sources mathématiques anciennes

le système numérique et les opérations arithmétiques

Contrairement aux Égyptiens, les mathématiciens de l’ancienne période babylonienne allaient bien au-delà des défis immédiats de leurs fonctions comptables officielles., Par exemple, ils ont introduit un système numérique polyvalent, qui, comme le système moderne, exploitait la notion de valeur de lieu, et ils ont développé des méthodes de calcul qui ont tiré parti de ce moyen d’exprimer les nombres; ils ont résolu des problèmes linéaires et quadratiques par des méthodes beaucoup comme celles maintenant utilisées en algèbre; leur succès avec l’étude de ce Les scribes qui ont fait de telles découvertes ont dû croire que les mathématiques méritaient d’être étudiées à part entière, pas seulement comme un outil pratique.,

l’ancien système Sumérien de chiffres suivait un principe décimal additif (base-10) similaire à celui des Égyptiens. Mais l’ancien système babylonien a converti cela en un système de valeur de lieu avec la base de 60 (sexagésimal). Les raisons du choix de 60 sont obscures, mais une bonne raison mathématique aurait pu être l’existence de tant de diviseurs (2, 3, 4 et 5, et quelques multiples) de la base, ce qui aurait grandement facilité le fonctionnement de la division., Pour les nombres de 1 à 59, les symboles 1 et 10 ont été regroupées dans la simple manière additive (par exemple, représenté 32). Mais pour exprimer des valeurs plus grandes, les Babyloniens ont appliqué le concept de valeur de lieu., Par exemple, 60 ans, a été écrite , 70 , 80 , et ainsi de suite. En fait, pourrait représenter n’importe quelle puissance de 60. Le contexte a déterminé quel pouvoir était prévu. Au 3ème siècle avant notre ère, les Babyloniens semblent avoir développé un symbole d’espace réservé qui fonctionnait comme un zéro, mais sa signification et son utilisation précises sont encore incertaines., En outre, ils n’avaient pas de marque pour séparer les nombres en parties intégrales et fractionnaires (comme avec le point décimal moderne). Ainsi, le chiffre à trois places 3 7 30 pourrait représenter 31/8 (c’est-à-dire, 3 + 7/60 + 30/602), 1871/2 (c’est-à-dire, 3 × 60 + 7 + 30/60), 11,250 (c’est-à-dire, 3 × 602 + 7 × 60 + 30), ou un multiple de ces nombres par n’importe quelle puissance de 60.

Les quatre opérations arithmétiques étaient effectuées de la même manière que dans le système décimal moderne, sauf que le portage se produisait chaque fois qu’une somme atteignait 60 plutôt que 10., La Multiplication a été facilitée au moyen de tableaux; une tablette typique énumère les multiples d’un nombre par 1, 2, 3,…, 19, 20, 30, 40, et 50. Pour multiplier deux nombres de plusieurs endroits, le scribe a d’abord décomposé le problème en plusieurs multiplications, chacune par un nombre d’une place, puis a recherché la valeur de chaque produit dans les tableaux appropriés. Il a trouvé la réponse au problème en additionnant ces résultats intermédiaires. Ces tables ont également aidé à la division, car les valeurs qui les dirigent étaient toutes des réciproques de nombres réguliers.,

Les Nombres réguliers sont ceux dont les facteurs premiers divisent la base; les réciproques de tels nombres n’ont donc qu’un nombre fini de places (en revanche, les réciproques des nombres non réguliers produisent un nombre infini se répétant). En base 10, par exemple, seuls les nombres avec des facteurs de 2 et 5 (par exemple, 8 ou 50) sont réguliers, et les réciproques (1/8 = 0,125, 1/50 = 0.,02) ont des expressions finies; mais les réciproques d’autres nombres (tels que 3 et 7) se répètent à l’infini Et , respectivement, où la barre indique les chiffres qui se répètent continuellement). En base 60, seuls les nombres avec des facteurs de 2, 3 et 5 sont réguliers; par exemple, 6 et 54 sont réguliers, de sorte que leurs réciproques (10 et 1 6 40) sont finis. Les entrées de la table de multiplication pour 1 6 40 sont donc simultanément des multiples de sa réciproque 1/54., Pour diviser un nombre par n’importe quel nombre régulier, alors, on peut consulter le tableau des multiples pour sa réciproque.

une tablette intéressante de la collection de L’Université de Yale montre un carré avec ses diagonales. Sur un côté est écrit « 30 », sous une diagonale « 42 25 35 », et à droite le long de la même diagonale « 1 24 51 10 » (c’est-à-dire, 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603). Ce troisième nombre est la valeur correcte de la racine carrée de√2 à quatre endroits sexagésimaux (équivalent dans le système décimal à 1.,414213…, qui est trop faible de seulement 1 à la septième place), tandis que le deuxième nombre est le produit du troisième nombre et du premier et donne ainsi la longueur de la diagonale lorsque le côté est 30. Le scribe semble donc avoir connu un équivalent de la longue méthode familière de trouver des racines carrées. Un élément supplémentaire de sophistication est qu’En choisissant 30 (c’est-à-dire 1/2) pour le côté, le scribe a obtenu comme diagonale l’inverse de la valeur de la racine carrée de√2 (puisque racine carrée de√2/2 = 1/racine carrée de√2), un résultat utile à des fins de division.,