Starověké matematické zdrojů

číslice systému a aritmetické operace

na Rozdíl od Egypťanů, matematici Starého Babylonského období šla daleko nad rámec bezprostředních problémů jejich oficiální účetní povinnosti., Například, oni představil univerzální číslice systém, který, jako moderní systém, využíván pojem místo hodnoty, a jsou vyvinuty výpočetní metody, které využil tento způsob vyjadřování čísel; řeší lineární a kvadratické problémy, metodami, stejně jako ty, které nyní používají v algebře; jejich úspěch se studiem, co se nyní nazývá Pythagorejské počet trojic byl pozoruhodný výkon v počtu teorie. Zákoníci, kteří učinili takové objevy, museli věřit, že matematika je hodna studia sama o sobě, nejen jako praktický nástroj.,

starší sumerský systém číslic následoval aditivní desetinný (base-10) princip podobný principu Egypťanů. Starý Babylonský systém to však přeměnil na systém s hodnotou místa se základnou 60 (sexagesimal). Důvody pro výběr 60 jsou nejasné, ale jedna dobrá matematické důvodem mohla být existence tolik dělitele (2, 3, 4, a 5, a některé násobky) základny, která by měla značně usnadnit fungování divize., Pro čísla od 1 do 59, symboly 1 a pro 10 byly spojeny v jednoduchým aditivním způsobem (např. představovaly 32). Ale vyjádřit větší hodnoty, Babyloňané aplikovali koncept hodnoty místa., Například, 60 bylo napsáno jako 70 80 , a tak dále. Ve skutečnosti může představovat jakoukoli sílu 60. Kontext určoval, která síla byla určena. Do 3. století před naším letopočtem, zdá se, že Babyloňané vyvinuli zástupný symbol, který fungoval jako nula, ale jeho přesný význam a použití je stále nejisté., Kromě toho neměli žádnou značku, která by oddělovala čísla do integrálních a zlomkových částí (jako u moderní desetinné čárky). Tak, tři-místo číslice 3 7 30 by mohlo představovat 31/8 (tj., 3 + 7/60 + 30/602), 1871/2 (tj., 3 × 60 + 7 + 30/60), 11,250 (tj., 3 × 602 + 7 × 60 + 30), nebo více z těchto čísel jakýmkoli výkonem 60.

čtyři aritmetické operace byly prováděny stejným způsobem jako v moderní desítkové soustavě, kromě toho, že k přenášení došlo vždy, když součet dosáhl 60 spíše než 10., Násobení bylo usnadněno pomocí tabulek; jedna typická tableta uvádí násobky čísla podle 1, 2, 3,…, 19, 20, 30, 40, a 50. Násobit dvě čísla několika místech dlouho, písař nejprve rozdělil problém do několika násobení, každý jeden-místo, počet, a pak se podíval hodnota každého produktu v příslušných tabulkách. Odpověď na problém našel sečtením těchto průběžných výsledků. Tyto tabulky také pomáhal v divizi, pro hodnoty, které jim byly všechny reciprocals pravidelných čísel.,

Normální čísla jsou ty, jejichž hlavní faktory rozdělit základně; převrácené hodnoty těchto čísel tedy máme jen omezený počet míst (naopak, reciprocals nonregular čísla vyrábět nekonečně opakující se číslice). V základu 10, například, pouze čísla s faktory 2 a 5 (např., 8 nebo 50) jsou pravidelné, a reciprocals (1/8 = 0.125, 1/50 = 0.,02) konečných výrazů, ale reciprocals jiných čísel (například 3 a 7) opakovat nekonečně , respektive, kde pruh označuje číslice, které neustále opakovat). V základu 60, pouze čísla s faktory 2, 3 a 5 jsou pravidelné, například, 6 a 54 jsou pravidelné, tak, že jejich převrácené hodnoty (10 a 1 6 40) jsou omezené. Položky v násobící tabulce pro 1 6 40 jsou tedy současně násobky jeho reciproční 1/54., Chcete-li rozdělit číslo libovolným pravidelným číslem, můžete se podívat na tabulku násobků pro jeho vzájemné.

zajímavá tableta ve sbírce Yale University ukazuje čtverec s úhlopříčkami. Na jedné straně je napsáno „30“, pod jednou úhlopříčkou „42 25 35“ a vpravo podél stejné úhlopříčky „1 24 51 10“ (tj., 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603). Toto třetí číslo je správná hodnota druhé odmocniny√2 až čtyři sexagesimální místa (ekvivalentní v desítkové soustavě k 1.,414213…, která je příliš nízká, pouze 1 na sedmém místě), zatímco druhé číslo je produkt třetí číslo a první, a tak dává délku úhlopříčky když strana je 30. Písař se tak zdá, že zná ekvivalent známé dlouhé metody hledání čtvercových kořenů. Další prvek propracovanosti je, že do výběru 30 (to znamená, že 1/2) pro stranu, písař získaná jako diagonální převrácená hodnota odmocniny√2 (od odmocninu z√2/2 = 1/odmocnina√2), výsledek užitečné pro účely divize.,