definicja równania liniowego pierwszego rzędu
równanie różniczkowe typu
- przy użyciu czynnika całkującego;
- metoda zmienności stałej.,
używając współczynnika całkowania
Jeśli liniowe równanie różniczkowe jest zapisane w postaci standardowej:
\
współczynnik całkowania jest zdefiniowany wzorem
\
ogólne rozwiązanie równania różniczkowego jest wyrażone w następujący sposób:
\
gdzie \(C\) jest dowolną stałą.
metoda zmienności stałej
ta metoda jest podobna do poprzedniego podejścia. Najpierw trzeba znaleźć ogólne rozwiązanie równania jednorodnego:
\
opisywany algorytm nazywa się metodą zmienności stałej., Oczywiście obie metody prowadzą do tego samego rozwiązania.
problem z wartością początkową
rozwiązane problemy
kliknij lub dotknij problemu, aby zobaczyć rozwiązanie.
przykład 1.
Rozwiąż równanie \(y' – y – x{e^x} \) \(= 0.\)
rozwiązanie.
przepisujemy to równanie w standardowej postaci:
\
rozwiążemy to równanie używając współczynnika całkowania
\
następnie ogólne rozwiązanie równania liniowego jest podane przez
przykład 2.
Rozwiąż równanie różniczkowe \(xy' = y + 2{x^3}.\)
rozwiązanie.,
rozwiążemy ten problem za pomocą metody zmienności stałej. Najpierw znajdujemy ogólne rozwiązanie równania jednorodnego:
\
które można rozwiązać poprzez oddzielenie zmiennych:
Gdzie \(C\) jest dodatnią liczbą rzeczywistą.
\
wtedy pochodna jest podana przez
\^\prime } }={ c’\left( x \right)x + C\left( x \right).}\]
zastąpienie tego równaniem daje:
Po całkowaniu znajdujemy funkcję \({c\left( x \right)}:\)
\
gdzie \({c_1}\) jest dowolną liczbą rzeczywistą.,
tak więc ogólne rozwiązanie danego równania jest zapisane w postaci
\
Leave a Reply