¿alguna vez te has sentado en un aula de matemáticas y te has preguntado: «¿cuándo voy a usar esto?»Es posible que se haya hecho esta pregunta cuando se encontró por primera vez con números «imaginarios», y con una buena razón: ¿qué podría ser menos práctico que un número descrito como imaginario?
pero los números imaginarios, y los números complejos que ayudan a definir, resultan increíblemente útiles. Tienen un impacto de gran alcance en Física, Ingeniería, teoría de números y geometría., Y son el primer paso hacia un mundo de extraños sistemas numéricos, algunos de los cuales están siendo propuestos como modelos de las misteriosas relaciones subyacentes a nuestro mundo físico. Echemos un vistazo a cómo estos números desconocidos están arraigados en los números que conocemos, pero al mismo tiempo, son diferentes a cualquier cosa que hayamos imaginado.
los «números reales» son algunos de nuestros objetos matemáticos más familiares: son todos los números que se pueden representar en notación decimal, como 5, 8.2, -13.712, 0, 10.33333… y latex latex \pi \approx 3 3.141592…., Podemos sumar, restar, multiplicar y dividir números reales, y los usamos para responder preguntas tanto en las aulas como en nuestra vida cotidiana. Pero los números reales no son suficientes para resolver todos nuestros problemas matemáticos.
en la década de 1500, el solucionador de ecuaciones maestro Girolamo Cardano estaba tratando de resolver ecuaciones polinómicas. No tuvo problemas para resolver ecuaciones como latex latex x^2-8x + 12 = 0$, porque era fácil encontrar dos números cuya suma era 8 y cuyo producto era 12: a saber, 2 y 6., Esto significaba que $latex x^2-8x+12$ podría ser factorizado como $latex (x-2)(x-6)$, y que expresan este polinomio como un producto de dos factores, la resolución de la ecuación $latex x^2-8x+12=0$ fácil.
pero no era tan fácil hacer esto para ecuaciones como latex latex x^2-3x + 10 = 0$. Encontrar dos números que sumen a 3 y multipliquen a 10 parece un desafío imposible. Si el producto de los dos números es positivo, deben tener el mismo signo, y como su suma es positiva, esto significa que ambos deben ser positivos., Pero si dos números positivos suman 3, ambos deben ser menores que 3, lo que significa que su producto será menor que 3 × 3 = 9. No parece haber una manera de hacer que esto funcione.
Cardano trató estos números no reales, o «imaginarios», vacilantemente, incluso describiendo la aritmética que hizo con ellos como inútil. Pero se sorprendió al descubrir que obedecían muchas de las mismas reglas que los números reales. Y aunque tomó un tiempo, el uso reacio De Cardano de latex latex \sqrt{-1} led llevó al desarrollo de los «números complejos», una extensión poderosa y productiva de los números reales.,
los números Complejos se componen de una parte real y una parte imaginaria. Tienen la forma a + bi, donde a y b son ambos números reales, y latex latex i=\sqrt{-1}$, también conocida como la «unidad imaginaria».»Pueden parecer extraños al principio, pero rápidamente encontramos que podemos sumar, restar, multiplicar y dividir números complejos al igual que lo hacemos con números reales.,
para sumar y restar números complejos, solo tienes que combinar las partes reales y las partes imaginarias, así:
(5 + 3i) + (2 + 8i) = (5 + 2) + (3 + 8)i = 7 + 11i
esto es similar a combinar «términos similares» cuando agrega polinomios juntos:
(3x + 2) + (5x + 7) = 8x + 9
La multiplicación de números complejos se realiza utilizando la misma «propiedad distributiva» que usamos con números reales.,>= 10 + 2i
$latex \begin{align*}
&= 2 × (5 + i) + 3i × (5 + i)\\
&= 10+2i+15i+3i^2\\
&= 10+17i+3i^2
\end{align*}$
$latex \begin{align*}
(2+3i)\times(5+i) &= 10+17i+3i^2\\
&= 10+17i+3(-1)\\
&= 10+17i-3\\
&= 7+17i
\end{align*}$
Since we can write $latex 10+17i+3i^2$ in the form a + bi, we know it is indeed a complex number., Esto ilustra la propiedad de «closure» : cuando se multiplican dos números complejos, se obtiene otro número complejo. No consigues otra cosa.
La multiplicación de números complejos es incluso «conmutativa»: esto significa que cuando se multiplican dos números complejos en cualquier orden, el resultado es el mismo. Por ejemplo, puede verificar que (5 + i) × (2 + 3i) = 7 + 17I. a menudo damos por sentado que la multiplicación de números reales es conmutativa, por ejemplo, que 5 × 4 = 4 × 5, pero como veremos más adelante, este hecho importante no se aplica a todos los sistemas numéricos.,
así que podemos multiplicar números complejos, pero ¿cómo los dividimos? La clave es entender la relación entre la división y la multiplicación.
a menudo les digo a los estudiantes que no hay tal cosa como la división: solo hay multiplicación por el recíproco. Cuando vemos la expresión latex latex \frac{10}{2}$, usualmente pensamos «10 dividido por 2», pero también podemos pensar en esto como latex latex 10\times\frac{1}{2}$, o «10 multiplicado por el recíproco de 2.,»
ahora esto puede parecer un enfoque innecesariamente complicado para la división, pero vale la pena cuando empiezas a pensar en números como latex latex \frac{1}{i}.. El significado de «1 dividido por i» puede no ser inmediatamente claro, pero «el recíproco de i» es el número que se multiplica con i para obtener 1. Y puede ser un poco sorprendente que este número es –i!,
i × (–i) = – (i × i) = – (-1) = 1
con el hecho de que i × i = -1, y algunas otras propiedades importantes de los reales y los números complejos (que nos permiten llevar el signo negativo delante de la expresión), vemos que i × (–i) = 1, y así –realmente es la recíproca del yo. Esto significa que si queremos dividir un número por i, podemos multiplicar por –i en su lugar.
para otros números complejos, la aritmética puede ser un poco más difícil, pero la idea recíproca todavía funciona., Por ejemplo, para calcular $latex \frac{1+2i}{3+4i}$ necesitamos encontrar el recíproco de 3 + 4i, y para ello vamos a utilizar un truco de «conjugado» de un número complejo, es decir, el número que se obtiene al cambiar el signo de su parte imaginaria.
observe lo que sucede cuando multiplicamos el número complejo 3 + 4i por su conjugado 3-4i., That is, $latex (3+4i)\times(3-4i)$:
$latex \begin{align*}
&= 3\times(3-4i)+4i\times(3-4i)\\
&=3\times 3-3\times 4i+4i\times 3-4i\times 4i\\
&= 9-12i+12i-16i^2\\
&= 9-16i^2\\
&= 9+16\\
&= 25
\end{align*}$
This property of conjugates helps us compute the reciprocal of any complex number., dividimos ambos lados de la ecuación por 25 y hacer algo de álgebra:
$latex (3+4i) \times (3-4i)=25$
$latex \frac{(3+4i) \times (3-4i)}{25}=\frac{25}{25}$
$latex \frac{(3+4i) \times (3-4i)}{25}=1$
$latex (3+4i) \times \frac{(3-4i)}{25}=1$
$latex \frac{1+2i}{3+4i}=(1+2i)\times\frac{(3-4i)}{25}=\frac{11+2i}{25}$
La introducción de este nuevo no número real — i, la unidad imaginaria — lanzó un totalmente nuevo mundo matemático para explorar., Es un mundo extraño, donde los cuadrados pueden ser negativos, pero cuya estructura es muy similar a los números reales con los que estamos tan familiarizados. Y esta extensión a los números reales fue solo el principio.
en 1843, William Rowan Hamilton imaginó un mundo en el que había muchas «unidades imaginarias» distintas, y al hacerlo descubrió los cuaterniones. Los cuaterniones están estructurados como los números complejos, pero con raíces cuadradas adicionales de -1, que Hamilton llamó j y k. cada cuaternión tiene la forma a + bi + cj +dk, donde a, b, c y d son números reales, y latex latex i^2=j^2=K^2=-1 latex., Se podría pensar que cualquiera puede inventar un nuevo sistema numérico, pero es importante preguntar si tendrá las estructuras y propiedades que queremos. Por ejemplo, ¿se cerrará el sistema bajo multiplicación? ¿Podremos dividirnos?
para asegurarse de que los cuaterniones tuvieran estas propiedades, Hamilton tuvo que averiguar qué hacer con i × j. todos los cuaterniones deben verse como a + bi + cj +dk, y i × j no. nos encontramos con un problema similar cuando multiplicamos dos números complejos: nuestro resultado inicial tenía un término i × i, que no parecía encajar., Por suerte, podríamos utilizar el hecho de que latex latex i^2=-1 put para poner el número en su forma correcta. Pero, ¿qué se puede hacer con i × j?
el propio Hamilton luchó para entender este producto, y cuando finalmente llegó el momento de la inspiración, talló su visión en la piedra del puente que estaba cruzando:
latex latex i^2=j^2=K^2=i\times j\times k=-1 People
personas de todo el mundo todavía visitan Broome Bridge en Dublín para compartir este momento de descubrimiento matemático.,
la famosa relación de Hamilton entre las unidades imaginarias i, j y k nos permite multiplicar y dividir cuaterniones y obtener los resultados que más esperamos. Vamos a ver cómo esto resuelve la cuestión de lo que i × j debe ser.
comenzando con i × j × k = -1, multiplicamos ambos lados de la ecuación (en sus lados derechos) por k y simplificamos.
de la relación de Hamilton, vemos que i × j = k ., Aquí estamos usando el hecho de que K × k = -1 junto con otras propiedades, incluida la «propiedad asociativa» de la multiplicación, que dice que, al multiplicar más de dos cosas juntas, puede elegir qué par multiplicar primero. Esta es otra propiedad que damos por sentado con los números reales — por ejemplo, (2 × 3) × 10 = 2 × (3 × 10) — y como con la conmutatividad, veremos que no siempre se mantiene para todos los sistemas numéricos.,
los otros productos se pueden derivar de manera similar, y así obtenemos una tabla de multiplicación de unidades imaginarias que se ve así:
i × j = k j × k = i k × i = j
j × i = –k k × j = –i i × k = –j
estas reglas de multiplicación de cuaterniones se pueden representar en el siguiente diagrama:
aquí, moverse alrededor del círculo en la dirección de las flechas le da el producto apropiado (I × J = K), y moverse en la dirección opuesta introduce un factor de -1 (ej. j × i = – k)., Observe que esto significa que, a diferencia de los números reales y complejos, la multiplicación de cuaterniones no es conmutativa. (Esta es la razón por la que tuvimos que multiplicar ambos lados de la ecuación i × j × k = -1 arriba por k en sus lados derechos.) Multiplicando dos cuaterniones en diferentes órdenes puede producir resultados diferentes!
$latex i\times j=k\neq-k=j\times i$
Para obtener el tipo de estructura que queremos en los cuaterniones, tenemos que abandonar la conmutatividad de la multiplicación., Esta es una pérdida real: la conmutatividad es una especie de simetría algebraica, y la simetría es siempre una propiedad útil en estructuras matemáticas. Pero con estas relaciones en su lugar, ganamos un sistema donde podemos sumar, restar, multiplicar y dividir mucho como lo hicimos con números complejos.
para sumar y restar cuaterniones, recogemos términos similares a los anteriores. Para multiplicar todavía usamos la propiedad distributiva: solo requiere un poco más de distribución., Y para dividir cuaterniones, todavía utilizamos la idea del conjugado para encontrar el recíproco, porque al igual que con los números complejos, el producto de cualquier cuaternión con su conjugado es un número real.
$latex (a+bi+cj+dk)\times(a-bi-cj-dk)=$
$latexa^2+b^2+c^2+d^2$
$latex \frac{1}{1+i+j+k}=\frac{1-i-j-k}{4}$
por Lo tanto, los cuaterniones son una extensión de los números complejos donde podemos sumar, restar, multiplicar y dividir., Y al igual que los números complejos, los cuaterniones son sorprendentemente útiles: se pueden usar para modelar la rotación del espacio tridimensional, lo que los hace invaluables para representar Paisajes digitales y videos esféricos, y para posicionar y orientar objetos como naves espaciales y teléfonos celulares en nuestro mundo tridimensional.
estas extensiones más allá de los números reales continúan todavía con los octoniones de ocho dimensiones, un sistema numérico aún más extraño descubierto por los colegas de Hamilton que tiene siete unidades imaginarias., Al igual que en todos los otros sistemas numéricos que hemos visto, puedes sumar, restar, multiplicar y dividir octoniones. Y al igual que con los cuaterniones, necesitamos algunas reglas especiales para gobernar cómo multiplicar todas las unidades imaginarias. Aquí están, representados gráficamente en un diagrama conocido como el»plano de Fano»:
como en la representación de los cuaterniones, multiplicarse a lo largo de la dirección de la flecha da un producto positivo, y contra la flecha da uno negativo.
al igual que los cuaterniones, la multiplicación de octoniones no es conmutativa., Pero extender nuestra idea de número a los octoniones nos cuesta la asociatividad de la multiplicación también. Al multiplicar tres octoniones x, Y Y z, no es necesariamente cierto que (X × Y) × z = X × (Y × z). Por ejemplo, utilizando el diagrama de arriba, podemos ver que
$latex (e_{3}\times e_{4})\times e_{1}=e_{6}\times e_{1}=e_{5}$
pero
$latex e_{3}\times(e_{4}\times e_{1})=e_{3}\times e_{2}=-e_{5}$
Así que ahora tenemos un sistema de numeración con no commutatitve, no asociativa de la multiplicación y siete raíz cuadrada de -1., ¿Cuándo alguien usaría eso? Bueno, algunos físicos creen que los octoniones pueden ser la clave para describir cómo las fuerzas fuertes, débiles y electromagnéticas actúan sobre los quarks, leptones y sus anti-partículas. Si es cierto, esto podría ayudar a resolver uno de los grandes misterios de la física moderna.
al extender repetidamente los números reales para crear sistemas más grandes – los números complejos, los cuaterniones, los octoniones-en los que podemos sumar, restar, multiplicar y dividir, perdemos un poco de familiaridad con cada paso. En el camino, también podemos perder el contacto con lo que pensamos como real., Pero lo que ganamos son nuevas formas de pensar sobre el mundo. Y siempre podemos encontrar un uso para eso.
Ejercicios
1. Creamos los números complejos definiendo i para que latex latex i^2=-1.. ¿Puedes encontrar un número complejo z tal que latex latex z^2 = i??
pista: sea z = a + bi y cuadrado. ¿Bajo qué condiciones en a y b sería esto igual a i?
2. Let latex latex z = \frac{1}{2}+\frac {\sqrt{3}} {2} i i. Mostrar que latex latex z^3=-1 latex. Puede encontrar las otras dos raíces cúbicas de -1?
descargue el gráfico PDF «cuatro sistemas numéricos especiales» para compartirlo con los estudiantes.,
corrección añadida Oct. 26: el segundo nombre de William Rowan Hamilton fue mal escrito como «Rohan» en el post original de este artículo.
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