antiguas fuentes matemáticas

el sistema numérico y las operaciones aritméticas

a diferencia de los egipcios, los Matemáticos del antiguo período babilónico fueron mucho más allá de los desafíos inmediatos de sus deberes contables oficiales., Por ejemplo, introdujeron un sistema numérico versátil, que, al igual que el sistema moderno, explotó la noción de valor de lugar, y desarrollaron métodos computacionales que aprovecharon este medio de expresar números; resolvieron problemas lineales y cuadráticos por métodos muy similares a los que ahora se usan en álgebra; su éxito con el estudio de lo que ahora se llama triples de números pitagóricos fue una hazaña notable en la teoría de números. Los escribas que hicieron tales descubrimientos deben haber creído que las matemáticas son dignas de estudio por derecho propio, no solo como una herramienta práctica.,

el antiguo sistema Sumerio de números seguía un principio decimal aditivo (base-10) similar al de los egipcios. Pero el antiguo sistema babilónico convirtió esto en un sistema de valor de lugar con la base de 60 (sexagesimal). Las razones para la elección de 60 son oscuras, pero una buena razón matemática podría haber sido la existencia de tantos divisores (2, 3, 4 y 5, y algunos múltiplos) de la base, lo que habría facilitado en gran medida la operación de la división., Para los números del 1 al 59, los símbolos 1 y 10, se combinan en la aditivo simple manera (por ejemplo, representan el 32). Pero para expresar valores más grandes, los babilonios aplicaron el concepto de valor de lugar., Por ejemplo, de 60 años, fue escrito como , 70 , 80 , y así sucesivamente. De hecho, podría representar cualquier potencia de 60. El contexto determinaba qué poder se pretendía. En el siglo III A. C., Los babilonios parecen haber desarrollado un símbolo de marcador de posición que funcionaba como un cero, pero su significado y uso precisos aún es incierto., Además, no tenían marca para separar los números en partes integrales y fraccionales (como con el punto decimal moderno). Así pues, los tres-lugar numeral 3 7 30 podría representar 31/8 (es decir,, 3 + 7/60 + 30/602), 1871/2 ( es decir,, 3 × 60 + 7 + 30/60), 11,250 ( es decir,, 3 × 602 + 7 × 60 + 30), o un múltiplo de estos números por ningún poder de los 60.

Las cuatro operaciones aritméticas se realizaron de la misma manera que en el sistema decimal moderno, excepto que el transporte se producía cuando una suma alcanzaba 60 en lugar de 10., La multiplicación fue facilitada por medio de tablas; una tablilla típica enumera los múltiplos de un número por 1, 2, 3,…, 19, 20, 30, 40, y 50. Para multiplicar dos números de varios lugares de largo, el escriba primero dividió el problema en varias multiplicaciones, cada una por un número de un lugar, y luego buscó el valor de cada producto en las tablas apropiadas. Encontró la respuesta al problema sumando estos resultados intermedios. Estas tablas también ayudaron en la división, ya que los valores que las encabezaban eran todos recíprocos de números regulares.,

los números Regulares son aquellos cuyos factores primos dividen la base; los recíprocos de tales números por lo tanto tienen solo un número finito de lugares (por el contrario, los recíprocos de los números no regulares producen un número que se repite infinitamente). En base 10, por ejemplo, solo los números con factores de 2 y 5 (por ejemplo, 8 o 50) son regulares, y los recíprocos (1/8 = 0.125, 1/50 = 0.,02) tienen expresiones finitas; pero los recíprocos de otros números (como 3 y 7) se repiten infinitamente y , respectivamente, donde la barra indica los dígitos que se repiten continuamente). En base 60, solo los números con factores de 2, 3 y 5 son regulares; por ejemplo, 6 y 54 son regulares, de modo que sus recíprocos (10 y 1 6 40) son finitos. Las entradas en la tabla de multiplicación para 1 6 40 son así simultáneamente múltiplos de su recíproco 1/54., Para dividir un número por cualquier número regular, entonces, uno puede consultar la tabla de múltiplos para su recíproco.

una interesante tableta de la colección de la Universidad de Yale muestra un cuadrado con sus diagonales. En un lado está escrito «30», bajo una diagonal «42 25 35″, y a la derecha a lo largo de la misma diagonal» 1 24 51 10 » (I. E., 1 + 24/60 + 51/602 + 10/603). Este tercer número es el valor correcto de raíz cuadrada de√2 a cuatro lugares sexagesimales (equivalente en el sistema decimal a 1.,414213…, que es demasiado bajo por solo 1 en el séptimo lugar), mientras que el segundo número es el producto del tercer número y el primero y por lo tanto da la longitud de la diagonal cuando el lado es 30. Por lo tanto, el escriba parece haber conocido un equivalente del conocido método largo de encontrar raíces cuadradas. Un elemento adicional de sofisticación es que al elegir 30 (es decir, 1/2) para el lado, el escriba obtuvo como diagonal el recíproco del valor de raíz cuadrada de√2 (desde raíz cuadrada de√2/2 = 1/raíz cuadrada de√2), un resultado útil para fines de división.,