Il cervello o l’universo – Da dove viene la matematica?

TKF: Quindi non sei d’accordo con l’idea del dottor Tegmark che gli elettroni siano semplicemente numeri?

BRIAN BUTTERWORTH: Sì, perché per avere una spiegazione fisica dei fenomeni, devi avere una causa per questo. Ma come può un numero essere una causa? È vero che puoi usare i numeri per descrivere le proprietà degli elettroni, ma ciò non significa che quei numeri siano in realtà una proprietà di quell’oggetto fisico., Twoness è una proprietà di un insieme di oggetti, come due tazze o due elettroni. Ma è indipendente dai tipi di oggetti che si trovano nel set per cui è una proprietà. Un set di due tazze è diverso da un set di due elettroni, quindi twoness non può avere la stessa proprietà causale per tazze ed elettroni.

TKF: Dr. Núñez, qual è la tua risposta a queste ipotesi, dato che la tua ricerca ha rilevato differenze culturali nelle abilità matematiche e suggerisce che molti principi matematici sono appresi dalle nostre interazioni con il mondo?,

RAFAEL NÚÑEZ: Sono d’accordo con Brian che i numeri non sono proprietà dell’universo, ma piuttosto che riflettono la base biologica per come le persone danno un senso al mondo., La matematica è una forma di immaginazione umana che non è solo basata sul cervello, ma anche culturalmente modellata— e questo è fondamentale. È vero che senza un cervello non possiamo fare matematica, ma è anche vero che abbiamo bisogno di un cervello per suonare il pianoforte o il tennis o fare snowboard. E nessuna di queste azioni è geneticamente determinata. Abbiamo bisogno di un cervello per tutti loro, ma abbiamo anche bisogno di un sofisticato apparato culturale che plasma il modo in cui queste funzioni cerebrali di base vengono reclutate ed espresse., Le aree cerebrali supportano l’invenzione di principi matematici, ma questi principi non provengono direttamente da una particolare area del cervello.

TKF: Puoi dare un esempio che supporti l’idea che la matematica possa essere modellata culturalmente?

RAFAEL NÚÑEZ: Prendi la nozione matematica che ‘0 fattoriale = 1’. Questa ‘verità’ non esiste da nessuna parte nell’universo, e non viene fuori direttamente dall’attività cerebrale. Ma nella cultura della pratica matematica, alcuni matematici si resero conto che avevano bisogno di questa ‘verità’ per certe cose a lavorare fuori, e lo ha adottato., Nella matematica moderna questo viene fatto di routine tramite definizioni e assiomi formali. Questi sono risultati di pratiche culturali-non solo convenzionali, ma pratiche culturali altamente vincolate. Nel campo dei numeri, ho fatto ricerche in aree remote del mondo, come la Papua Nuova Guinea, e negli altopiani delle Ande. Alcune culture operano con concetti di numeri precisi e altri non hanno i concetti per, ad esempio, i numeri 8 o 11—le loro lingue non hanno parole che discriminano quei numeri da qualcosa come 9 o 10., Quando indaghi queste nicchie di pratiche culturali, vedi alcune nozioni fondamentali di numero che non sono presenti, come la precisione, per esempio.

BRIAN BUTTERWORTH: Stai dicendo che la matematica è un’invenzione culturale, che è un po ‘ arbitraria?

RAFAEL NÚÑEZ: No, perché la cultura non è arbitrario., Le pratiche culturali sono vincolate, tra gli altri, dalla biologia degli individui che compongono la cultura. Gli accenti vocali, ad esempio, sono legati a pratiche culturali (linguistiche) che non sono geneticamente determinate— nulla nei miei geni dice che la mia lingua madre è lo spagnolo e che parlo inglese con un accento spagnolo. E gli esseri umani non possono solo produrre qualsiasi suono arbitrario che vogliono in qualsiasi frequenza-perché sono altamente vincolati biologicamente. Quindi non è puramente arbitrario.,

BRIAN BUTTERWORTH: Hai detto che se non hai la parola per nove, non avrai il concetto di nove. Ma John Locke, il filosofo britannico del 17 ° secolo, ha riferito di aver parlato con gli indiani amazzonici che non avevano parole numeriche oltre 5. Eppure, se ha chiesto loro di spiegare a lui su numeri più grandi, questi indiani avrebbero tenere le dita così come le dita di altre persone presenti al fine di mostrare ciò che questi numeri più grandi erano. Quindi avevano un concetto di tutti questi numeri, anche se non avevano parole per loro., La nostra ricerca nelle culture australiane che non hanno parole di conteggio mostra che se presenti in modo culturalmente appropriato, scoprirai che questi bambini hanno gli stessi concetti di numeri e aritmetica che i bambini cresciuti parlando inglese fanno.

RAFAEL NÚÑEZ: Sono d’accordo che potremmo avere un’idea di un poligono regolare con 103 lati, anche se non abbiamo un nome per esso. Ma non credo che questa sia l’essenza della domanda. In realtà, non penso che l’origine della matematica sia in definitiva sui numeri., Invece, si tratta molto più di vincoli logici, postulati e assiomi, meccanismi inferenziali e così via. Un buon ragioniere che fa un sacco di numero scricchiolio non fa per un buon matematico. Numero può svolgere un ruolo, ma non è necessariamente la pietra angolare della matematica. E abbiamo molti principi o assiomi logici diversi tra cui scegliere, ognuno dei quali può essere internamente coerente ma incoerente con gli altri., Quindi non puoi semplicemente dire, per esempio, che una particolare affermazione sull’infinito è vera nell’universo perché il suo status di verità dipenderà dagli assiomi con cui inizi e quelli sono inventati dall’immaginazione umana, che è mediata dal linguaggio e modellata culturalmente. Non esiste una singola forma intrinseca di logica nell’universo. Gli esseri umani operano con diversi tipi di logiche in diversi contesti e per scopi diversi.,

SIMEON HELLERMAN: Ma sappiamo che date le solite regole di inferenza logica, è possibile costruire tutte le operazioni che coinvolgono i numeri. Quindi possiamo essere d’accordo che i numeri interi e le leggi di tutte le forme di geometrie sono coerenti e universali, indipendentemente dal fatto che possano essere realizzati in natura.,

BRIAN BUTTERWORTH: Non è chiaro che sia possibile ricavare le proprietà dei numeri dalla sola logica o che avere una tecnologia aritmetica sia necessaria per la logica. Può rendere più facile fare complicate sfumature di ragionamento logico. In ogni caso, la logica formale non si rivelerà sufficiente per darti uno qualsiasi dei tipi di matematica a cui siamo interessati, anche l’aritmetica relativamente semplice con cui abbiamo familiarità. Penso che il ragionamento formale derivi dai nostri lobi frontali del cervello e ci sono alcuni assiomi sui numeri che provengono dai lobi parietali del cervello., Il lobo frontale opera su questi concetti numerici per darci ciò che comprendiamo come il resto della matematica.

MAX TEGMARK: Quando culture diverse si evolvono, non verranno tutti con i concetti e le parole per tutte le diverse strutture matematiche, ma penso che verranno tutti con alcuni dei concetti più utili., Tutte le culture trovano utile distinguere tra uno e due, in modo che possano sapere se hanno lasciato un bambino nella foresta—le anatre sono davvero brave a tenere traccia di quanti bambini hanno nuotato dopo di loro-mentre studiare l’algebra astratta potrebbe non essere qualcosa di importante per tutte le culture.

RAFAEL NÚÑEZ: Esatto. A partire dal tempo di Galileo, la matematica che è stata creata e sviluppata è diventata intimamente intrecciata con la fisica in modo da adattarsi ai fenomeni osservati dall’uomo in natura. Per secoli, abbiamo scelto la matematica che è stata utile e scartato la matematica che non ha. A questo punto, la fisica contemporanea non può più esistere senza la matematica che lo accompagna., Si attribuiscono le proprietà del numero come se fossero nell’universo, ma in realtà in matematica ci sono tutti i tipi di scelte che sono state fatte in anticipo perché quella stessa matematica sia quella che è. Ad esempio, la teoria degli insiemi dice che l’insieme vuoto è un sottoinsieme di ogni insieme, anche se non vediamo questo fatto materializzato fisicamente in nessuna parte dell’universo. Tuttavia, ora ci rendiamo conto che tale ‘verità ‘è’ necessaria’ e quindi la rendiamo vera., Questo tipo di cherry-picking è accaduto in tutta la storia della matematica, essenzialmente dopo il 19 ° secolo con l’invenzione della geometria non euclidea, che ha alterato alcuni postulati e assiomi impostati in precedenza, e con la creazione di nuovi sistemi logici moderni.

MAX TEGMARK: Il tocco fantastico di questo è che la geometria non euclidea è stata inventata quasi 200 anni fa quando i fisici pensavano che non descrivesse il nostro spazio fisico, che pensavano fosse piatto, non curvo, quindi due linee parallele non potevano mai incrociarsi., Poi arrivò Einstein e dopo aver studiato la geometria non euclidea, lo spazio supposto era curvo e questo suggeriva che la luce si sarebbe piegata attorno al Sole, cosa che fa, e che potrebbero esserci buchi neri, che sono stati successivamente trovati. Non pensi che sia sorprendente che tale matematica possa predire cose in natura che abbiamo trovato in seguito?

RAFAEL NÚÑEZ: Sì, a prima vista sembra sorprendente, ma quando si scava un po ‘ di più ci si rende conto che non tutti gli strumenti che i matematici hanno inventato sono stati utili in fisica per trovare cose nuove., Noi umani siamo abbastanza bravi a cercare di dare un senso alle cose ed eccellere nello sviluppo di nuovi strumenti per tali scopi. Stai dando esempi per casi in cui la matematica funziona apparentemente in natura. Ma, come su tutti quei casi per i quali non lo fa, anche per fare previsioni meteo precise? La saga della matematica nella scienza è stata quella di inventare nuovi strumenti matematici che aiutano a fare previsioni verificabili e a mantenere quelle che funzionano, scartando quelle che non sono utili., Ma ci sono tonnellate di altre cose nella matematica pura che non sono testabili o utili nella scienza empirica corretta.

BRIAN BUTTERWORTH: Che dire delle cose che possono essere descritte solo usando la probabilità, come la posizione di un elettrone in qualsiasi momento. Cosa c’entra con la tua ipotesi Max?,

MAX TEGMARK: La meccanica quantistica ha notoriamente gettato quella chiave inglese nella vecchia idea di causalità quando si è scoperto che ci sono alcuni esperimenti in cui non si può dire con certezza cosa succederà. Ma puoi prendere una descrizione puramente matematica, nota come equazione di Schrödinger, e dire che si applica sempre a tutto, quindi non c’è nulla di casuale o indeterminato a riguardo. Significa solo che la realtà reale è più grande della realtà che possiamo vedere.,

TKF: Stai dicendo che a noi sembra soggettivo e casuale, ma soprattutto c’è questo ordine che non possiamo percepire?

MAX TEGMARK: Sì. È come se mettessero un clone di te in una stanza etichettata A e l’originale in una stanza etichettata B. Quando esci la mattina dopo e guardi l’etichetta della tua stanza, non puoi prevedere se vedrai A o B perché non hai modo di sapere se sei il clone. Quindi ti sembrerà soggettivamente casuale se esci dalla stanza A o dalla stanza B., Ma qualcuno che sta osservando sia te che il tuo clone sarà in grado di prevedere che se il tuo clone esce dalla stanza A, la tua versione originale uscirà dalla stanza B.

TKF: Concludiamo la nostra discussione parlando del perché abbiamo bisogno di capire le origini della matematica. Ci sono implicazioni pratiche per ogni teoria che hai suggerito?

BRIAN BUTTERWORTH: Comprendere le origini della matematica è importante per l’educazione., Se abbiamo un sistema innato che è alla base di gran parte delle nostre capacità matematiche, allora le cose possono andare male con la sua trasmissione genetica nel cervello, quindi ci saranno alcune persone che non saranno in grado di imparare questa aritmetica nel solito modo. Devi trovare modi diversi per insegnare a queste persone, proprio come devi trovare modi diversi per insegnare ai dislessici a leggere.

MAX TEGMARK: Se la matematica è inerente all’universo, allora la matematica può darci suggerimenti per risolvere problemi futuri in fisica., Se crediamo davvero che la natura sia fondamentalmente matematica, allora dovremmo cercare modelli matematici e regolarità quando incontriamo fenomeni che non capiamo. Questo approccio di risoluzione dei problemi è stato al centro del successo della fisica negli ultimi 500 anni.

SIMEON HELLERMAN: Sono d’accordo con Max e voglio aggiungere che, nelle scienze fisiche, il gold standard di una teoria è che predice fenomeni qualitativamente nuovi., Se pensassimo che la matematica fosse così legata alla cultura e flessibile da poter descrivere qualsiasi cosa osserviate—forse c’è un bosone di Higgs, forse no, e la matematica può descrivere entrambe le situazioni su base democratica—allora ci sarebbe molto in fisica che non ci preoccuperemmo di fare e non avremmo mai avuto i successi che abbiamo avuto.

RAFAEL NÚÑEZ: Sono d’accordo con Brian che comprendere le origini della matematica ha un enorme impatto su ciò che l’educazione potrebbe o dovrebbe essere. Ha anche implicazioni per la comprensione delle credenze e delle logiche di altre culture. Molte guerre sono dovute alla non comprensione della logica di un’altra cultura. I sistemi logici incarnano principi matematici che sono incorporati nei nostri sistemi legali e religioni, entrambi i quali prescrivono il comportamento. Comprendere le origini della matematica ci aiuterà a capire meglio la natura umana.

MAX TEGMARK: Mi è piaciuta molto questa conversazione interdisciplinare., Forse il motivo per cui io e Simeone siamo più entusiasti della natura matematica che dei neuroscienziati è che è molto più facile studiare e descrivere matematicamente un piccolo elettrone che studiare le migliaia di elettroni che compongono il cervello umano. C’è una bella complessità lì e abbiamo un sacco di lavoro tagliato per noi, anche se la natura è in definitiva matematica alla radice.

BRIAN BUTTERWORTH: Ci sono ancora alcune domande senza risposta. Ad esempio, il bosone di Higgs esisterebbe se non ci fosse la matematica per descriverlo?, Forse questa è una domanda meglio risolta dopo qualche drink.

— Estate, 2013

Scrittore: Margie Patlak