古代数学の源

数字系と算術演算

エジプト人とは異なり、古いバビロニア時代の数学者は、公式の会計業務の当面の課題をはるかに超えていました。, 例えば、現代のシステムのように、場所価値の概念を利用した汎用性の高い数字系を導入し、この数を表現する手段を利用した計算方法を開発し、現在代数で使用されている方法と同じような方法で線形および二次問題を解決し、現在ピタゴラス数トリプルと呼ばれるものの研究に成功したことは、数論における顕著な偉業であった。 そのような発見をした律法学者は、数学が実用的なツールとしてだけでなく、それ自身の権利で研究する価値があると信じていたに違いありません。,

古いシュメールの数字体系は、エジプト人の数字体系と同様の加法十進法（底10）の原則に従っていました。 しかし、古いバビロニアのシステムは、これを60（sexagesimal）のベースを持つ場所価値システムに変換しました。 60の選択の理由はあいまいであるが、一つの良い数学的な理由は、除算の操作を非常に容易にしているであろうベースの非常に多くの除数（2、3、4、および5、およびいくつかの倍数）の存在であったかもしれない。, 1から59までの数字の場合、1の記号と10の記号は32を表します）。 しかし、より大きな価値を表現するために、バビロニア人は場所の価値の概念を適用しました。, たとえば、60は、70は、80はなどと書かれていました。 実際、は60の任意の累乗を表すことができます。 文脈はどの力が意図されていたかを決定した。 紀元前3世紀までに、バビロニア人はゼロとして機能するプレースホルダーシンボルを開発したように見えるが、その正確な意味と使用はまだ不明である。, さらに、数値を整数部分と小数部分に分けるマークはありませんでした（現代の小数点のように）。 したがって、三位の数字3 7 30は31/8を表すことができます（すなわち, 3 + 7/60 + 30/602), 1871/2 (すなわち, 3 × 60 + 7 + 30/60), 11,250 (すなわち, 3 × 602 + 7 × 60 + 30), またはこれらの数値の倍数を60の任意の累乗で表します。

四つの算術演算は現代の十進法と同じ方法で行われたが、和が60ではなく10に達するたびに運ぶことが起こったことを除いて、現代の十進法と同じように行われた。, 乗算は、テーブルによって促進された、一つの典型的なタブレットは、によって数の倍数を一覧表示します1, 2, 3,…, 19, 20, 30, 40, そして50 二つの数字をいくつかの場所に長く掛けるために、スクライブは最初に問題をいくつかの乗算に分割し、それぞれ一つの場所の数で、その後、適切な表 彼はこれらの中間結果を合計することによって問題への答えを見つけた。 これらの表はまた、それらを先頭にする値がすべて正規数の逆数であったため、除算にも役立ちました。,

正則数は、素因数が基底を分割するものであり、そのような数の逆数は有限の数の位しか持たない（対照的に、非正則数の逆数は無限に繰り返される数を生成する）。 たとえば、基数10では、2と5の因数を持つ数（たとえば、8または50）のみが正則であり、逆数（1/8=0.125、1/50=0）です。,02)有限の式を持っています;しかし、他の数の逆数（3と7など）は無限に繰り返しますと、それぞれ、バーは絶えず繰り返す数字を示します）。 基数60では、因数が2、3、および5の数のみが正則であり、たとえば、6と54は正則であり、その逆数（10と1 6 40）は有限である。 したがって、1 6 40の乗算テーブルのエントリは、その逆数1/54の倍数と同時になります。, 数値を任意の正規数で割るには、倍数の表を参照してその逆数を調べることができます。

イェール大学のコレクションの興味深いタブレットは、その対角線を持つ正方形を示しています。 一方の側には”30″と書かれ、一方の対角線の下には”42 25 35″と書かれ、同じ対角線に沿って右に”1 24 51 10″と書かれています（すなわち, 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603). この第三の数は、√2の平方根の正しい値です（十進法では1に相当します。,414213…、これは第七位の1だけで低すぎる）、第二の数は第三の数と第一の積であり、辺が30のときの対角線の長さを与える。 したがって、筆記者は、平方根を見つけるおなじみの長い方法と同等のものを知っているように見えます。 さらに洗練された要素として、辺に対して30（すなわち1/2）を選ぶことによって、スクライブは√2の平方根の値の逆数を対角として得られる（√2/2の平方根=1/√2の平方根から）、除算の目的に有用な結果であるということが挙げられる。,