Definition av linjär ekvation av första ordningen
en differentialekvation av typ
\
- med hjälp av en integrerande faktor;
- metod för variation av en konstant.,
med hjälp av en integrerande faktor
om en linjär differentialekvation skrivs i standardformen:
\
integrerande faktor definieras med formeln
\
den allmänna lösningen av differentialekvationen uttrycks enligt följande:
\
där \(C\) är en godtycklig konstant.
metod för Variation av en konstant
denna metod liknar den tidigare metoden. Först är det nödvändigt att hitta den allmänna lösningen av den homogena ekvationen:
\
den beskrivna algoritmen kallas metoden för variation av en konstant., Naturligtvis leder båda metoderna till samma lösning.
Initial Value Problem
löste problem
Klicka eller tryck på ett problem för att se lösningen.
Exempel 1.
Lös ekvationen \ (y – – y-x{e^x}\) \ (=0.\ )
lösning.
vi skriver om denna ekvation i standardform:
\
Vi kommer att lösa denna ekvation med hjälp av integrerande faktor
\
då ges den allmänna lösningen av den linjära ekvationen av
exempel 2.
Lös differentialekvationen \(xy’ = y + 2{x^3}.\ )
lösning.,
Vi kommer att lösa detta problem genom att använda metoden för variation av en konstant. Först hittar vi den allmänna lösningen av den homogena ekvationen:
\
som kan lösas genom att separera variablerna:
var \(C\) är ett positivt reellt tal.
\
då ges derivatet av
\^\prime } }={ C’\left( x \right)x + c\left( x \right).}\]
att ersätta detta i ekvationen ger:
vid integration hittar vi funktionen \({C\left( x \right)}:\)
\
var \({c_1}\) är ett godtyckligt reellt tal.,
således skrivs den allmänna lösningen av den givna ekvationen i formuläret
\
Leave a Reply