あなたは数学の教室に座って、”いつこれを使うのだろうか？”あなたが最初に”想像上の”数に遭遇したとき、そして正当な理由でこの質問をしたかもしれません：想像上の数よりも実用的ではないものは何ですか？
しかし、虚数、そしてそれらが定義するのに役立つ複素数は、非常に有用であることが判明しました。 彼らは物理学、工学、数論、幾何学において広範囲に及ぶ影響を与えています。, そして、それらは奇妙な数体系の世界への第一歩であり、そのうちのいくつかは私たちの物理的世界の根底にある神秘的な関係のモデルとして提案 これらの不慣れな数字が私たちが知っている数字にどのように根ざしているかを見てみましょうが、同時に、私たちが想像したものとは異なります。
“実数”は、私たちの最もよく知られている数学的なオブジェクトのいくつかです：それらは次のように、小数点表記で表すことができるすべての数5, 8.2, -13.712, 0, 10.33333… そして$latex\pi\約$3.141592…., 私たちは実数を加算、減算、乗算、除算することができ、教室や日常生活の両方で質問に答えるためにそれらを使用します。 しかし、実数はすべての数学の問題を解決するのに十分ではありません。
1500年代、マスター方程式ソルバー Girolamo Cardanoは多項式を解こうとしていました。 彼は$latex x^2-8x+12=0$のような方程式を解くのに問題はありませんでした。$latex x^2-8x+12=0$は、合計が8で積が12である2と6の二つの数を見つけるのは簡単だったからです。, これは、$latex x^2-8x+12$を$latex（x-2）（x-6）$として因数分解することができ、この多項式を二つの要因の積として表現することで、式$latex x^2-8x+12=0$を解くことがしかし、$latex x^2-3x+10=0$のような方程式に対してこれを行うのはそれほど簡単ではありませんでした。 3に追加し、10に乗算する二つの数字を見つけることは不可能な挑戦と思われます。 二つの数字の積が正の場合、それらは同じ符号を持たなければならず、その合計が正であるため、これは彼らが両方とも正でなければならないこと, しかし、二つの正の数が3まで加算される場合、それらは両方とも3より小さくなければならず、その積は3×3=9より小さくなることを意味します。 この作業を行う方法はないようです。
Cardanoは、これらの非実数、または”想像上の”数を躊躇して扱い、彼が彼らとやった算術を役に立たないものとして記述しました。 しかし、彼は彼らが実数が行うのと同じ規則の多くに従っていることを見つけるために驚きました。 しばらく時間がかかりましたが、Cardanoの$latex\sqrt{-1}$の消極的な使用は、実数の強力で生産的な拡張である”複素数”の開発につながりました。,
複素数は実数部と虚数部で構成されています。 それらはa+biの形式を持ち、aとbは両方とも実数であり、$latex i=\sqrt{-1}$は”虚数単位”としても知られています。”最初は奇妙に見えるかもしれませんが、実数と同じように複素数を加算、減算、乗算、除算できることがすぐにわかります。,
複素数を加算および減算するには、次のように実数部と虚数部を組み合わせるだけです。
(5+3i)+(2+8i)) = (5 + 2) + (3 + 8)i=7+11i
これは、多項式を一緒に追加するときに”like terms”を組み合わせるのと似ています。
(3x+2)+(5x+7)=8x+9
複素数の乗算は、実数で使用するのと同じ”分配性”を使用して行われます。,>= 10 + 2i
$latex \begin{align*}
&= 2 × (5 + i) + 3i × (5 + i)\\
&= 10+2i+15i+3i^2\\
&= 10+17i+3i^2
\end{align*}$
$latex \begin{align*}
(2+3i)\times(5+i) &= 10+17i+3i^2\\
&= 10+17i+3(-1)\\
&= 10+17i-3\\
&= 7+17i
\end{align*}$
Since we can write $latex 10+17i+3i^2$ in the form a + bi, we know it is indeed a complex number., これは”閉包”の性質を示しています：二つの複素数を掛けると、別の複素数が得られます。 他には何もない
複素数の乗算は”可換”でもあります：これは、どちらかの順序で二つの複素数を乗算すると、結果は同じであることを意味します。 たとえば、(5+i)×(2+3i)=7+17iであることを確認できます。実数の乗算は可換であることを当たり前にしています—例えば、5×4=4×5—しかし、後で見るように、この重要な事実はすべての数体系に対して成り立つわけではありません。,
だから我々は複素数を乗算することができますが、どのようにそれらを分割するのですか？ 重要なのは、除算と乗算の関係を理解することです。
私はしばしば、除算のようなものはないことを学生に伝えます。 式$latex\frac{10}{2}$を見ると、通常は”10を2で割ったもの”と考えますが、これを$latex10\times\frac{1}{2}$、または”10に2の逆数を掛けたものと考えることもできます。,これは不必要に複雑な除算のアプローチのように見えるかもしれませんが、$latex\frac{1}{i}$のような数字について考え始めると報われます。 “1をiで割ったもの”の意味はすぐにはっきりしないかもしれませんが、”iの逆数”は1を得るためにiで乗算する数です。 そして、この数字が–iであることは少し驚くかもしれません！,
i×（-i）=–（i×i) = – (-1) = 1
i×i=-1という事実、および実数および複素数の他の重要な性質（式の前に負の符号を表示させる）を使用すると、i×(–i)=1であり、–iは実際にiの逆数であることがわかります。
他の複素数の場合、算術演算は少し難しくなるかもしれませんが、逆数のアイデアはまだ機能します。, たとえば、$latex\frac{1+2i}{3+4i}$を計算するには、3+4iの逆数を見つける必要があり、それを行うには、複素数の”共役”を含むトリックを使用します-つまり、虚数部の符号を切り替えたときに得られる数です。
複素数3+4iにその共役3–4iを掛けたときに何が起こるかに注意してください。, That is, $latex (3+4i)\times(3-4i)$:
$latex \begin{align*}
&= 3\times(3-4i)+4i\times(3-4i)\\
&=3\times 3-3\times 4i+4i\times 3-4i\times 4i\\
&= 9-12i+12i-16i^2\\
&= 9-16i^2\\
&= 9+16\\
&= 25
\end{align*}$
This property of conjugates helps us compute the reciprocal of any complex number.,、私たちは25で方程式の両側を分割し、いくつかの代数を行います：
$latex（3+4i）\times（3-4i）=25$
$latex\frac{（3+4i）\times（3-4i）}{25}=\frac{25}{25}$
iv id=””$latex\frac{（3+4i）\times（3-4i）}{25}=\frac{25}{25}$iv id=””$latex（3+4i）\times（3-4i）}{\frac{25}{25}$
$latex\frac{（3+4i）\times（3-4i)}{25}=1$
$latex(3+4i)\times\frac{(3-4i)}{\mathbb{r}}}{\mathbb{r}}}{\mathbb{r}}}}{\mathbb{r}}}}})}{25}=1$
$latex\frac{1+2i}{3+4i}=（1+2i）\times\frac{（3-4i）}{25}=\frac{11+2i}{25}$
この新しい非実数i、虚数単位の導入は、まったく新しい数学的な世界を, それは正方形が負になることができる奇妙な世界ですが、その構造は私たちがとてもよく知っている実数に非常に似ています。 そして、この実数への拡張はほんの始まりに過ぎませんでした。
1843年、ウィリアム-ローワン-ハミルトンは、多くの異なる”虚数単位”が存在する世界を想像し、そうすることで四元数を発見しました。 すべての四元数はa+bi+cj+dkの形式を持ち、a、b、c、dは実数であり、$latex i^2=j^2=k^2=-1$です。, 誰でも新しい番号システムを発明できると思うかもしれませんが、それが私たちが望む構造と特性を持つかどうかを尋ねることが重要です。 たとえば、システムは乗算の下で閉じられますか？ 私たちは分裂することができますか？
四元数がこれらの性質を持っていることを保証するために、Hamiltonはi×jについて何をすべきかを把握しなければならなかった。すべての四元数はa+bi+cj+dkのように見える必要があり、i×jはそうではない。最初に二つの複素数を掛けたときに同様の問題に遭遇した。, 幸いなことに、$latex i^2=-1$という事実を使って、数字を適切な形式にすることができます。 しかし、i×jで何ができるのでしょうか？
ハミルトン自身がこの製品を理解するのに苦労し、インスピレーションの瞬間がついに来たとき、彼は彼が交差していた橋の石に彼の洞察を刻んだ：
$latex i^2=j^2=k^2=i\times j\times k=-1$
世界中の人々はまだ数学的な発見のこの瞬間を共有するためにダブリンのブルーム橋を訪れる。,
ハミルトンの虚数単位i、j、kの間の有名な関係により、四元数を乗算および除算し、ほとんど期待される結果を得ることができます。 これがi×jが何であるべきかの問題をどのように解決するかを見てみましょう。
i×j×k=-1で始まり、方程式の両側（右側）にkを掛けて単純化します。
ハミルトンの関係から、i×j=kであることがわかります。, ここでは、k×k=-1という事実を、乗算の”連想プロパティ”を含む他のプロパティとともに使用しています。 これは、実数で当たり前のもう一つの性質です—例えば, (2 × 3) × 10 = 2 × (3 × 10) — そして、可換性と同様に、それはすべての数体系に対して常に成り立つとは限りません。,
他の積は同様の方法で導出することができるので、次のような虚数単位の乗算表を得ることができます。
i×j=k j×k=i k×i=j
j×i=–k k×j=–i i×k=–j
これらの四元数乗算ルールは、次の図で表すことができます。
ここで、矢印の方向に円の周りを移動すると、適切な積（i×j=k）が得られ、反対方向に移動すると-1の係数が得られます（例。 j×i=–k）。, これは、実数や複素数とは異なり、四元数の乗算は可換ではないことを意味することに注意してください。 （これが、上記の方程式i×j×k=-1の両側に右辺のkを掛けなければならなかった理由です。)を乗じた二,四元数の異なる受注がれるかどうかを判定!
$latex i\times j=k\neq-k=j\times i$
四元数で必要な構造の種類を取得するには、乗算の可換性を放棄する必要があります。, これは本当の損失です：可換性は代数的対称性の一種であり、対称性は常に数学的構造において有用な特性です。 しかし、これらの関係が整っていると、複素数と同じように加算、減算、乗算、除算ができるシステムが得られます。
四元数を加算および減算するには、前と同じように項を収集します。 乗算するには、まだ分配プロパティを使用します：それはちょうどもう少し分配を必要とします。, そして、四元数を分割するために、複素数と同じように、任意の四元数とその共役との積は実数であるため、共役の考え方を使って逆数を見つけます。
$latex（a+bi+cj+dk）\times（a-bi-cj-dk）=$
$latexa^2+b^2+c^2+d^2$
$latex\frac{1}{1+i+j+k}=\frac{1-i-j-k}{4}$
したがって、四元数は複素数の拡張であり、加算、減算、乗算、除算ができます。, そして複素数のように、四元数は驚くほど便利です：彼らは三次元空間の回転をモデル化するために使用することができ、デジタル風景や球形のビデオをレンダリングし、私たちの三次元世界で宇宙船や携帯電話のようなオブジェクトを配置し、向き付けることに非常に貴重になります。
実数を超えるこれらの拡張は、ハミルトンの同僚によって発見された七つの虚数単位を持つ偶数の数体系である八次元オクトニオンと続く。, 私たちが見てきた他のすべての数字システムと同じように、オクトニオンを加算、減算、乗算、除算することができます。 そして、四元数と同じように、すべての虚数単位を乗算する方法を支配するための特別な規則が必要です。 ここでそれらは、”ファノ平面”として知られている図でグラフィカルに表されています：
四元数の表現のように、矢印の方向に沿って乗算すると正の積が得られ、矢印に対して負の積が得られます。
四元数のように、八元数の乗算は可換ではありません。, しかし、私たちの数の考え方をオクトニオンに拡張すると、乗算の結合性も必要になります。 X,y,zの三つのオクトニオンを掛けるとき、(x×y)×z=x×(y×z)であるとは限らない。 たとえば、上の図を使用すると、
$latex（e_{3}\times e_{4}）\times e_{1}=e_{6}\times e_{1}=e_{5}$
しかし
$latex e_{3}\times（e_{4}\times e_{{1}）=e_{3}\times e_{2}=-e_{5}$
だから今、私たちは非交換多項式、非連想乗算と-1の七平方根を持つ数体系を持っています。, いつ誰かがそれを使うのですか？ まあ、いくつかの物理学者は、オクトニオンがクォーク、レプトンおよびそれらの反粒子に強く、弱く、電磁力がどのように作用するかを記述する鍵を保持するかもしれないと信じています。 真であれば、これは現代物理学の大きな謎の一つを解決するのに役立ちます。
実数を繰り返し拡張してより大きなシステム—複素数、四元数、八元数—を作成することによって、加算、減算、乗算、除算が可能になり、各ステップに少し 道に沿って、私達はまた私達が実質として考えるものをの接触を失うかもしれない。, しかし、私たちが得るものは、世界についての新しい考え方です。 として示されるのに使います。
演習
1. 私たちは$latex i^2=-1$となるようにiを定義することによって複素数を作成しました。 $Latex z^2=i$のような複素数zを見つけることができますか？
ヒント：Z=a+biとし、それを二乗しましょう。 Aとbのどのような条件の下で、これはiと等しくなりますか？
2. $Latex z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$とします。 $Latex z^3=-1$を表示します。 -1の他の二つの立方根を見つけることができますか？
学生と共有する”四つの特別な数システム”PDFグラフィックをダウンロードしてください。,
修正が追加されましたOct. 26:ウィリアム-ローワン-ハミルトンのミドルネームは、この記事の元の投稿で”ローハン”と誤って綴られていました。
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