numerot (kuten 3 ja 7) toista äärettömän ja , vastaavasti, jossa palkki osoittaa numeroa, joka jatkuvasti toistaa). Base 60, vain numerot tekijät 2, 3, ja 5 ovat säännöllisiä, esimerkiksi, 6 ja 54 ovat säännöllisiä, niin että niiden käänteisluvut (10 ja 1 6 40) ovat rajallisia. Merkinnät kertotaulu 1 6 40 ovat siten samanaikaisesti kerrannaisia sen vastavuoroinen 1/54., Jos haluat jakaa luvun millä tahansa säännöllisellä numerolla, niin voidaan kuulla kerrannaisten taulukkoa sen vastavuoroisuudesta.

Yalen yliopiston kokoelmassa oleva mielenkiintoinen tabletti näyttää aukiota vinoriveineen. Toisella puolella on kirjoitettu ”30,” alle yksi lävistäjä ”42 25 35,” ja samalla lävistäjä ”1 24 51 10” (ts., 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603). Tämä kolmas numero on neliöjuuren oikea arvo√2-4 seksagesimaalipaikkaa(ekvivalentti desimaalijärjestelmässä 1.,414213…, joka on liian alhainen, vain 1 seitsemäs sija), kun taas toinen numero on tuote kolmas numero ja ensimmäinen ja niin antaa pituus lävistäjä, kun puolella on 30. Kirjuri näyttää siis tunteneen vastaavan tuttua pitkää tapaa löytää neliöjuuret. Ylimääräinen osa hienostuneisuutta on, että valitsemalla 30 (eli 1/2) puolella, kirjuri saatu lävistäjä vastavuoroinen arvo neliöjuuri√2 (koska neliöjuuri√2/2 = 1/neliöjuuri√2), seurauksena hyödyllinen varten jako.,