har du någonsin suttit i ett matte klassrum och undrat, ” när ska jag någonsin använda detta?”Du kanske har frågat dig själv den här frågan när du först stötte på ”imaginära” tal och med goda skäl: vad kan vara mindre praktiskt än ett tal som beskrivs som imaginärt?
men imaginära tal, och de komplexa tal som de hjälper till att definiera, visar sig vara otroligt användbara. De har en långtgående inverkan på fysik, teknik, talteori och geometri., Och de är det första steget in i en värld av konstiga talsystem, av vilka några föreslås som modeller av de mystiska relationer som ligger till grund för vår fysiska värld. Låt oss ta en titt på hur dessa okända siffror är rotade i de siffror vi känner till, men samtidigt är de till skillnad från allt vi har föreställt oss.
”reella tal” är några av våra mest kända matematiska objekt: de är alla siffror som kan representeras i decimalnotation, som 5, 8.2, -13.712, 0, 10.33333… och $ latex \ pi \ ca $ 3.141592…., Vi kan lägga till, subtrahera, multiplicera och dela upp reella tal, och vi använder dem för att svara på frågor både i klassrum och i vår vardag. Men de verkliga siffrorna är inte tillräckligt för att lösa alla våra matematiska problem.
på 1500-talet försökte master equation solver Girolamo Cardano lösa polynomekvationer. Han hade inga problem att lösa ekvationer som $ latex x^2-8x + 12=0$, eftersom det var lätt att hitta två nummer vars summa var 8 och vars produkt var 12: nämligen 2 och 6., Detta innebar att $ latex x^2-8x + 12$ kunde faktureras som $latex(x-2) (x-6)$ och uttryckte detta polynom som en produkt av två faktorer som gjorde att man löste ekvationen $latex x^2-8x+12=0$ lätt.
men det var inte så lätt att göra detta för ekvationer som $latex x^2-3x+10=0$. Att hitta två nummer som lägger till 3 och multiplicerar till 10 verkar vara en omöjlig utmaning. Om produkten av de två siffrorna är positiv måste de ha samma tecken, och eftersom deras summa är positiv betyder det att de båda måste vara positiva., Men om två positiva tal lägger till upp till 3 måste de båda vara mindre än 3, vilket innebär att deras produkt kommer att vara mindre än 3 × 3 = 9. Det verkar inte vara ett sätt att få det här att fungera.
Cardano behandlade dessa icke-verkliga eller ”imaginära” siffror tveksamt, även beskriver den aritmetiska han gjorde med dem som värdelös. Men han blev förvånad över att finna att de lydde många av samma regler som reella tal gör. Och även om det tog ett tag ledde Cardanos motvilliga användning av $latex \sqrt{-1}$ till utvecklingen av ”komplexa tal”, en kraftfull och produktiv förlängning av reella tal.,
komplexa tal består av en riktig del och en imaginär del. De har formen a + bi, där A och b är både reella tal och $latex i=\sqrt{-1}$, även känd som ”imaginär enhet.”De kan tyckas konstiga först, men vi finner snabbt att vi kan lägga till, subtrahera, multiplicera och dela komplexa tal precis som vi gör med reella tal.,
för att lägga till och subtrahera komplexa tal kombinerar du bara de verkliga delarna och de imaginära delarna, så här:
(5 + 3i) + (2 + 8i) = (5 + 2) + (3 + 8)i = 7 + 11i
det här liknar att kombinera ”liknande termer” när du lägger till polynom tillsammans:
(3x + 2) + (5x + 7) = 8x + 9
multiplikation av komplexa tal görs med samma ”distributiv egendom” som vi använder med reella tal.,>= 10 + 2i
$latex \begin{align*}
&= 2 × (5 + i) + 3i × (5 + i)\\
&= 10+2i+15i+3i^2\\
&= 10+17i+3i^2
\end{align*}$
$latex \begin{align*}
(2+3i)\times(5+i) &= 10+17i+3i^2\\
&= 10+17i+3(-1)\\
&= 10+17i-3\\
&= 7+17i
\end{align*}$
Since we can write $latex 10+17i+3i^2$ in the form a + bi, we know it is indeed a complex number., Detta illustrerar egenskapen för ”stängning”: när du multiplicerar två komplexa tal får du ett annat komplext nummer. Du får inget annat.
multiplikation av komplexa tal är till och med ”kommutativ”: det betyder att när du multiplicerar två komplexa tal i endera ordningen är resultatet detsamma. Till exempel kan du verifiera att (5 + i) × (2 + 3i) = 7 + 17i. vi tar ofta för givet att multiplikationen av reella tal är kommutativ — till exempel att 5 × 4 = 4 × 5 — men som vi ska se senare håller detta viktiga faktum inte för varje nummersystem.,
så att vi kan multiplicera komplexa tal,men hur delar vi dem? Nyckeln är att förstå förhållandet mellan division och multiplikation.
Jag berättar ofta för eleverna att det inte finns något sådant som division: det finns bara multiplikation med det ömsesidiga. När vi ser uttrycket $ latex \ frac{10}{2}$, tror vi vanligtvis ”10 dividerat med 2”, men vi kan också tänka på detta som $latex 10\times\frac{1}{2}$ eller ”10 multiplicerat med det ömsesidiga av 2.,”
Nu kan det verka som ett onödigt komplicerat tillvägagångssätt för division, men det lönar sig när du börjar tänka på siffror som$latex \frac{1}{i}$. Betydelsen av ”1 dividerat med jag” kanske inte är omedelbart klar ,men ”den ömsesidiga av Jag” är det nummer du multiplicerar med jag för att få 1. Och det kan vara lite förvånande att detta nummer är-jag!,
I × (–i) = – (i × i) = – (-1) = 1
med hjälp av det faktum att jag × i = -1, och några andra viktiga egenskaper hos reella och komplexa tal (som låter oss ta det negativa tecknet ut framför uttrycket) ser vi att jag × (–i) = 1, och så –jag är verkligen det ömsesidiga av i. det betyder att om vi någonsin vill dela ett tal med i, kan vi bara multiplicera det med –i istället.
för andra komplexa tal kan aritmetiken bli lite svårare, men den ömsesidiga idén fungerar fortfarande., Till exempel, för att beräkna $latex \frac{1+2i}{3+4i}$ måste vi hitta det ömsesidiga av 3 + 4i, och för att göra det använder vi ett trick som involverar ”konjugat” av ett komplext tal — det vill säga det nummer du får när du byter tecken på sin imaginära del.
Lägg märke till vad som händer när vi multiplicerar det komplexa numret 3 + 4i med dess konjugat 3-4i., That is, $latex (3+4i)\times(3-4i)$:
$latex \begin{align*}
&= 3\times(3-4i)+4i\times(3-4i)\\
&=3\times 3-3\times 4i+4i\times 3-4i\times 4i\\
&= 9-12i+12i-16i^2\\
&= 9-16i^2\\
&= 9+16\\
&= 25
\end{align*}$
This property of conjugates helps us compute the reciprocal of any complex number.,, vi delar båda sidor av ekvationen med 25 och gör några algebra:
$latex (3+4i) \times (3-4i)=25$
$latex \frac{(3+4i) \times (3-4i)}{25}=\frac{25}{25}$
$latex \frac{(3+4i) \times (3-4i)} {25} = \ frac {25} {25} $
$ Latex \ frac {(3 + 4i) \ gånger (3-4i)}{25}=1$
$ latex (3+4i) \ times \ frac {(3-4i)}{25}=1$
$latex \frac{1+2i}{3+4i}=(1+2i)\times\frac{(3-4i)}{25}=\frac{11+2i}{25}$
införandet av detta ett nytt icke-reellt nummer — i, den imaginära enheten — lanserade en helt ny matematisk värld att utforska., Det är en konstig värld, där kvadrater kan vara negativa, men en vars struktur är mycket lik de reella tal Vi är så bekanta med. Och denna förlängning till de verkliga siffrorna var bara början.
1843 föreställde sig William Rowan Hamilton en värld där det fanns många distinkta ”imaginära enheter” och upptäckte därmed kvartärerna. Quaternionerna är strukturerade som de komplexa numren, men med ytterligare kvadratiska rötter på -1, som Hamilton kallade j och k. varje quaternion har formen a + bi + CJ + dk, där A, b, C och d är reella tal och $latex i^2=j^2=k^2=-1$., Du kanske tror att någon kan uppfinna ett nytt nummersystem, men det är viktigt att fråga om det kommer att ha de strukturer och egenskaper vi vill ha. Kommer systemet till exempel att stängas under multiplikation? Kommer vi att kunna dela?
För att säkerställa att kvaternionerna hade dessa egenskaper måste Hamilton räkna ut vad man ska göra med i × j. alla kvaternioner måste se ut som en + bi + CJ + dk, och jag × j gör det inte. vi sprang in i ett liknande problem när vi först multiplicerade två komplexa tal: Vårt ursprungliga resultat hade en i × i-term i det, vilket inte tycktes passa., Lyckligtvis kunde vi använda det faktum att$ latex i^2=-1 $ för att sätta numret i sin rätta form. Men vad kan man göra med i × j?
Hamilton själv kämpade för att förstå denna produkt, och när inspirationstidpunkten äntligen kom, skar han sin inblick i broens sten han korsade:
$latex i^2=j^2=k^2=i\times j\times k=-1$
människor från hela världen besöker fortfarande Broome Bridge i Dublin för att dela i detta ögonblick av matematisk upptäckt.,
Hamiltons berömda relation mellan de imaginära enheterna i, j och k gör det möjligt för oss att multiplicera och dela kvartärnioner och få de resultat vi mest förväntar oss. Låt oss se hur detta löser frågan om vad jag × j borde vara.
Från och med i × j × K = -1 multiplicerar vi båda sidor av ekvationen (på höger sida) med k och förenklar.
från Hamiltons förhållande ser vi att I × j = k ., Här använder vi det faktum att k × k = -1 tillsammans med andra egenskaper, inklusive multiplikationens ”associativa egenskap”, som säger att när du multiplicerar mer än två saker tillsammans kan du välja vilket par du vill multiplicera först. Detta är en annan egendom som vi tar för givet med reella tal — till exempel, (2 × 3) × 10 = 2 × (3 × 10) — och som med kommutativitet, kommer vi att se att det inte alltid håller för varje nummersystem.,
de andra produkterna kan härledas på ett liknande sätt, och så får vi en multiplikationstabell med imaginära enheter som ser ut så här:
I × j = K J × k = i k × i = J
j × i = –k k × j = –i i × k = –j
dessa kvaternion multiplikationsregler kan representeras i följande diagram:
här, rör sig runt cirkeln i pilens riktning ger dig lämplig produkt (i × J = K), och rör sig i motsatt riktning introducerar en faktor -1 (ex. j × i = –k)., Lägg märke till detta innebär att, till skillnad från de verkliga och komplexa numren, är multiplikation av kvaternioner inte kommutativ. (Det är därför vi var tvungna att multiplicera båda sidor av ekvationen i × j × K = -1 ovan med k på deras högra sidor.) Multiplicera två quaternions i olika order kan ge olika resultat!
$latex i\times j=K\neq-k=j\times I$
för att få den typ av struktur vi vill ha i quaternions måste vi överge multiplikationens commutativitet., Detta är en verklig förlust: Commutativitet är en slags algebraisk symmetri, och symmetri är alltid en användbar egenskap i matematiska strukturer. Men med dessa relationer på plats får vi ett system där vi kan lägga till, subtrahera, multiplicera och dela mycket som vi gjorde med komplexa tal.
för att lägga till och subtrahera quaternions samlar vi in liknande villkor som tidigare. För att multiplicera använder vi fortfarande den distributiva egenskapen: det kräver bara lite mer fördelning., Och för att dela kvartärer använder vi fortfarande tanken på konjugatet för att hitta det ömsesidiga, för precis som med komplexa tal är produkten av någon kvaternion med dess konjugat ett verkligt tal.
$latex (a+bi+CJ+dk)\times(a-bi-CJ-dk)=$
$latexa^2+b^2+c^2+d^2$
$latex \frac{1}{1+I+j+K}=\frac{1-I-j-K}{4}$
således är kvaternionerna en förlängning av de komplexa tal där vi kan lägga till, subtrahera, multiplicera och dela., Och som de komplexa tal, kvartärerna är förvånansvärt användbara: de kan användas för att modellera rotationen av tredimensionellt utrymme, vilket gör dem ovärderliga i att göra digitala landskap och sfärisk video, och i positionering och orientera objekt som rymdskepp och mobiltelefoner i vår tredimensionella värld.
dessa tillägg utöver de reella numren fortsätter fortfarande med de åtta dimensionella oktonionerna, ett ännu konstigare nummersystem som upptäckts av Hamiltons kollegor som har sju imaginära enheter., Precis som i alla andra talsystem vi har sett kan du lägga till, subtrahera, multiplicera och dela oktonioner. Och precis som med quaternionerna behöver vi några speciella regler för att styra hur man multiplicerar alla imaginära enheter. Här är de representerade grafiskt i ett diagram som kallas ”Fano-Planet”:
som i representationen för kvartärerna, multipliceras längs pilens riktning ger en positiv produkt och mot pilen ger en negativ.
liksom quaternions är oktonion multiplikation inte kommutativ., Men att utvidga vår idé om nummer ut till oktonionerna kostar oss också associativiteten för multiplikation. Vid multiplicering av tre oktonioner x, y och z är det inte nödvändigtvis sant att (x × y) × z = x × (y × z). Till exempel, med hjälp av diagrammet ovan, kan vi se att
$latex (e_{3}\times e_{4})\times e_{1}=e_{6}\times e_{1}=e_{5}$
men
$latex e_{3}\times(e_{4}\times e_{1})=e_{3}\times e_{2}=-e_{5}$
så nu har vi ett nummersystem med icke-commutatitve, icke-associativ multiplikation och sju kvadratiska rötter av -1., När skulle någon använda det? Tja, vissa fysiker tror att oktonionerna kan hålla nyckeln till att beskriva hur de starka, svaga och elektromagnetiska krafterna verkar på kvarkar, leptoner och deras antipartiklar. Om det är sant kan detta hjälpa till att lösa en av de stora mysterierna i modern fysik.
genom att upprepade gånger förlänga reella tal för att skapa större system-de komplexa tal, kvartärerna, oktonionerna — där vi kan lägga till, subtrahera, multiplicera och dela, förlorar vi lite förtrogenhet med varje steg. Längs vägen, vi kan också förlora kontakten med vad vi tycker om som verkliga., Men vad vi får är nya sätt att tänka på världen. Och vi kan alltid hitta en användning för det.
övningar
1. Vi skapade de komplexa numren genom att definiera jag så att $ latex i^2 = -1$. Kan du hitta ett komplext nummer z så att $latex z^2 = i$?
tips: Låt z = a + bi och kvadrera den. Under vilka förutsättningar på A och b skulle detta vara lika med i?
2. Låt $ latex z= \ frac{1}{2}+ \ frac {\sqrt{3}}{2}i$. Visa att $ latex z^3 = -1$. Kan du hitta de andra två kubrötterna på -1?
ladda ner PDF-grafiken ”Four Special Number Systems” för att dela med eleverna.,
korrigering tillagd oktober. 26: William Rowan Hamiltons mellannamn var felstavat som” Rohan ” i det ursprungliga inlägget av denna artikel.
Leave a Reply