Gammel matematisk kilder

Den talsystem og aritmetiske operationer

i Modsætning til Egypterne, matematikere af den Gamle Babylonske periode, der gik langt ud over de umiddelbare udfordringer, som deres officielle regnskaber opgaver., For eksempel har man indført et alsidigt rejsemål, hvor man ligesom i det moderne system, udnyttes begrebet værdi, og de udviklede beregningsmetoder, der benyttede sig af dette middel til at udtrykke tal; de har løst lineære og kvadratiske problemer ved metoder, der meget gerne dem, der nu bruges i algebra; deres succes med undersøgelsen af, hvad der nu kaldes Pythagoræiske antal tripler var en bemærkelsesværdig præstation i talteori. De skriftlærde der gjort sådanne opdagelser må have troet matematik for at være værdig til at studere i sin egen ret, ikke blot som et praktisk redskab.,

det ældre sumeriske talsystem fulgte et additiv decimal (base-10) princip svarende til egypterne. Men det gamle babyloniske system konverterede dette til et stedværdisystem med bunden af 60 (se .agesimal). Begrundelsen for valget af 60 er uklar, men en god matematisk årsagen kan have været eksistensen af så mange divisorer (2, 3, 4, og 5, og nogle multipla) i bunden, hvilket ville have lettet drift af afdelingen., For tal fra 1 til 59, symboler 1 og for 10 blev kombineret i simpel additiv måde (fx, repræsenteret 32). Men for at udtrykke større værdier anvendte babylonierne begrebet stedværdi., For eksempel, 60 blev skrevet som , 70 som , 80 som og så videre. Faktisk kan repræsentere enhver effekt på 60. Konteksten bestemte, hvilken magt der var beregnet til. Ved det 3. århundrede fvt, babylonierne synes at have udviklet en pladsholder symbol, der fungerede som et nul, men dens præcise betydning og brug er stadig usikker., Desuden havde de intet mærke til at adskille tal i integrerede og brøkdele (som med det moderne decimalpunkt). Således er de tre-placere tallet 3 7 30 kunne repræsentere 31/8 (dvs, 3 + 7/60 + 30/602), 1871/2 (dvs, 3 × 60 + 7 + 30/60), 11,250 (dvs, 3 × 602 + 7 × 60 + 30), eller flere af disse numre ved nogen magt over 60.

de fire aritmetiske operationer blev udført på samme måde som i det moderne decimalsystem, bortset fra at bæringen fandt sted, når et beløb nåede 60 snarere end 10., Multiplikation blev lettet ved hjælp af tabeller; en typisk tablet viser multipla af et tal ved 1, 2, 3,…, 19, 20, 30, 40, og 50. For at multiplicere to tal flere steder lang, brød scribe først problemet ned i flere multiplikationer, hver med et et-sted nummer, og så kiggede værdien af hvert produkt op i de relevante tabeller. Han fandt svaret på problemet ved at tilføje op disse mellemliggende resultater. Disse tabeller også bistået i division, for de værdier, der leder dem var alle reciprocals af regelmæssige tal.,

regelmæssige tal er dem, hvis primære faktorer deler basen; reciprocals af sådanne tal har således kun et begrænset antal steder (derimod giver reciprocals af nonregular tal et uendeligt gentagende tal). I base 10 er for eksempel kun tal med faktorer på 2 og 5 (F.8 eller 50) regelmæssige, og reciprocals (1/8 = 0.125, 1/50 = 0.,02) har endeligt udtryk; men de reciprokke værdier af andre numre (såsom 3 og 7) gentag uendeligt og , henholdsvis, hvor det bar angiver de tal, der hele tiden gentages). I base 60 er kun tal med faktorer på 2, 3 og 5 regelmæssige; for eksempel er 6 og 54 regelmæssige, så deres gensidige (10 og 1 6 40) er begrænsede. Posterne i multiplikationstabellen for 1 6 40 er således samtidigt multipla af dens gensidige 1/54., For at opdele et tal med et almindeligt nummer kan man se tabellen med multipler for dets gensidige.

en interessant tablet i samlingen af Yale University viser en firkant med sine diagonaler. På den ene side er skrevet “30,” under en diagonal “42 25 35,” og til højre ad den samme diagonal “1 24 51 10” (dvs., 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603). Dette tredje tal er den korrekte værdi af kvadratroden på 2 2 til fire seksagesimale steder (svarende i decimalsystemet til 1.,414213…, som kun er for lav med 1 på syvende plads), mens det andet tal er produktet af det tredje nummer og det første og giver dermed længden af diagonalen, når siden er 30. Skriveren synes saaledes at have kendt en ækvivalent af den velkendte lange metode til at finde firkantede rødder. Et yderligere element af raffinement er, at ved at vælge 30 (som er 1/2) for den side, den skriftlærde kender opnået som diagonal det reciprokke af værdien af kvadratroden af√2 (da kvadratroden af√2/2 = 1/kvadratroden af√2), et resultat nyttige for anvendelsen af division.,