az elsőrendű lineáris egyenlet meghatározása
\
- integráló tényező alkalmazásával;
- egy konstans variációs módszere.,
A Integráló Tényező
Ha egy lineáris differenciálegyenlet van írva a szabványos formában:
\
az integráló tényező az alábbi képlet határozza meg
\
Az általános megoldás a differenciál-egyenlet a következőképpen fejezhető ki:
\
amennyiben \(C -\) egy tetszőleges állandó.
egy állandó variációs módszere
Ez a módszer hasonló az előző megközelítéshez. Először meg kell találni a homogén egyenlet általános megoldását:
\
a leírt algoritmust állandó variációs módszernek nevezzük., Természetesen mindkét módszer ugyanazt a megoldást eredményezi.
kezdeti Értékprobléma
megoldott problémák
kattintson vagy koppintson a problémára a megoldás megtekintéséhez.
1. példa.
oldja meg a \(y’ – y – x{e^x} \) \(= 0.\)
megoldás.
ezt az egyenletet standard formában írjuk át:
\
ezt az egyenletet a
\
integráló tényezővel oldjuk meg, majd a lineáris egyenlet általános megoldását a
2. példa adja meg.
oldja meg a differenciálegyenletet \(xy ‘ = y + 2{x^3}.\)
megoldás.,
ezt a problémát egy állandó variációs módszerével oldjuk meg. Először megtaláljuk a homogén egyenlet általános megoldását:
\
, amelyet a változók elválasztásával lehet megoldani:
ahol \(C\) pozitív valós szám.
\
ezután a származékot
\^\prime } }={ C’\bal( x \jobb)x + C\bal( x \jobb).}\]
ezt az egyenletbe helyettesítve:
integráláskor megtaláljuk a \({C\bal( x \jobb)} függvényt:\)
\
ahol \({c_1}\) tetszőleges valós szám.,
így a megadott egyenlet általános megoldása
\
Leave a Reply