Definition der linearen Gleichung erster Ordnung
Eine Differentialgleichung vom Typ
\
- Unter Verwendung eines Integrationsfaktors;
- Methode zur Variation einer Konstante.,
Verwendung eines Integrationsfaktors
Wenn eine lineare Differentialgleichung in der Standardform geschrieben wird:
\
Der Integrationsfaktor wird durch die Formel
\
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung wird wie folgt ausgedrückt:
\
wobei \(C\) eine beliebige Konstante ist.
Methode zur Variation einer Konstante
Diese Methode ähnelt dem vorherigen Ansatz. Zuerst ist es notwendig, die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung zu finden:
\
Der beschriebene Algorithmus wird als Variationsmethode einer Konstante bezeichnet., Natürlich führen beide Methoden zur gleichen Lösung.
Anfangswertproblem
Gelöste Probleme
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Beispiel 1.
Lösen Sie die Gleichung \(y‘ – y – x{e^x} \) \(= 0.\)
Lösung.
Wir schreiben diese Gleichung in Standardform um:
\
Wir lösen diese Gleichung mit dem Integrationsfaktor
\
Dann wird die allgemeine Lösung der linearen Gleichung durch
Beispiel 2 gegeben.
Lösen Sie die Differentialgleichung \(xy‘ = y + 2{x^3}.\)
Lösung.,
Wir werden dieses Problem lösen, indem wir die Methode der Variation einer Konstante verwenden. Zuerst finden wir die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung:
\
, die durch Trennen der Variablen gelöst werden kann:
wobei \(C\) eine positive reelle Zahl ist.
\
Dann die Ableitung ist gegeben durch
– \^\prime } }={ C’\left( x \right)x + C\left( x \right).}\]
Wenn wir dies in die Gleichung einfügen, ergibt sich:
Bei der Integration finden wir die Funktion \({C\left (x \right)}:\)
\
wobei \({C_1}\) eine beliebige reelle Zahl ist.,
Somit wird die allgemeine Lösung der gegebenen Gleichung in der Form
\
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