Das Gehirn oder das Universum – Wo Macht Mathe Kommen?

TKF: Sie stimmen also nicht mit Dr. Tegmarks Vorstellung überein, dass Elektronen nur Zahlen sind?

BRIAN BUTTERWORTH: Ja, denn um eine physikalische Erklärung für Phänomene zu haben, muss man einen Grund dafür haben. Aber wie kann eine Zahl eine Ursache sein? Es ist wahr, dass Sie Zahlen verwenden können, um Elektroneneigenschaften zu beschreiben, aber das bedeutet nicht, dass diese Zahlen tatsächlich eine Eigenschaft dieses physischen Objekts sind., Twoness ist eine Eigenschaft eines Satzes von Objekten, z. B. zwei Tassen oder zwei Elektronen. Es ist jedoch unabhängig von den Arten von Objekten, die sich in der Menge befinden, für die es sich um eine Eigenschaft handelt. Ein Satz von zwei Tassen unterscheidet sich von einem Satz von zwei Elektronen, so dass twoness nicht die gleiche kausale Eigenschaft für Tassen und Elektronen haben kann.

TKF: Dr. Núñez, wie reagieren Sie auf diese Hypothesen, da Ihre Forschung kulturelle Unterschiede in den mathematischen Fähigkeiten festgestellt hat und darauf hindeutet, dass viele mathematische Prinzipien aus unseren Interaktionen mit der Welt gelernt werden?,

RAFAEL NÚÑEZ: Ich stimme Brian zu, dass Zahlen keine Eigenschaften des Universums sind, sondern dass sie die biologische Grundlage dafür widerspiegeln, wie Menschen die Welt verstehen., Mathe ist eine Form der menschlichen Vorstellungskraft, die nicht nur gehirnbasiert, sondern auch kulturell geformt ist-und das ist entscheidend. Es ist wahr, dass wir ohne Gehirn nicht rechnen können, aber es ist auch wahr, dass wir ein Gehirn brauchen, um Klavier oder Tennis zu spielen oder Snowboarden zu gehen. Und keine dieser Handlungen ist genetisch bedingt. Wir brauchen ein Gehirn für alle, aber wir brauchen auch einen ausgeklügelten kulturellen Apparat, der prägt, wie diese grundlegenden Gehirnfunktionen rekrutiert und ausgedrückt werden., Gehirnbereiche unterstützen die Erfindung mathematischer Prinzipien, aber diese Prinzipien kommen nicht direkt aus einem bestimmten Bereich des Gehirns.

TKF: Können Sie ein Beispiel geben, das die Vorstellung unterstützt, dass Mathematik kulturell geformt werden kann?

RAFAEL NÚÑEZ: Nehmen Sie die mathematische Vorstellung, dass ‚0 factorial = 1‘. Diese „Wahrheit“ existiert nirgendwo im Universum und kommt nicht direkt aus der Gehirnaktivität heraus. Aber in der Kultur der mathematischen Praxis erkannten bestimmte Mathematiker, dass sie diese „Wahrheit“ brauchten, damit bestimmte Dinge funktionieren, und nahmen sie an., In der modernen Mathematik geschieht dies routinemäßig über formale Definitionen und Axiome. Dies sind Ergebnisse der kulturellen Praxis-nicht nur konventionelle, sondern stark eingeschränkte kulturelle Praktiken. Im Bereich der Zahlen habe ich in abgelegenen Gebieten der Welt wie Papua-Neuguinea und im Hochland der Anden geforscht. Einige Kulturen arbeiten mit genauen Zahlenkonzepten und andere haben nicht die Konzepte für, sagen wir, die Zahlen 8 oder 11—ihre Sprachen haben keine Wörter, die diese Zahlen von etwas wie 9 oder 10 unterscheiden., Wenn Sie diese Nischen kultureller Praktiken untersuchen, sehen Sie einige grundlegende Vorstellungen von Zahlen, die nicht vorhanden sind, wie zum Beispiel Präzision.

BRIAN BUTTERWORTH: Sagen Sie, dass Mathematik eine kulturelle Erfindung ist, die irgendwie willkürlich ist?

RAFAEL NÚÑEZ: Nein, denn Kultur ist nicht willkürlich., Kulturelle Praktiken werden unter anderem durch die Biologie der Individuen, aus denen die Kultur besteht, eingeschränkt. Sprachakzente beziehen sich beispielsweise auf kulturelle (sprachliche) Praktiken, die nicht genetisch bedingt sind— nichts in meinen Genen besagt, dass meine Muttersprache Spanisch ist und dass ich Englisch mit spanischem Akzent spreche. Und der Mensch kann nicht einfach jeden beliebigen Klang erzeugen, den er in irgendeiner Frequenz will—weil er biologisch stark eingeschränkt ist. Es ist also nicht rein willkürlich.,

BRIAN BUTTERWORTH: Du hast gesagt, wenn du nicht das Wort für neun hast, wirst du nicht das Konzept von neun haben. Aber John Locke, der britische Philosoph des 17. Jahrhunderts, berichtete im Gespräch mit Amazonas-Indianer, die keine Zahl Worte über 5 hatte. Wenn er sie jedoch bat, ihm größere Zahlen zu erklären, hielten diese Indianer sowohl ihre Finger als auch die Finger anderer anwesender Personen hoch, um zu zeigen, was diese größeren Zahlen waren. Sie hatten also ein Konzept all dieser Zahlen, obwohl sie keine Worte für sie hatten., Unsere eigene Forschung in australischen Kulturen, die keine Wörter zählen, zeigt, dass, wenn Sie in einer kulturell angemessenen Art und Weise präsentieren, Sie werden feststellen, dass diese Kinder die gleichen Konzepte von Zahlen und Arithmetik haben, die Kinder erzogen Englisch sprechen tun.

RAFAEL NÚÑEZ: Ich stimme zu, dass wir eine Vorstellung von einem regulären Polygon mit 103 Seiten haben könnten, obwohl wir keinen Namen dafür haben. Aber ich glaube nicht, dass dies die Essenz der Frage ist. Eigentlich, Ich glaube nicht, dass der Ursprung der Mathematik letztlich über Zahlen., Stattdessen geht es viel mehr um logische Einschränkungen, Postulate und Axiome, inferentielle Mechanismen usw. Ein guter Buchhalter, der viel Zahlenknirschen macht, ist kein guter Mathematiker. Zahl kann eine Rolle spielen, ist aber nicht unbedingt der Eckpfeiler der Mathematik. Und wir haben viele verschiedene logische Prinzipien oder Axiome, aus denen wir wählen können, von denen jedes intern konsistent, aber inkonsistent mit anderen sein kann., Sie können also zum Beispiel nicht einfach sagen, dass eine bestimmte Aussage über die Unendlichkeit im Universum wahr ist, weil ihr Wahrheitsstatus von den Axiomen abhängt, mit denen Sie beginnen, und diese werden aus der menschlichen Vorstellungskraft zusammengebraut, die durch Sprache vermittelt wird und kulturell geformt. Es gibt keine inhärente einzige form der Logik im Universum. Menschen arbeiten mit verschiedenen Arten von Logiken in verschiedenen Kontexten und für verschiedene Zwecke.,

SIMEON HELLERMAN: Aber wir wissen, dass es angesichts der üblichen Regeln der logischen Inferenz möglich ist, alle Operationen mit Zahlen zu konstruieren. Wir können uns also darauf einigen, dass ganze Zahlen und die Gesetze aller Formen von Geometrien konsistent und universell sind, unabhängig davon, ob sie in der Natur realisiert werden können oder nicht.,

BRIAN BUTTERWORTH: Es ist nicht klar, dass Sie die Eigenschaften von Zahlen allein aus der Logik ableiten können oder dass eine arithmetische Technologie für die Logik notwendig ist. Es kann komplizierte Schattierungen des logischen Denkens erleichtern. In jedem Fall wird die formale Logik nicht ausreichen, um Ihnen eine der Arten von Mathematik zu geben, an denen wir interessiert sind, selbst die relativ einfache Arithmetik, mit der wir vertraut sind. Ich denke, formale Überlegungen stammen von unseren Frontallappen des Gehirns und es gibt einige Axiome über Zahlen, die von den Parietallappen des Gehirns stammen., Der Frontallappen arbeitet mit diesen numerischen Konzepten, um uns das zu geben, was wir als Rest der Mathematik verstehen.

MAX TEGMARK: Wenn sich verschiedene Kulturen entwickeln, werden sie nicht alle die Konzepte und Wörter für all die verschiedenen mathematischen Strukturen finden, aber ich denke, sie werden alle einige der nützlichsten Konzepte entwickeln., Alle Kulturen finden es nützlich, zwischen einem und zwei zu unterscheiden, damit sie wissen, ob sie ein Kind im Wald zurückgelassen haben—Enten sind wirklich gut darin, zu verfolgen, wie viele Babys sie nach ihnen geschwommen sind-während das Studium der abstrakten Algebra für alle Kulturen möglicherweise nicht wichtig ist.

RAFAEL NÚÑEZ: Das ist richtig. Beginnend mit Galileos Zeit wurde die Mathematik, die geschaffen und entwickelt wurde, eng mit der Physik verflochten, so dass sie zu den Phänomenen passte, die Menschen in der Natur beobachteten. Seit Jahrhunderten pflücken wir die Mathematik, die nützlich war, und verworfen die Mathematik, die nicht war. An diesem Punkt kann die zeitgenössische Physik ohne die Mathematik, die damit einhergeht, nicht mehr existieren., Sie schreiben die Zahleneigenschaften so zu, als wären sie im Universum, aber tatsächlich gibt es in der Mathematik alle Arten von Entscheidungen, die zuvor getroffen wurden, damit genau diese Mathematik das ist, was sie ist. Zum Beispiel sagt die Mengenlehre, dass die leere Menge eine Teilmenge jeder Menge ist, obwohl wir diese Tatsache nirgendwo im Universum physisch materialisiert sehen. Dennoch erkennen wir jetzt, dass eine solche „Wahrheit „“notwendig“ ist, und deshalb machen wir sie wahr., Jahrhundert mit der Erfindung der nicht-euklidischen Geometrie, die bestimmte zuvor gesetzte Postulate und Axiome veränderte, und mit der Schaffung moderner neuer logischer Systeme.

MAX TEGMARK: Die fantastische Wendung ist, dass die nicht-euklidische Geometrie vor fast 200 Jahren erfunden wurde, als Physiker dachten, dass sie unseren eigenen physischen Raum nicht beschreibt, den sie für flach und nicht gekrümmt hielten Zwei parallele Linien könnten sich niemals kreuzen., Dann kam Einstein und nach dem Studium der nicht-euklidischen Geometrie wurde angenommen, dass der Raum gekrümmt war und dass sich dieses vorgeschlagene Licht um die Sonne biegen würde, was es tut, und dass es Schwarze Löcher geben könnte, die später gefunden wurden. Denkst du nicht, dass es überraschend ist, dass eine solche Mathematik Dinge in der Natur vorhersagen könnte, die wir später gefunden haben?

RAFAEL NÚÑEZ: Ja, auf den ersten Blick scheint es überraschend, aber wenn Sie ein wenig mehr graben, stellen Sie fest, dass nicht alle Werkzeuge, die Mathematiker erfunden haben, in der Physik nützlich waren, um neue Dinge zu finden., Wir Menschen sind ziemlich gut darin, Dinge zu verstehen und neue Werkzeuge für solche Zwecke zu entwickeln. Sie geben Beispiele für Fälle, in denen Mathematik anscheinend in der Natur funktioniert. Aber wie wäre es mit all den Fällen, in denen dies nicht der Fall ist, einschließlich genauer Wettervorhersagen? Die Saga der Mathematik in der Wissenschaft bestand darin, neue mathematische Werkzeuge zu erfinden, die dazu beitragen, testbare Vorhersagen zu treffen und diejenigen, die funktionieren, beizubehalten, während diejenigen, die nicht nützlich sind, verworfen werden., Aber es gibt Unmengen anderer Dinge in der reinen Mathematik, die in der eigentlichen empirischen Wissenschaft nicht testbar oder nützlich sind.

BRIAN BUTTERWORTH: Was ist mit Dinge, die können nur beschrieben werden, mit Wahrscheinlichkeit, wie die position eines Elektron an jedem Punkt in der Zeit. Wie passt das zu Ihrer Hypothese Max?,

MAX TEGMARK: Die Quantenmechanik warf diesen Affenschlüssel bekanntermaßen in die alte Idee der Kausalität, als sich herausstellte, dass es bestimmte Experimente gibt, bei denen man nicht sicher sagen kann, was passieren wird. Aber Sie können eine rein mathematische Beschreibung nehmen, die als Schrödinger-Gleichung bekannt ist, und sagen, dass sie immer für alles gilt, also gibt es keine zufällige oder unbestimmte Sache darüber. Es bedeutet nur, dass die tatsächliche volle Realität größer ist als die Realität, die wir sehen können.,

TKF: Sagen Sie, dass es sich für uns subjektiv und zufällig anfühlt, aber vor allem gibt es diese Reihenfolge, die wir einfach nicht wahrnehmen können?

MAX TEGMARK: ja. Es ist, als würden sie einen Klon von Ihnen in einen Raum mit der Bezeichnung A und das Original in einen Raum mit der Bezeichnung B legen Wenn Sie am nächsten Morgen herauskommen und sich Ihr Raumetikett ansehen, können Sie nicht vorhersagen, ob Sie A oder B sehen werden, weil Sie nicht wissen können, ob Sie der Klon sind. Es wird Ihnen also subjektiv zufällig erscheinen, ob Sie aus Raum A oder Raum B kommen., Aber jemand, der sowohl Sie als auch Ihren Klon beobachtet, kann vorhersagen, dass, wenn Ihr Klon aus Raum A kommt, Ihre ursprüngliche Version aus Raum B.

TKF: Beenden wir unsere Diskussion, indem wir darüber sprechen, warum wir die Ursprünge der Mathematik verstehen müssen. Gibt es praktische Implikationen für jede Theorie, die Sie vorgeschlagen haben?

BRIAN BUTTERWORTH: Das Verständnis der Ursprünge der Mathematik ist wichtig für die Bildung., Wenn wir ein angeborenes System haben, das vielen unserer mathematischen Fähigkeiten zugrunde liegt, dann kann etwas schief gehen mit seiner genetischen Übertragung im Gehirn, also wird es einige Leute geben, die diese Arithmetik nicht auf die übliche Weise lernen können. Sie müssen verschiedene Wege finden, um diese Menschen zu unterrichten, genau wie Sie verschiedene Wege finden müssen, Legastheniker das Lesen beizubringen.

MAX TEGMARK: Wenn Mathe im Universum stattfindet, kann uns die Mathematik Hinweise zur Lösung zukünftiger Probleme in der Physik geben., Wenn wir wirklich glauben, dass die Natur grundsätzlich mathematisch ist, sollten wir nach mathematischen Mustern und Gesetzmäßigkeiten suchen, wenn wir auf Phänomene stoßen, die wir nicht verstehen. Dieser Problemlösungsansatz steht seit 500 Jahren im Mittelpunkt des Erfolgs der Physik.

SIMEON HELLERMAN: Ich stimme Max zu und möchte hinzufügen, dass in den physikalischen Wissenschaften der Goldstandard einer Theorie darin besteht, qualitativ neue Phänomene vorherzusagen., Wenn wir dachten, Mathe sei so kulturgebunden und flexibel, dass es alles beschreiben könnte, was Sie beobachten—vielleicht gibt es ein Higgs—Boson, vielleicht nicht, und Mathe kann jede Situation auf demokratischer Basis beschreiben-dann gäbe es viel in der Physik Wir würden uns nicht darum kümmern und wir hätten nie die Erfolge gehabt, die wir hatten.

RAFAEL NÚÑEZ: Ich stimme Brian zu, dass das Verständnis der Ursprünge der Mathematik einen enormen Einfluss darauf hat, was Bildung sein könnte oder sollte. Es hat auch Auswirkungen auf das Verständnis der Überzeugungen und Logiken anderer Kulturen. Viele Kriege sind darauf zurückzuführen, die Logik einer anderen Kultur nicht zu verstehen. Logische Systeme verkörpern mathematische Prinzipien, die in unsere Rechtssysteme und Religionen integriert sind, die beide Verhalten vorschreiben. Das Verständnis der Ursprünge der Mathematik wird uns helfen, die menschliche Natur besser zu verstehen.

MAX TEGMARK: Ich habe dieses interdisziplinäre Gespräch sehr genossen., Vielleicht ist der Grund, warum Simeon und ich sind mehr Gung-ho über die Natur mathematisch als die Neurowissenschaftler ist, dass es viel einfacher zu studieren und mathematisch ein kleines Elektron zu beschreiben, als die Zillionen von Elektronen zu studieren, die das menschliche Gehirn umfassen. Es gibt dort schöne Komplexität und wir haben viel Arbeit für uns ausgeschnitten, auch wenn die Natur letztendlich mathematisch an der Wurzel liegt.

BRIAN BUTTERWORTH: Es gibt noch einige unbeantwortete Fragen. Würde zum Beispiel das Higgs-Boson existieren, wenn es nicht die Mathematik gäbe, um es zu beschreiben?, Vielleicht ist dies eine Frage, die am besten nach ein paar Drinks gelöst wird.

— Sommer 2013

Autorin: Margie Patlak