le cerveau ou L’univers – D’où viennent les mathématiques?

TKF: vous êtes donc en désaccord avec la notion du Dr Tegmark selon laquelle les électrons ne sont que des nombres?

BRIAN BUTTERWORTH: Oui, parce que pour avoir une explication physique des phénomènes, il faut en avoir une cause. Mais comment un nombre peut-il être une cause? Il est vrai que vous pouvez utiliser des nombres pour décrire les propriétés des électrons, mais cela ne signifie pas que ces nombres sont en fait une propriété de cet objet physique., Twoness est une propriété d’un ensemble d’objets, comme les deux tasses, ou deux électrons. Mais il est indépendant de la nature des objets qui sont dans l’ensemble pour lequel il s’agit d’une propriété. Un ensemble de deux tasses est différent d’un ensemble de deux électrons, donc twoness ne peut pas avoir la même propriété causale pour les tasses et les électrons.

TKF: Dr. Núñez, Quelle est votre réponse à ces hypothèses, étant donné que votre recherche a détecté des différences culturelles dans les capacités en mathématiques et suggère que de nombreux principes mathématiques sont appris de nos interactions avec le monde?,

RAFAEL NÚÑEZ: je suis d’accord avec Brian pour dire que les nombres ne sont pas des propriétés de l’univers, mais plutôt qu’ils reflètent la base biologique de la façon dont les gens donnent un sens au monde., Les mathématiques sont une forme d’imagination humaine qui est non seulement basée sur le cerveau, mais aussi culturellement façonnée-et c’est crucial. Il est vrai que sans cerveau, nous ne pouvons pas faire de mathématiques, mais il est également vrai que nous avons besoin d’un cerveau pour jouer du piano ou du tennis ou faire du snowboard. Et aucune de ces actions n’est génétiquement déterminée. Nous avons besoin d’un cerveau pour tous, mais nous avons également besoin d’un appareil culturel sophistiqué qui façonne la façon dont ces fonctions cérébrales de base sont recrutées et exprimées., Les zones du cerveau soutiennent l’invention de principes mathématiques, mais ces principes ne sortent pas directement d’une zone particulière du cerveau.

TKF: pouvez-vous donner un exemple qui soutient l’idée que les mathématiques peuvent être façonnées culturellement?

RAFAEL NÚÑEZ: prenez la notion mathématique que ‘0 factoriel = 1’. Cette « vérité » n’existe nulle part dans l’univers, et elle ne sort pas directement de l’activité cérébrale. Mais dans la culture de la pratique mathématique, certains mathématiciens ont réalisé qu’ils avaient besoin de cette « vérité » pour que certaines choses fonctionnent et l’ont adoptée., En mathématiques modernes, cela se fait régulièrement via des définitions formelles et des axiomes. Ce sont les résultats de la pratique culturelle – pas simplement des pratiques culturelles conventionnelles, mais très contraintes. Dans le domaine des nombres, j’ai fait des recherches dans des régions reculées du monde, comme la Papouasie-Nouvelle-Guinée, et dans les hauts plateaux des Andes. Certaines cultures fonctionnent avec des concepts de nombres précis et d’autres n’ont pas les concepts pour, disons, les nombres 8 ou 11—leurs langues n’ont pas de mots qui discriminent ces nombres de quelque chose comme 9 ou 10., Lorsque vous étudiez ces niches de pratiques culturelles, vous voyez des notions fondamentales de nombre qui ne sont pas présentes, comme la précision, par exemple.

BRIAN BUTTERWORTH: dites-vous que les mathématiques sont une invention culturelle, ce qui est en quelque sorte arbitraire?

RAFAEL Núñez: non, parce que la culture n’est pas arbitraire., Les pratiques culturelles sont contraintes, entre autres, par la biologie des individus qui composent la culture. Les accents de la parole, par exemple, sont liés à des pratiques culturelles (linguistiques) qui ne sont pas génétiquement déterminées— rien dans mes gènes ne dit que ma langue maternelle est l’espagnol et que je parle anglais avec un accent espagnol. Et les humains ne peuvent pas simplement produire n’importe quel son arbitraire qu’ils veulent dans n’importe quelle fréquence—parce qu’ils sont très contraints biologiquement. Il n’est donc pas purement arbitraire.,

BRIAN BUTTERWORTH: vous avez dit que si vous n’avez pas le mot pour neuf, vous n’aurez pas le concept de neuf. Mais John Locke, le philosophe britannique du 17ème siècle, a rapporté avoir parlé à des Indiens D’Amazonie qui n’avaient pas de mots numériques au-delà de 5. Pourtant, s’il leur demandait de lui expliquer les plus grands nombres, ces Indiens tiendraient leurs doigts ainsi que les doigts des autres personnes présentes afin de montrer ce que ces plus grands nombres étaient. Ils avaient donc un concept de tous ces chiffres, même s’ils n’ont pas de mots pour eux., Notre propre recherche dans les cultures australiennes qui n’ont pas de mots de comptage montre que si vous présentez d’une manière culturellement appropriée, vous constaterez que ces enfants ont les mêmes concepts de nombres et d’arithmétique que les enfants élevés en anglais.

RAFAEL NÚÑEZ: je suis d’accord que nous pourrions avoir une idée d’un polygone régulier avec 103 côtés, Même si nous n’avons pas de nom pour cela. Mais je ne pense pas que ce soit l’essence de la question. En fait, je ne pense pas que l’origine des mathématiques est finalement sur les chiffres., Au lieu de cela, il s’agit beaucoup plus de contraintes logiques, de postulats et d’axiomes, de mécanismes inférentiels, etc. Un bon comptable qui fait beaucoup de calculs ne fait pas un bon mathématicien. Nombre peut jouer un rôle, mais n’est pas nécessairement la pierre angulaire de mathématiques. Et nous avons beaucoup de principes logiques ou d’axiomes différents parmi lesquels choisir, chacun pouvant être cohérent en interne mais incompatible avec les autres., Donc, vous ne pouvez pas simplement dire, par exemple, qu’une déclaration particulière sur l’infini est vraie dans l’univers parce que son statut de vérité dépendra des axiomes avec lesquels vous commencez et ceux-ci sont concoctés à partir de l’imagination humaine, qui est médiée par le langage et culturellement façonnée. Il n’y a pas de forme unique inhérente de logique dans l’univers. Les humains opèrent avec différents types de logiques dans différents contextes et à des fins différentes.,

SIMEON HELLERMAN: mais nous savons que compte tenu des règles habituelles d’inférence logique, il est possible de construire toutes les opérations impliquant des nombres. Nous pouvons donc convenir que les nombres entiers et les lois de toutes les formes de géométries sont cohérentes et universelles, qu’elles puissent ou non être réalisées dans la nature.,

BRIAN BUTTERWORTH: il n’est pas clair que vous pouvez dériver les propriétés des nombres de la logique seule ou qu’avoir une technologie arithmétique est nécessaire pour la logique. Il peut faire des nuances compliquées de raisonnement logique plus facile. Dans tous les cas, la logique formelle ne va pas s’avérer suffisante pour vous donner l’un des types de mathématiques qui nous intéressent, même l’arithmétique relativement simple que nous connaissons. Je pense que le raisonnement formel provient de nos lobes frontaux du cerveau et il y a quelques axiomes sur les nombres qui proviennent des lobes pariétaux du cerveau., Le lobe frontal opère sur ces concepts numériques afin de nous donner ce que nous comprenons comme le reste des mathématiques.

MAX Tegmark: lorsque différentes cultures évoluent, elles ne vont pas toutes trouver les concepts et les mots pour toutes les différentes structures mathématiques, mais je pense qu’elles vont toutes trouver certains des concepts les plus utiles., Toutes les cultures trouvent utile de faire la distinction entre un et deux, afin qu’ils puissent savoir s’ils ont laissé un enfant derrière eux dans la forêt—les canards sont vraiment bons pour garder une trace du nombre de bébés qu’ils ont nagés après eux whereas alors que l’étude de l’algèbre abstraite peut ne pas être quelque chose d’important

RAFAEL NÚÑEZ: c’est vrai. À partir de L’époque de Galilée, les mathématiques qui ont été créées et développées sont devenues intimement liées à la physique afin qu’elles correspondent aux phénomènes observés par les humains dans la nature. Depuis des siècles, nous avons choisi les mathématiques qui ont été utiles et rejeté les mathématiques qui ne l’ont pas été. à ce stade, la physique contemporaine ne peut plus exister sans les mathématiques qui vont avec., Vous attribuez les propriétés des nombres comme si elles étaient dans l’univers, mais en fait, en mathématiques, il y a toutes sortes de choix qui ont été faits à l’avance pour que les mathématiques soient ce qu’elles sont. Par exemple, la théorie des ensembles dit que l’ensemble vide est un sous-ensemble de chaque ensemble, même si nous ne voyons pas ce fait matérialisé physiquement nulle part dans l’univers. Pourtant, nous réalisons maintenant qu’une telle « vérité » est « nécessaire » et nous la rendons donc vraie., Ce genre de cherry-picking s’est produit partout dans l’histoire des mathématiques, essentiellement après le 19ème siècle avec l’invention de la géométrie non euclidienne, qui a modifié certains postulats et axiomes définis précédemment, et avec la création de nouveaux systèmes logiques modernes.

MAX Tegmark: ce qui est fantastique, c’est que la géométrie non euclidienne a été inventée il y a près de 200 ans lorsque les physiciens pensaient qu’elle ne décrivait pas notre propre espace physique, qu’ils pensaient plat, pas incurvé, donc deux lignes parallèles ne pourraient jamais se croiser., Puis Einstein est arrivé et après avoir étudié la géométrie non euclidienne, l’espace supposé était incurvé et que cela suggérait que la lumière se plierait autour du soleil, ce qu’il fait, et qu’il pourrait y avoir des trous noirs, qui ont été trouvés plus tard. Ne pensez-vous pas qu’il soit surprenant que de telles mathématiques puissent prédire des choses dans la nature que nous avons trouvées plus tard?

RAFAEL Núñez: Oui, à première vue, cela semble surprenant, mais quand on creuse un peu plus, on se rend compte que tous les outils inventés par les mathématiciens n’ont pas été utiles en physique pour trouver de nouvelles choses., Nous, les humains, sommes assez bons pour essayer de donner un sens aux choses et exceller dans le développement de nouveaux outils à ces fins. Vous donnez des exemples de cas dans lesquels les mathématiques fonctionnent apparemment dans la nature. Mais, que diriez-vous de tous ces cas pour lesquels il ne le fait pas, y compris pour faire des prévisions météorologiques précises? La saga des mathématiques en science a été d’inventer de nouveaux outils mathématiques qui aident à faire des prédictions testables et de garder ceux qui fonctionnent, tout en écartant ceux qui ne sont pas utiles., Mais il y a des tonnes d’autres choses dans les mathématiques pures qui ne sont pas testables ou utiles dans la science empirique proprement dite.

BRIAN BUTTERWORTH: QU’en est-il des choses qui ne peuvent être décrites qu’en utilisant la probabilité, telle la position d’un électron à tout moment. Comment cela correspond-il à votre hypothèse Max?,

MAX Tegmark: la mécanique quantique a jeté cette clé de singe dans la vieille idée de causalité quand il s’est avéré qu’il y a certaines expériences où vous ne pouvez pas dire avec certitude ce qui va se passer. Mais vous pouvez prendre une description purement mathématique, connue sous le nom d’équation de Schrödinger, et dire qu’elle s’applique toujours à tout, donc il n’y a pas de chose aléatoire ou indéterminée à ce sujet. Cela signifie simplement que la réalité est plus grand que la réalité que nous pouvons voir.,

TKF: êtes-vous en train de dire que pour nous, cela semble subjectif et aléatoire, mais au-dessus de tout cela, il y a cet ordre que nous ne pouvons tout simplement pas percevoir?

MAX Tegmark: Oui. C’est comme s’ils mettaient un clone de vous dans une pièce étiquetée A et l’original vous dans une pièce étiquetée B. Lorsque vous sortez le lendemain matin et regardez l’étiquette de votre pièce, vous ne pouvez pas prédire si vous allez voir A ou B parce que vous n’avez aucun moyen de savoir si vous êtes le clone. Donc, cela va vous sembler subjectivement aléatoire, que vous sortiez de la pièce A ou de la pièce B., Mais quelqu’un qui observe à la fois vous et votre clone sera en mesure de prédire que si votre clone sort de la salle A, que votre version originale sortira de la salle B.

TKF: terminons notre discussion en parlant des raisons pour lesquelles nous devons comprendre les origines des mathématiques. Y a-t-il des implications pratiques pour chaque théorie que vous avez suggérée?

BRIAN BUTTERWORTH: comprendre les origines des mathématiques est important pour l’éducation., Si nous avons un système inné qui sous-tend une grande partie de nos capacités mathématiques, alors les choses peuvent mal tourner avec sa transmission génétique dans le cerveau, donc il y aura des gens qui ne seront pas capables d’apprendre cette arithmétique de la manière habituelle. Vous devez trouver des façons différentes d’enseigner à ces personnes qui, comme vous devez trouver différentes manières d’enseigner les dyslexiques à lire.

MAX Tegmark: si les mathématiques sont inhérentes à l’univers, alors les mathématiques peuvent nous donner des conseils pour résoudre des problèmes futurs en physique., Si nous croyons vraiment que la nature est fondamentalement mathématique, alors nous devrions rechercher des modèles mathématiques et des régularités lorsque nous rencontrons des phénomènes que nous ne comprenons pas. Cette approche de résolution de problèmes est au cœur du succès de la physique depuis 500 ans.

SIMEON HELLERMAN: je suis d’accord avec Max et je veux ajouter que, dans les sciences physiques, l’étalon-or d’une théorie est qu’elle prédit des phénomènes qualitativement nouveaux., Si nous pensions que les mathématiques étaient tellement liées à la culture et flexibles qu’elles pouvaient décrire tout ce que vous observez—peut—être qu’il y a un boson de Higgs, peut-être pas, et que les mathématiques peuvent décrire l’une ou l’autre situation sur une base démocratique-alors il y aurait beaucoup de choses en physique que

RAFAEL Núñez: je suis d’accord avec Brian pour dire que la compréhension des origines des mathématiques a un impact énorme sur ce que l’éducation pourrait ou devrait être. Cela a également des implications pour la compréhension des croyances et des logiques d’autres cultures. Beaucoup de guerres sont dues à ne pas comprendre la logique d’une autre culture. Les systèmes logiques incarnent des principes mathématiques qui sont incorporés dans nos systèmes juridiques et nos religions, qui prescrivent tous deux un comportement. Comprendre les origines des mathématiques nous aidera à mieux comprendre la nature humaine.

MAX Tegmark: j’ai vraiment apprécié cette conversation interdisciplinaire., Peut-être la raison pour laquelle Siméon et moi sommes plus gung-ho sur la nature étant mathématique que les neuroscientifiques est qu’il est beaucoup plus facile d’étudier et de décrire mathématiquement un petit électron que d’étudier les zillions d’électrons qui composent le cerveau humain. Il y a là une belle complexité et nous avons beaucoup de travail à faire, même si la nature est finalement mathématique à la racine.

BRIAN BUTTERWORTH: il y a encore des questions sans réponse. Par exemple, le boson de Higgs existerait-il s’il n’y avait pas les mathématiques pour le décrire?, C’est peut-être une question mieux résolue après quelques verres.

— Été 2013

Auteur: Margie Patlak