definitie van de lineaire vergelijking van de eerste orde
een differentiaalvergelijking van het type
\
- Met behulp van een integrerende factor;
- variatiemethode van een constante.,
gebruikmakend van een Integratiefactor
als een lineaire differentiaalvergelijking in de standaardvorm wordt geschreven:
\
De integratiefactor wordt gedefinieerd door de formule
\
de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking wordt als volgt uitgedrukt:
\
waarbij \(C\) een willekeurige constante is.
Variatiemethode van een constante
Deze methode is vergelijkbaar met de vorige benadering. Eerst is het nodig om de algemene oplossing van de homogene vergelijking te vinden:
\
het beschreven algoritme wordt de variatiemethode van een constante genoemd., Natuurlijk leiden beide methoden tot dezelfde oplossing.
initiële waarde probleem
Opgeloste problemen
klik of tik op een probleem om de oplossing te zien.
Voorbeeld 1.
los de vergelijking \(y’ – y – x{e^x}\) \ (=0.\)
oplossing.
we herschrijven deze vergelijking in standaardvorm:
we lossen deze vergelijking op met behulp van de integrerende factor
dan wordt de algemene oplossing van de lineaire vergelijking gegeven door
Voorbeeld 2.
los de differentiaalvergelijking \(xy ‘ = y + 2{x^3} op.\)
oplossing.,
We zullen dit probleem oplossen door de variatiemethode van een constante te gebruiken. Eerst vinden we de algemene oplossing van de homogene vergelijking:
\
die opgelost kan worden door de variabelen te scheiden:
waarbij \(C\) een positief reëel getal is.
\
dan wordt de afgeleide gegeven door
\^\prime } }={ C’\left( x \right)x + C\left( x \right).}\]
dit in de vergelijking vervangen geeft:
bij integratie vinden we de functie \({C\left( x \right)}:\)
\
waar \({c_1}\) een willekeurig reëel getal is.,
De algemene oplossing van de gegeven vergelijking is dus geschreven in de vorm
\
Leave a Reply