Definizione di Equazione Lineare del Primo Ordine
Un’equazione differenziale del tipo
\
- Utilizzo di un fattore d’integrazione;
- Metodo di variazione della costante.,
l’Utilizzo di un Fattore d’Integrazione
Se una equazione differenziale lineare è scritto in forma standard:
\
il fattore d’integrazione è definita dalla formula
\
La soluzione generale dell’equazione differenziale è espresso come segue:
\
dove \(C\) è una costante arbitraria.
Metodo di variazione di una costante
Questo metodo è simile all’approccio precedente. Per prima cosa è necessario trovare la soluzione generale dell’equazione omogenea:
\
L’algoritmo descritto è chiamato il metodo di variazione di una costante., Naturalmente, entrambi i metodi portano alla stessa soluzione.
Valore iniziale Problema
Problemi risolti
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Esempio 1.
Risolvi l’equazione \(y – – y-x{e^x}\) \ (=0.\ )
Soluzione.
Riscriviamo questa equazione in forma standard:
\
Risolveremo questa equazione usando il fattore di integrazione
\
Quindi la soluzione generale dell’equazione lineare è data da
Esempio 2.
Risolvi l’equazione differenziale \(xy ‘ = y + 2{x^3}.\ )
Soluzione.,
Risolveremo questo problema usando il metodo di variazione di una costante. Per prima cosa troviamo la soluzione generale dell’equazione omogenea:
\
che può essere risolta separando le variabili:
dove \(C\) è un numero reale positivo.
\
Quindi la derivata è data da
\^\prime } }={ C’\left( x \right)x + C\left( x \right).}\]
Sostituendo questo nell’equazione si ottiene:
Dopo l’integrazione, troviamo la funzione\({C \left( x\right)}:\)
\
dove\ ({C_1}\) è un numero reale arbitrario.,
Quindi, la soluzione generale dell’equazione data è scritta nella forma
\
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