het brein of het universum – waar komt wiskunde vandaan?

TKF: dus u bent het niet eens met Dr. Tegmark ‘ s idee dat elektronen slechts getallen zijn?

BRIAN BUTTERWORTH: Ja, want om een fysieke verklaring voor fenomenen te hebben, moet je er een oorzaak voor hebben. Maar hoe kan een getal een oorzaak zijn? Het is waar dat je getallen kunt gebruiken om elektronen eigenschappen te beschrijven, maar dat betekent niet dat die getallen eigenlijk een eigenschap zijn van dat fysieke object., Twoness is een eigenschap van een verzameling objecten, zoals twee kopjes, of twee elektronen. Maar het is onafhankelijk van de soorten objecten die zich in de verzameling bevinden waarvoor het een eigenschap is. Een verzameling van twee bekers is verschillend van een verzameling van twee elektronen, dus twee niet dezelfde causale eigenschap voor bekers en elektronen kan hebben.

TKF: Dr. Núñez, Wat is uw reactie op deze hypothesen, gezien het feit dat uw onderzoek culturele verschillen in wiskundige vaardigheden heeft ontdekt en suggereert dat veel wiskundige principes zijn geleerd van onze interacties met de wereld?,

RAFAEL NÚÑEZ: Ik ben het met Brian eens dat getallen geen eigenschappen van het universum zijn, maar eerder dat ze de biologische basis weerspiegelen voor hoe mensen de wereld begrijpen., Wiskunde is een vorm van menselijke verbeelding die niet alleen gebaseerd is op hersenen, maar ook cultureel gevormd is-en dit is cruciaal. Het is waar dat we zonder hersenen geen wiskunde kunnen doen, maar het is ook waar dat we hersenen nodig hebben om piano te spelen of te tennissen of te gaan snowboarden. En geen van deze acties zijn genetisch bepaald. We hebben voor hen allemaal een brein nodig, maar we hebben ook een verfijnd cultureel apparaat nodig dat bepaalt hoe die basisfuncties van het brein worden gerekruteerd en uitgedrukt., Hersengebieden ondersteunen de uitvinding van wiskundige principes, maar deze principes komen niet rechtstreeks uit een bepaald gebied van de hersenen.

TKF: kunt u een voorbeeld geven dat de notie ondersteunt dat wiskunde cultureel gevormd kan worden?

RAFAEL NÚÑEZ: neem de wiskundige notie dat ‘0 faculteit = 1′. Deze’ waarheid ‘ bestaat nergens in het universum en komt niet rechtstreeks uit hersenactiviteit. Maar in de cultuur van de wiskundige praktijk, beseften sommige wiskundigen dat ze deze ‘waarheid’ nodig hadden om bepaalde dingen uit te werken, en adopteerden ze., In de moderne wiskunde wordt dit routinematig gedaan via formele definities en axioma ‘ s. Dit zijn resultaten van culturele praktijken — niet alleen conventionele, maar zeer beperkte culturele praktijken. Op het gebied van getallen heb ik onderzoek gedaan in afgelegen gebieden van de wereld, zoals Papoea-Nieuw-Guinea, en in de hooglanden van de Andes. Sommige culturen werken met precieze getallen concepten en anderen hebben niet de concepten voor, laten we zeggen, de getallen 8 of 11—hun talen hebben geen woorden die deze getallen te onderscheiden van iets als 9 of 10., Wanneer je deze niches van culturele praktijken onderzoekt, zie je een aantal fundamentele noties van aantal die niet aanwezig zijn, zoals precisie, bijvoorbeeld.

BRIAN BUTTERWORTH: zegt u dat wiskunde een culturele uitvinding is, die nogal willekeurig is?

RAFAEL Núñez: Nee, omdat cultuur niet willekeurig is., Culturele praktijken worden beperkt, onder andere, door de biologie van de individuen die deel uitmaken van de cultuur. Spraakaccenten zijn bijvoorbeeld gerelateerd aan culturele (linguïstische) praktijken die niet genetisch bepaald zijn— niets in mijn genen zegt dat mijn moedertaal Spaans is en dat ik Engels spreek met een Spaans accent. En mensen kunnen niet zomaar willekeurig geluid produceren dat ze willen in elke frequentie-omdat ze biologisch sterk beperkt zijn. Dus het is niet puur willekeurig.,

BRIAN BUTTERWORTH: je zei dat als je het woord voor negen niet hebt, je niet het concept van negen zult hebben. Maar John Locke, de Britse filosoof van de 17e eeuw, meldde dat hij sprak met Amazone-indianen die geen cijferwoorden hadden dan 5. Maar als hij hen zou vragen hem uit te leggen over grotere aantallen, zouden deze indianen hun vingers omhoog houden evenals de vingers van andere aanwezige mensen om te laten zien wat deze grotere aantallen waren. Ze hadden dus een concept van al deze getallen, ook al hadden ze er geen woorden voor., Ons eigen onderzoek in Australische culturen die geen woorden tellen toont aan dat als je het op een cultureel geschikte manier presenteert, je zult zien dat deze kinderen dezelfde concepten van getallen en rekenkunde hebben als kinderen die Engels spraken.

RAFAEL NÚÑEZ: ik ben het ermee eens dat we een idee zouden kunnen hebben van een reguliere veelhoek met 103 zijden, ook al hebben we er geen naam voor. Maar ik denk niet dat dit de essentie van de vraag is. In feite denk ik niet dat de oorsprong van wiskunde uiteindelijk over getallen gaat., In plaats daarvan gaat het veel meer over logische beperkingen, postulaten en axioma ‘ s, inferentiële mechanismen, enzovoort. Een goede boekhouder die veel cijfers kan kraken, is geen goede wiskundige. Het getal kan een rol spelen, maar is niet noodzakelijk de hoeksteen van de wiskunde. En we hebben veel verschillende logische principes of axioma ‘ s waaruit we kunnen kiezen, die allemaal intern consistent kunnen zijn, maar inconsistent met anderen., Je kunt bijvoorbeeld niet zomaar zeggen dat een bepaalde uitspraak over oneindigheid waar is in het universum omdat de waarheidsstatus ervan afhangt van de axioma ‘ s waarmee je begint en die zijn verzonnen uit de menselijke verbeelding, die wordt bemiddeld door taal en cultureel gevormd. Er is geen inherente enige vorm van logica in het universum. Mensen werken met verschillende soorten logica in verschillende contexten en voor verschillende doeleinden.,

SIMEON HELLERMAN: maar we weten dat gezien de gebruikelijke regels van logische gevolgtrekking, het mogelijk is om alle operaties met getallen te construeren. Dus we kunnen het erover eens zijn dat hele getallen en de wetten van alle vormen van geometrieën consistent en universeel zijn, of ze nu wel of niet gerealiseerd kunnen worden in de natuur.,

BRIAN BUTTERWORTH: het is niet duidelijk dat je de eigenschappen van getallen alleen uit logica kunt afleiden of dat het hebben van een rekenkundige technologie noodzakelijk is voor logica. Het kan maken het doen van ingewikkelde tinten van logisch redeneren gemakkelijker. In ieder geval zal formele logica niet voldoende blijken te zijn om je de soorten wiskunde te geven waarin we geïnteresseerd zijn, zelfs de relatief eenvoudige rekenkunde die we kennen. Ik denk dat het formele redeneren voortkomt uit onze frontale kwabben van de hersenen en er zijn een aantal axioma ‘ s over getallen die afkomstig zijn van de pariëtale kwabben van de hersenen., De frontale kwab werkt op deze numerieke concepten om ons te geven wat we begrijpen als de rest van de wiskunde.

MAX TEGMARK: wanneer verschillende culturen evolueren, komen ze niet allemaal met de concepten en woorden voor alle verschillende wiskundige structuren, maar ik denk dat ze allemaal met een aantal van de meest bruikbare concepten zullen komen., Alle culturen vinden het nuttig om onderscheid te maken tussen één en twee, zodat ze kunnen weten of ze één kind in het bos hebben achtergelaten—eenden zijn echt goed in het bijhouden van hoeveel baby ‘ s ze na hen hebben gezwommen-terwijl het bestuderen van abstracte algebra misschien niet iets belangrijks is voor alle culturen.

RAFAEL NÚÑEZ: dat klopt. Te beginnen met Galileo ‘ s tijd, de wiskunde die werd gecreëerd en ontwikkeld werd nauw verweven met de natuurkunde, zodat het past bij de verschijnselen die mensen waargenomen in de natuur. Al eeuwenlang kiezen we de wiskunde die nuttig is, en gooien we de wiskunde weg die niet nuttig is. op dit punt kan de hedendaagse natuurkunde niet langer bestaan zonder de wiskunde die erbij hoort., Je schrijft de getaleigenschappen toe alsof ze zich in het universum bevinden, maar in feite zijn er in de Wiskunde allerlei keuzes die vooraf zijn gemaakt om die wiskunde te laten zijn wat ze is. De verzamelingenleer zegt bijvoorbeeld dat de lege verzameling een deelverzameling is van elke verzameling, ook al zien we dat feit nergens in het universum fysiek gematerialiseerd worden. Toch realiseren we ons nu dat zo ‘n’ waarheid ” nodig ‘ is en daarom maken we het waar., Dit soort cherry-picking heeft plaatsgevonden in de hele geschiedenis van de wiskunde, in wezen na de 19e eeuw met de uitvinding van de niet-Euclidische meetkunde, die bepaalde postulaten en axioma ‘ s eerder ingesteld, en met de creatie van moderne nieuwe logische systemen.

MAX TEGMARK: de fantastische twist hiervan is dat de niet-Euclidische meetkunde bijna 200 jaar geleden werd uitgevonden toen natuurkundigen dachten dat het onze eigen fysieke ruimte niet beschreef, waarvan ze dachten dat het vlak was, niet gebogen, dus twee parallelle lijnen konden nooit kruisen., Toen kwam Einstein en na het bestuderen van de niet-Euclidische meetkunde werd verondersteld dat de ruimte gekromd was en dat dit suggereerde dat licht zou buigen rond de zon, wat het doet, en dat er zwarte gaten zouden kunnen zijn, die later werden gevonden. Vind je het niet verrassend dat zulke wiskunde dingen in de natuur kon voorspellen die we later ontdekten?

RAFAEL NÚÑEZ: Ja, op het eerste gezicht lijkt het verrassend, maar als je er wat meer in graaft besef je dat niet alle hulpmiddelen die wiskundigen hebben uitgevonden nuttig zijn geweest in de natuurkunde bij het vinden van nieuwe dingen., Wij mensen zijn vrij goed in het proberen om dingen te begrijpen en blinken uit in het ontwikkelen van nieuwe tools voor dergelijke doeleinden. Je geeft voorbeelden voor gevallen waarin wiskunde blijkbaar in de natuur werkt. Maar, hoe zit het met al die gevallen waarvoor het niet, inclusief voor het maken van nauwkeurige weersvoorspellingen? De saga van de wiskunde in de wetenschap is het uitvinden van nieuwe wiskundige tools die helpen om testbare voorspellingen te maken en om degenen die werken te houden, terwijl het weggooien van degenen die niet nuttig zijn., Maar er zijn tal van andere dingen in de zuivere wiskunde die niet testbaar of nuttig zijn in de empirische wetenschap zelf.

BRIAN BUTTERWORTH: What about things that can only bescribed using probability, such the position of an electron at any point in time. Hoe past dat in je hypothese Max?,

MAX TEGMARK: de kwantummechanica gooide die sleutel in het oude idee van causaliteit toen bleek dat er bepaalde experimenten zijn waarbij je niet met zekerheid kunt zeggen wat er gaat gebeuren. Maar je kunt een puur wiskundige beschrijving nemen, bekend als de Schrödingervergelijking, en zeggen dat het altijd van toepassing is op alles, dus er is geen willekeurig of onbepaald ding over. Het betekent gewoon dat de werkelijke volledige realiteit groter is dan de realiteit die we kunnen zien.,

TKF: zegt u dat het voor ons subjectief en willekeurig aanvoelt, maar bovenal is er deze volgorde die we gewoon niet kunnen waarnemen?

MAX TEGMARK: Ja. Het is alsof ze één kloon van jou in een kamer met het label A zetten en de originele jij in een kamer met het label B. Als je de volgende ochtend naar je kamerlabel kijkt, kun je niet voorspellen of je A of B gaat zien omdat je geen manier hebt om te weten of je de kloon bent. Het zal subjectief willekeurig lijken of je uit Kamer A of Kamer B komt., Maar iemand die zowel u als uw kloon observeert zal in staat zijn te voorspellen dat als uw kloon uit Kamer A komt, dan zal uw originele versie uit Kamer B komen.

TKF: laten we onze discussie beëindigen door te praten over waarom we de oorsprong van wiskunde moeten begrijpen. Zijn er praktische implicaties voor elke theorie die je hebt voorgesteld?

BRIAN BUTTERWORTH: het begrijpen van de oorsprong van wiskunde is belangrijk voor het onderwijs., Als we een aangeboren systeem hebben dat ten grondslag ligt aan veel van onze wiskundige vaardigheden, dan kan er iets mis gaan met de genetische overdracht in de hersenen, dus er zullen mensen zijn die deze rekenkunde niet op de gebruikelijke manier zullen kunnen leren. Je moet verschillende manieren vinden om deze mensen te leren, net zoals je verschillende manieren moet vinden om dyslexie te leren lezen.

MAX TEGMARK: als wiskunde inherent is in het universum, dan kan wiskunde ons tips geven voor het oplossen van toekomstige problemen in de natuurkunde., Als we echt geloven dat de natuur fundamenteel wiskundig is, dan moeten we zoeken naar wiskundige patronen en regelmatigheden als we verschijnselen tegenkomen die we niet begrijpen. Deze probleemoplossende aanpak staat al 500 jaar centraal in het succes van de natuurkunde.

SIMEON HELLERMAN: Ik ben het eens met Max en wil eraan toevoegen dat in de natuurwetenschappen de gouden standaard van een theorie is dat het kwalitatief nieuwe fenomenen voorspelt., Als we dachten dat wiskunde zo cultuurgebonden en flexibel was dat het alles kon beschrijven wat je waarneemt-misschien is er een higgsboson, misschien niet, en wiskunde kan beide situaties beschrijven op een democratische basis—dan zou er veel in de natuurkunde zijn dat we niet zouden doen en we zouden nooit de successen hebben gehad die we hadden gehad.

RAFAEL NÚÑEZ: ik ben het met Brian eens dat het begrijpen van de oorsprong van wiskunde een enorme impact heeft op wat onderwijs zou kunnen of moeten zijn. Het heeft ook implicaties voor het begrijpen van overtuigingen en logica van andere culturen. Veel oorlogen zijn te wijten aan het niet begrijpen van de logica van een andere cultuur. Logische systemen belichamen wiskundige principes die zijn opgenomen in onze rechtssystemen en religies, die beide gedrag voorschrijven. Het begrijpen van de oorsprong van wiskunde zal ons helpen de menselijke natuur beter te begrijpen.

MAX TEGMARK: ik heb echt genoten van dit interdisciplinaire gesprek., Misschien is de reden waarom Simeon en ik meer zeggen dat de natuur wiskundig is dan de neurowetenschappers, omdat het veel gemakkelijker is om een klein elektron te bestuderen en wiskundig te beschrijven dan om de zillioenen elektronen te bestuderen waaruit het menselijk brein bestaat. Er is daar prachtige complexiteit en we hebben veel werk voor ons, zelfs als de natuur uiteindelijk wiskundig aan de basis ligt.

BRIAN BUTTERWORTH: er zijn nog enkele onbeantwoorde vragen. Zou het higgsboson bijvoorbeeld bestaan als er geen wiskunde was om het te beschrijven?, Misschien is deze vraag het best opgelost na een paar drankjes.

— Summer, 2013

schrijver: Margie Patlak