Czy kiedykolwiek siedziałeś w klasie matematycznej i zastanawiałeś się: „kiedy to kiedyś wykorzystam?”Mogłeś zadać sobie to pytanie, gdy po raz pierwszy zetknąłeś się z liczbami „wyimaginowanymi” i nie bez powodu: co może być mniej praktyczne niż liczba opisana jako wyimaginowana?
ale liczby urojone i liczby złożone, które pomagają zdefiniować, okazują się niezwykle przydatne. Mają one daleko idący wpływ w fizyce, inżynierii, teorii liczb i geometrii., I są pierwszym krokiem do świata dziwnych systemów liczbowych, z których niektóre są proponowane jako modele tajemniczych związków leżących u podstaw naszego świata fizycznego. Przyjrzyjmy się, jak te nieznane liczby są zakorzenione w liczbach, które znamy, ale jednocześnie są niepodobne do niczego, co sobie wyobrażaliśmy.
„liczby rzeczywiste” są jednymi z naszych najbardziej znanych obiektów matematycznych: są to wszystkie liczby, które można przedstawić w notacji dziesiętnej, jak 5, 8.2, -13.712, 0, 10.33333… / align = „center” / 3,1415, Możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić liczby rzeczywiste i używamy ich do odpowiadania na pytania zarówno w klasach, jak i w życiu codziennym. Ale liczby rzeczywiste nie wystarczą, by rozwiązać wszystkie nasze matematyczne problemy.
w 1500 roku mistrz rozwiązywania równań Girolamo Cardano próbował rozwiązać równania wielomianowe. Nie miał problemów z rozwiązywaniem równań takich jak $latex x^2-8x + 12=0$, ponieważ łatwo było znaleźć dwie liczby, których suma wynosiła 8, a których iloczyn był 12: mianowicie 2 i 6., Oznaczało to, że $latex x^2-8x+12$ może być obliczone jako $latex (x-2) (x-6)$, a wyrażenie tego wielomianu jako iloczyn dwóch czynników sprawiło, że rozwiązanie równania $latex x^2-8x + 12=0$ było łatwe.
ale nie było tak łatwo to zrobić dla równań takich jak $latex x^2-3x+10=0$. Znalezienie dwóch liczb, które dodają do 3 i pomnożyć do 10 wydaje się niemożliwe wyzwanie. Jeśli iloczyn dwóch liczb jest dodatni, to muszą mieć ten sam znak, a ponieważ ich suma jest dodatnia, oznacza to, że obie muszą być dodatnie., Ale jeśli dwie liczby dodatnie dodają się do 3, obie muszą być mniejsze niż 3, co oznacza, że ich iloczyn będzie mniejszy niż 3 × 3 = 9. Nie ma sposobu, żeby to zadziałało.
Cardano z wahaniem traktował te liczby nierealne, czyli „urojone”, opisując nawet arytmetykę, którą z nimi robił, jako bezużyteczną. Ale był zaskoczony, że przestrzegali wielu tych samych zasad, co liczby rzeczywiste. I chociaż zajęło to trochę czasu, niechętne użycie $latex \sqrt{-1}$ doprowadziło do rozwoju „liczb złożonych”, potężnego i produktywnego rozszerzenia liczb rzeczywistych.,
liczby zespolone składają się z części rzeczywistej i części urojonej. Mają one postać a + bi, gdzie a i b są zarówno liczbami rzeczywistymi, jak i $latex i=\sqrt{-1}$, znany również jako ” jednostka urojona.”Na początku mogą wydawać się dziwne, ale szybko okazuje się, że możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić liczby złożone, tak jak to robimy z liczbami rzeczywistymi.,
aby dodać i odjąć liczby złożone, wystarczy połączyć części rzeczywiste i części urojone, w następujący sposób:
(5 + 3i) + (2 + 8i) = (5 + 2) + (3 + 8)i = 7 + 11i
jest to podobne do łączenia „podobnych terminów”, gdy dodajesz wielomiany razem:
(3x + 2) + (5X + 7) = 8x + 9
Mnożenie liczb zespolonych odbywa się przy użyciu tej samej „właściwości dystrybutywnej”, której używamy dla liczb rzeczywistych.,>= 10 + 2i
$latex \begin{align*}
&= 2 × (5 + i) + 3i × (5 + i)\\
&= 10+2i+15i+3i^2\\
&= 10+17i+3i^2
\end{align*}$
$latex \begin{align*}
(2+3i)\times(5+i) &= 10+17i+3i^2\\
&= 10+17i+3(-1)\\
&= 10+17i-3\\
&= 7+17i
\end{align*}$
Since we can write $latex 10+17i+3i^2$ in the form a + bi, we know it is indeed a complex number., Ilustruje to właściwość „zamknięcia”: gdy mnożysz dwie liczby zespolone, otrzymujesz kolejną liczbę zespoloną. Nie dostaniesz czegoś innego.
Mnożenie liczb zespolonych jest nawet „przemienne”: oznacza to, że gdy mnożysz dwie liczby zespolone w obu rzędach, wynik jest taki sam. Na przykład, można sprawdzić, że (5 + i) × (2 + 3i) = 7 + 17i. często bierzemy za pewnik, że mnożenie liczb rzeczywistych jest przemienne — na przykład, że 5 × 4 = 4 × 5-ale jak zobaczymy później, ten ważny fakt nie obowiązuje dla każdego systemu liczbowego.,
możemy więc mnożyć liczby zespolone, ale jak je podzielić? Kluczem jest zrozumienie relacji między podziałem a mnożeniem.
często mówię uczniom, że nie ma czegoś takiego jak podział: istnieje tylko mnożenie przez wzajemność. Kiedy widzimy wyrażenie $latex \frac{10} {2}$, zwykle myślimy „10 podzielone przez 2″, ale możemy również myśleć o tym jako $latex 10\times\frac{1}{2}$, lub ” 10 pomnożone przez odwrotność 2.,”
teraz może się to wydawać niepotrzebnie skomplikowanym podejściem do podziału, ale opłaca się, gdy zaczniesz myśleć o liczbach takich jak$latex \frac{1} {i}$. Znaczenie” 1 podzielone przez i „może nie być od razu jasne, ale „odwrotność i” jest liczbą, którą mnożysz przez i, aby uzyskać 1. I może być trochę zaskakujące, że ten numer jest-ja!,
i × (–i) = – (i × I) = – (-1) = 1
używając faktu, że i × i = -1, oraz kilku innych ważnych właściwości liczb rzeczywistych i złożonych (które pozwalają nam przedstawić znak ujemny przed wyrażeniem), widzimy, że i × (–i) = 1, a więc –i jest w rzeczywistości odwrotnością i. oznacza to, że jeśli kiedykolwiek chcemy podzielić liczbę przez i, możemy po prostu pomnożyć ją przez –i zamiast tego.
dla innych liczb zespolonych arytmetyka może być nieco trudniejsza, ale zasada wzajemności nadal działa., Na przykład, aby obliczyć$ latex \frac{1+2i}{3+4I} $ musimy znaleźć odwrotność 3 + 4i, a aby to zrobić, użyjemy triku obejmującego „koniugację” liczby zespolonej — czyli liczbę, którą otrzymamy, gdy zmienimy znak jej urojonej części.
zauważ, co się stanie, gdy pomnożymy liczbę zespoloną 3 + 4i przez jej koniugat 3 – 4I., That is, $latex (3+4i)\times(3-4i)$:
$latex \begin{align*}
&= 3\times(3-4i)+4i\times(3-4i)\\
&=3\times 3-3\times 4i+4i\times 3-4i\times 4i\\
&= 9-12i+12i-16i^2\\
&= 9-16i^2\\
&= 9+16\\
&= 25
\end{align*}$
This property of conjugates helps us compute the reciprocal of any complex number.,, dzielimy obie strony równania przez 25 i wykonujemy algebrę:
$latex (3+4I) \times (3-4I)=25$
$latex \frac{(3+4I) \times (3-4I)}{25}=\frac{25}{25}$
$Latex \frac{(3+4I) \Times (3-4I)}{25}=1$
$latex (3+4I) \times \frac {(3-4i)}{25}=1$
$latex \frac{1+2i}{3+4I}=(1+2i)\times\frac{(3-4I)}{25}=\frac{11+2i}{25}$
wprowadzenie tej jednej nowej liczby nierealnej-i, wyimaginowanej jednostki — zapoczątkowało zupełnie nowy matematyczny świat do zbadania., Jest to dziwny świat, gdzie kwadraty mogą być ujemne, ale takie, których struktura jest bardzo podobna do liczb rzeczywistych, które tak dobrze znamy. A to rozszerzenie do liczb rzeczywistych było dopiero początkiem.
w 1843 roku William Rowan Hamilton wyobraził sobie świat, w którym istniało wiele odrębnych „jednostek urojonych” i w ten sposób odkrył czwartorzędy. Kwaterniony są skonstruowane jak liczby zespolone, ale z dodatkowymi pierwiastkami kwadratowymi -1, które Hamilton nazwał j I k. każdy kwaternion ma postać a + bi + cj +dk, gdzie A, b, c i d są liczbami rzeczywistymi, a $i^2=j^2=k^2=-1$., Można by pomyśleć, że każdy może wymyślić nowy system liczbowy, ale ważne jest, aby zapytać, czy będzie miał takie struktury i właściwości, jakie chcemy. Na przykład, czy system będzie zamknięty pod mnożeniem? Czy będziemy w stanie się podzielić?
aby upewnić się, że kwaterniony mają te właściwości, Hamilton musiał dowiedzieć się, co zrobić z i × j. wszystkie kwaterniony muszą wyglądać jak a + bi + cj + dk, a i × j nie. napotkaliśmy podobny problem, gdy po raz pierwszy pomnożyliśmy dwie liczby zespolone: nasz początkowy wynik miał w sobie termin i × i, który nie wydawał się pasować., Na szczęście, możemy wykorzystać fakt, że $latex i^2=-1$, aby umieścić numer w odpowiedniej formie. Ale co można zrobić z i × j?
Sam Hamilton starał się zrozumieć ten produkt, a kiedy nadszedł moment inspiracji, wyrzeźbił swój wgląd w kamień mostu, przez który przechodził:
$latex i^2=j^2=k^2=i\times J\times k=-1$
ludzie z całego świata wciąż odwiedzają Broome Bridge w Dublinie, aby podzielić się tym momentem matematycznego odkrycia.,
słynna relacja Hamiltona między jednostkami urojonymi i, j I k pozwala nam mnożyć i dzielić czwartorzędy i uzyskać wyniki, których najczęściej oczekujemy. Zobaczmy, jak to rozwiązuje pytanie, czym powinien być i × J.
zaczynając od i × j × k = -1, mnożymy obie strony równania (po ich prawej stronie) przez k i upraszczamy.
z relacji Hamiltona widzimy, że i × j = K., Tutaj używamy faktu, że k × k = -1 wraz z innymi właściwościami, w tym „właściwością asocjacyjną” mnożenia, która mówi, że mnożąc więcej niż dwie rzeczy razem, możesz wybrać, którą parę najpierw pomnożyć. Jest to kolejna własność, którą bierzemy za pewnik z liczbami rzeczywistymi — na przykład, (2 × 3) × 10 = 2 × (3 × 10) — i tak jak w przypadku komutatywności, zobaczymy, że nie zawsze trzyma się dla każdego systemu liczbowego.,
pozostałe produkty mogą być wyprowadzone w podobny sposób, a więc otrzymujemy tablicę mnożenia jednostek urojonych, która wygląda następująco:
i × j = K j × K = I K × I = j
j × i = –k K × j = –i i × k = –j
te zasady mnożenia czwartorzędowego można przedstawić na poniższym diagramie:
div>
tutaj poruszanie się po okręgu w kierunku strzałek daje odpowiedni produkt (i × j = k), a poruszanie się w przeciwnym kierunku wprowadza współczynnik -1 (np. j × i = – k)., Zauważ, że w przeciwieństwie do liczb rzeczywistych i zespolonych mnożenie kwaternionów nie jest przemienne. (Dlatego musieliśmy pomnożyć obie strony równania i × j × k = -1 powyżej przez k po ich prawej stronie.) Mnożenie dwóch czwartorzędów w różnych rzędach może dać różne wyniki!
$Latex i\times J=K\neq-k=J\times I$
aby uzyskać taką strukturę, jakiej chcemy w czwartorzędach, musimy zrezygnować z komutatywności mnożenia., Jest to prawdziwa strata: Komutatywność jest rodzajem symetrii algebraicznej, a symetria jest zawsze użyteczną właściwością w strukturach matematycznych. Ale z tymi relacjami na miejscu, zyskujemy system, w którym możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić tak, jak to zrobiliśmy z liczbami złożonymi.
aby dodawać i odejmować quaternions, zbieramy jak wcześniej terminy. Aby mnożyć nadal Używamy własności dystrybutywnej: wymaga to tylko trochę więcej dystrybucji., Aby podzielić kwaterniony, nadal używamy pojęcia koniugacji, aby znaleźć odwrotność, ponieważ podobnie jak w przypadku liczb zespolonych, iloczyn dowolnego czwartorzędu z jego koniugacją jest liczbą rzeczywistą.
$LaTeXa (a+b+cj+dk)\times(a-bi-cj-dk)=$
$latexa^2+b^2+c^2+d^2$
$LaTeXa \frac{1}{1+I+j+k}=\frac{1-I-j-K}{4}$
tak więc kwaterniony są rozszerzeniem liczb zespolonych, gdzie możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić., I podobnie jak liczby złożone, czwartorzędy są zaskakująco przydatne: mogą być używane do modelowania rotacji trójwymiarowej przestrzeni, co czyni je nieocenicznymi w renderowaniu cyfrowych krajobrazów i sferycznego wideo, a także w pozycjonowaniu i orientowaniu obiektów, takich jak statki kosmiczne i telefony komórkowe w naszym trójwymiarowym świecie.
te rozszerzenia poza liczbami rzeczywistymi kontynuują się nadal z ośmiowymiarowymi oktonionami, jeszcze dziwniejszym systemem liczbowym odkrytym przez współpracowników Hamiltona, który ma siedem jednostek urojonych., Tak jak we wszystkich innych systemach liczbowych, które widzieliśmy, można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić oktoniony. I tak jak w przypadku czwartorzędów, potrzebujemy specjalnych zasad, by rządzić jak mnożyć wszystkie wyimaginowane jednostki. Oto one, przedstawione graficznie na diagramie znanym jako „płaszczyzna Fano”:
jak w reprezentacji dla czwartorzędów, mnożenie wzdłuż kierunku strzałki daje iloczyn dodatni, a przeciw strzałce daje ujemny.
podobnie jak kwaterniony, mnożenie oktonionów nie jest przemienne., Ale rozszerzenie naszej idei liczby na oktoniony kosztuje nas również asocjację mnożenia. Mnożąc trzy oktoniony x, y i z, niekoniecznie jest prawdą, że ( X × y) × z = x × (y × z). Na przykład, używając powyższego diagramu, możemy zobaczyć, że
$latex (e_{3}\times e_{4})\times e_{1}=e_{6}\times e_{1}=e_{5}$
$latex e_{3}\times(e_{4}\times e_{1})=e_{3}\times e_{2}=-e_{5}$
mamy więc teraz system liczbowy z mnożeniem bez komutacji, bez asocjacji i siedmioma pierwiastkami kwadratowymi z -1., Kiedy ktoś by tego użył? Niektórzy fizycy uważają, że oktoniony mogą być kluczem do opisania, jak silne, słabe i elektromagnetyczne siły działają na kwarki, leptony i ich antycząstki. Jeśli to prawda, może to pomóc rozwiązać jedną z wielkich tajemnic współczesnej fizyki.
poprzez wielokrotne Rozszerzanie liczb rzeczywistych w celu tworzenia większych układów — liczb zespolonych, czwartorzędów, oktonionów — w których możemy dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić, tracimy trochę znajomości każdego kroku. Po drodze możemy również stracić kontakt z tym, co uważamy za prawdziwe., Ale zyskujemy nowe sposoby myślenia o świecie. I zawsze możemy się do tego przydać.
ćwiczenia
1. Stworzyliśmy liczby zespolone definiując i tak, że $latex i^2 = -1$. Czy można znaleźć liczbę zespoloną z taką, że $latex z^2=i$?
podpowiedź: Let z = a + bi and square it. Na jakich warunkach na a i b będzie to równe i?
2. Niech $latex z = \ frac{1} {2}+ \ frac {\sqrt{3}} {2} i$. Pokaż, że $latex z^3=-1$. Czy możesz znaleźć pozostałe dwa korzenie sześcianu z -1?
Pobierz grafikę PDF „cztery specjalne systemy liczbowe”, aby podzielić się z uczniami.,
korekta dodana w październiku 26: drugie imię Williama Rowana Hamiltona zostało błędnie napisane jako „Rohan” w oryginalnym poście tego artykułu.
Leave a Reply