Har du noen gang sittet i en matematiske klasserommet og lurte på: «Når vil jeg noen gang bruke dette?»Du har kanskje spurt deg selv dette spørsmålet, når du først har oppstått «imaginære» tall, og med god grunn: Hva kan være mindre praktisk enn et tall som er beskrevet som tenkt?
Men imaginære tall, og de komplekse tall de bidrar til å definere, vise seg å være utrolig nyttig. De har en vidtrekkende konsekvenser i fysikk, ingeniørfag, tallteori og geometri., Og de er de første skritt inn i en verden av merkelige antall systemer, noen som blir foreslått som modeller av den mystiske relasjoner underliggende vår fysiske verden. La oss ta en titt på hvordan disse ukjente numre er forankret i de tallene vi vet, men på samme tid, er ulikt noe vi har tenkt på.
Den «reelle tall» er noen av våre mest kjente matematiske objekter: De er alle tall som kan representeres i desimal notasjon, som 5, 8.2, -13.712, 0, 10.33333… og $latex \pi \ca$ 3.141592…., Vi kan addere, subtrahere, multiplisere og dividere reelle tall, og vi bruker dem til å svare på spørsmål både i klasserom og i vårt daglige liv. Men den virkelige tall er ikke nok til å løse alle våre matematiske problemer.
På 1500-tallet, master equation solver Girolamo Cardano var å prøve å løse polynom ligninger. Han hadde ingen problemer med å løse ligninger som $latex x^2-8x+12=0 $, fordi det var lett å finn to tall der summen var 8, og der produktet ble 12: nemlig, 2 og 6., Dette betydde $latex x^2-8x+12$ kunne være priset til $latex (x-2)(x-6)$, og ga uttrykk for dette polynomet som et produkt av to faktorer gjort å løse ligningen $latex x^2-8x+12=0$ lett.
Men det var ikke så lett å gjøre dette for ligninger som $latex x^2-3x+10=0$. Finn to tall som legger til 3 og multiplisere til 10 synes som en umulig utfordring. Hvis produktet av de to tallene er positive, de må ha samme fortegn, og siden deres sum er positive, betyr dette at de må både være positiv., Men hvis to positive tall legge opp til 3, de må begge være mindre enn 3, noe som betyr at deres produkt vil være mindre enn 3 × 3 = 9. Det synes ikke å være en måte å gjøre dette arbeidet.
Cardano behandlet disse ikke-reelle eller imaginære,» tall nølende, selv beskriver det aritmetiske han gjorde med dem som ubrukelig. Men han var overrasket over å finne at de adlød mange av de samme reglene som reelle tall gjøre. Og selv om det tok en stund, Cardano er tilbakeholdne med bruk av $latex \sqrt{-1}$ førte til utviklingen av «komplekse tall», er en kraftig og effektiv utvidelse av de reelle tall.,
Komplekse tall består av en ekte del og en imaginær del. De har formen a + bi, der a og b er reelle tall, og $latex jeg=\sqrt{-1}$, også kjent som «imaginære enheten.»De kan virke rart i begynnelsen, men vi raskt finne ut at vi kan addere, subtrahere, multiplisere og dividere komplekse tall akkurat som vi gjør med reelle tall.,
for Å legge til og trekke fra komplekse tall, du bare kombinere de virkelige deler og den imaginære delene, som dette:
(5 + 3i) + (2 + 8) = (5 + 2) + (3 + 8)jeg = 7 + 11i
Dette er likt å kombinere «like vilkår» når du legger til polynomer sammen:
(3x + 2) + (5 + 7) = 8x + 9
Multiplikasjon av komplekse tall er gjort ved hjelp av den samme «distributive eiendom» bruker vi med reelle tall.,>= 10 + 2i
$latex \begin{align*}
&= 2 × (5 + i) + 3i × (5 + i)\\
&= 10+2i+15i+3i^2\\
&= 10+17i+3i^2
\end{align*}$
$latex \begin{align*}
(2+3i)\times(5+i) &= 10+17i+3i^2\\
&= 10+17i+3(-1)\\
&= 10+17i-3\\
&= 7+17i
\end{align*}$
Since we can write $latex 10+17i+3i^2$ in the form a + bi, we know it is indeed a complex number., Dette illustrerer holderen for «lukking»: Når du multiplisere to komplekse tall, får du en annen komplekst tall. Du får ikke noe annet.
Multiplikasjon av komplekse tall er partall «kommutative»: Dette betyr at når du multiplisere to komplekse tall i enten orden, resultatet er det samme. For eksempel, du kan bekrefte at (5 + i) × (2 + 3i) = 7 + 17i. Vi tar ofte for gitt at multiplikasjon av reelle tall er kommutative — for eksempel at 5 × 4 = 4 × 5 — men som vi skal se senere, er dette viktige faktum ikke holder for hvert tall systemet.,
Slik at vi kan multiplisere komplekse tall, men hvordan vi dele dem? Nøkkelen er å forstå forholdet mellom divisjon og multiplikasjon.
jeg pleier å si til elevene at det er ingen slike ting som divisjon: Det er bare multiplikasjon av gjensidige. Når vi ser uttrykk $latex \frac{10}{2}$, vi vanligvis tenker «10 dividert med 2,» men vi kan også tenke på dette som $latex 10\times\frac{1}{2}$, eller «10 multiplisert med gjensidige av 2.,»
Nå kan dette virke som en unødvendig komplisert tilnærming til divisjon, men det lønner seg slått av når du begynner å tenke på tall som$latex \frac{1}{i}$. Betydningen av «1 dividert med jeg» kanskje ikke er umiddelbart klart, men «den gjensidige jeg» er nummeret du multiplisere med jeg å få 1. Og det kan være litt overraskende at dette tallet er –jeg!,
jeg × (–i) = – (jeg × jeg) = – (-1) = 1
ved Hjelp av det faktum at jeg × i = -1, og noen andre viktige egenskaper for reelle og komplekse tall (som la oss ta det negative logg ut foran uttrykket), ser vi at jeg × (–i) = 1, og så –jeg er av den gjensidige jeg. Dette betyr at hvis vi noen gang ønsker å dele antall av jeg, vi kan bare multiplisere det med –jeg har i stedet.
For andre komplekse tall, matematikk kan bli litt vanskeligere, men den gjensidige ideen fungerer fortsatt., For eksempel, for å beregne $latex \frac{1+2i}{3+4i}$ vi trenger for å finne den gjensidige 3 + 4i, og til å gjøre som vi vil bruke et triks som involverer «kobling» av et komplekst tall, som er nummeret som du får når du slår tegnet av sin imaginære delen.
legg Merke til hva som skjer når vi multipliserer komplekse tallet 3 + 4i av sin konjugat 3 – 4i., That is, $latex (3+4i)\times(3-4i)$:
$latex \begin{align*}
&= 3\times(3-4i)+4i\times(3-4i)\\
&=3\times 3-3\times 4i+4i\times 3-4i\times 4i\\
&= 9-12i+12i-16i^2\\
&= 9-16i^2\\
&= 9+16\\
&= 25
\end{align*}$
This property of conjugates helps us compute the reciprocal of any complex number., vi dividere begge sider av ligningen med 25 og gjøre noen algebra:
$latex (3+4i) \ganger (3-4i)=25$
$latex \frac{(3+4i) \ganger (3-4i)}{25}=\frac{25}{25}$
$latex \frac{(3+4i) \ganger (3-4i)}{25}=1$
$latex (3+4i) \times \frac{(3-4i)}{25}=1$
$latex \frac{1+2i}{3+4i}=(1+2i)\times\frac{(3-4i)}{25}=\frac{11+2i}{25}$
innføringen av dette nye ikke-reelt tall — jeg, den imaginære enhet — lansert en helt ny matematisk verden å utforske., Det er en merkelig verden, hvor rutene kan være negative, men en struktur som er svært lik den virkelige tall vi er så kjent med. Og denne utvidelsen til reelle tall var bare begynnelsen.
I 1843, William Rowan Hamilton forestilt seg en verden der det var mange forskjellige «imaginære enheter,» og dermed oppdaget kvaternioner. Den kvaternioner er strukturert som komplekse tall, men med ekstra kvadratrøtter av -1, som Hamilton kalt j og k. Hver quaternion har formen a + bi + cj +dk, der a, b, c og d er reelle tall, og $latex jeg^2=j^2=k^2=-1$., Du kanskje tror at noen kan finne på et nytt nummer systemet, men det er viktig å spørre om det vil ha strukturer og egenskaper vi ønsker. For eksempel, vil systemet være lukket under multiplikasjon? Vil vi være i stand til å dele?
for Å sikre kvaternioner hadde disse egenskapene, Hamilton måtte finne ut hva de skal gjøre om jeg × j. Alle kvaternioner trenger å se ut som a + bi + cj +dk, og jeg × j ikke. Vi kjørte inn i et lignende problem når vi først multiplisert to komplekse tall: Vår første resultat hadde jeg × jeg sikt i det, noe som ikke synes å passe., Heldigvis, kan vi utnytte det faktum at $latex jeg^2=-1$ for å sette tallet i sin rette form. Men hva kan gjøres med jeg × j?
Hamilton selv slet med å forstå dette produktet, og når det øyeblikk av inspirasjon til slutt kom han skåret hans innsikt i stein av broen han var crossing:
$latex jeg^2=j^2=k^2=jeg\ganger j\ganger k=-1$
Folk fra hele verden fortsatt besøke Broome Bro i Dublin for å dele i dette øyeblikket av matematisk oppdagelse.,
Hamilton ‘ s berømte forholdet mellom det imaginære enheter i, j og k gir oss muligheten til å multiplisere og dividere kvaternioner og få de resultatene vi for det meste forvente. La oss se hvordan dette løser spørsmålet om hva jeg × j skal være.
du Starter med i × j × k = -1, vi multiplisere begge sider av ligningen (på høyre side) av k og forenkle.
Fra Hamilton forhold, ser vi at jeg × j = k ., Her er vi ved hjelp av det faktum at k × k = -1 sammen med andre egenskaper, inkludert «assosiative egenskapen» av multiplikasjon, som sier at, når du multipliserer mer enn to tingene sammen, kan du velge hvilket par å multiplisere første. Dette er en annen egenskap vi tar for gitt, med den reelle tall — for eksempel, (2 × 3) × 10 = 2 × (3 × 10) — og som med commutativity, vil vi se at det ikke alltid er hold for hvert tall systemet.,
Den andre produkter kan være basert på en lignende måte, og så får vi en multiplikasjon av tabell imaginære enheter som ser ut som dette:
jeg × j = k j × k = i k × i = j
j × i = –k k × j = –i i × k = –j
Disse quaternion multiplikasjon regler kan være representert i følgende diagram:
Her å bevege seg rundt i sirkel i retning av den pilene gir deg det aktuelle produktet (i × j = k), og beveger seg i motsatt retning introduserer en faktor på -1 (ex. j × i = –k)., Legg merke dette betyr at, i motsetning til med reelle og komplekse tall, multiplikasjon av kvaternioner er ikke kommutative. (Dette er grunnen til at vi hadde å multiplisere begge sider av ligningen jeg × j × k = -1 ovenfor ved k på sin høyre side.) Å multiplisere to kvaternioner i forskjellige bestillinger kan gi ulike resultater!
$latex jeg\ganger j=k\neq-k=j\ganger jeg$
for Å få den type struktur vi vil i kvaternioner, vi er nødt til å forlate commutativity av multiplikasjon., Dette er et reelt tap: Commutativity er en slags algebraiske symmetri, og symmetri er alltid en nyttig egenskap i matematiske strukturer. Men med disse forhold er på plass, vil vi få et system der vi kan addere, subtrahere, multiplisere og dividere mye som vi gjorde med komplekse tall.
for Å legge til og trekke fra kvaternioner, samler vi inn like vilkår som før. Å multiplisere vi fortsatt bruke den distributive eiendom: Det krever bare litt mer distribuere., Og å dele kvaternioner, vi er fortsatt i bruk ideen av konjugat for å finne gjensidige, fordi akkurat som med komplekse tall, produktet av alle quaternion med sin kobling er et reelt tall.
$latex (a+bi+cj+dk)\ganger(a-bi-cj-dk)=$
$latexa^2+b^2+c^2+d^2$
$latex \frac{1}{1+i+j+k}=\frac{1-i-j-k}{4}$
Dermed kvaternioner er en forlengelse av komplekse tall hvor vi kan addere, subtrahere, multiplisere og dividere., Og som komplekse tall, kvaternioner er overraskende nyttig: De kan brukes til å modellere rotasjon av tre-dimensjonale rommet, noe som gjør dem uvurderlig i gjengivelsen av digitale landskap og sfærisk-video, og i lokalisering og orientering av objekter som romskip og mobiltelefoner i vår tredimensjonale verden.
Disse utvidelser utover de reelle tall fortsette fortsatt med åtte-dimensjonale octonions en fremmed antall systemet oppdaget av Hamilton kolleger som har syv imaginære enheter., Akkurat som i alle andre tall systemene vi har sett, kan du legge til, trekke fra, multiplisere og dividere octonions. Og akkurat som med kvaternioner, trenger vi noen spesielle regler for å regulere hvordan å multiplisere alle imaginære enheter. Her er de, representert grafisk i et diagram kjent som «Fano fly»:
Som i representasjon for kvaternioner, spredning langs retning av pilen gir et positivt produkt, og mot pilen gir negative.
Som kvaternioner, octonion multiplikasjon er ikke kommutative., Men å utvide vår idé om antall ut til octonions koster oss assosiativitet av addisjon, så vel. Når du multipliserer tre octonions x, y og z, det er ikke nødvendigvis sant at (x × y) × z = x × (y × z). For eksempel, ved hjelp av diagrammet ovenfor, kan vi se at
$latex (e_{3}\ganger e_{4})\ganger e_{1}=e_{6}\ganger e_{1}=e_{5}$
, men
$latex e_{3}\ganger(e_{4}\ganger e_{1})=e_{3}\ganger e_{2}=-e_{5}$
Så nå har vi en rekke systemet med ikke-commutatitve, ikke-assosiativ læring og syv kvadratrøtter av -1., Da ville noen bruke det? Vel, noen fysikere mener at octonions kan hold-tasten for å beskrive hvordan den sterk, svak og elektromagnetisk styrker handle på kvarker, leptons og deres anti-partikler. Hvis det er sant, dette kan bidra til å løse en av de store mysteriene i moderne fysikk.
Ved gjentatte ganger å utvide den virkelige tall for å lage større systemer — komplekse tall, kvaternioner, den octonions — som vi kan addere, subtrahere, multiplisere og dividere, mister vi en liten fortrolighet med hvert trinn. Langs veien, vi kan også miste kontakten med hva vi tenker på som ekte., Men det vi får er nye måter å tenke om verden. Og vi kan alltid finne en bruk for det.
Øvelser
1. Vi skapte komplekse tall ved å definere jeg så at $latex jeg^2=-1$. Kan du finne et komplekst tall z slik at $latex-z^2=jeg$?
Hint: La z = a + bi og plassen det. Under hvilke betingelser på a og b ville dette tilsvare jeg?
2. La $latex z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}jeg$. Vis at $latex z^3=-1$. Kan du finne de to andre kuben røtter -1?
Last ned «Fire Spesialtilbud på hoteller i Antall Systemer» PDF-grafikken for å dele med elevene.,
Korreksjon lagt Okt. 26: William Rowan Hamilton ‘ s mellomnavn var feilstavet som «Rohan» i det opprinnelige innlegget i denne artikkelen.
Leave a Reply