Ti sei mai seduto in una classe di matematica e ti sei chiesto: “Quando lo userò mai?”Potresti esserti posto questa domanda quando hai incontrato per la prima volta numeri “immaginari”, e con una buona ragione: cosa potrebbe essere meno pratico di un numero descritto come immaginario?
Ma i numeri immaginari, e i numeri complessi che aiutano a definire, risultano incredibilmente utili. Hanno un impatto di vasta portata in fisica, ingegneria, teoria dei numeri e geometria., E sono il primo passo in un mondo di strani sistemi numerici, alcuni dei quali vengono proposti come modelli delle misteriose relazioni alla base del nostro mondo fisico. Diamo un’occhiata a come questi numeri sconosciuti sono radicati nei numeri che conosciamo, ma allo stesso tempo sono diversi da qualsiasi cosa abbiamo immaginato.
I “numeri reali” sono alcuni dei nostri oggetti matematici più familiari: sono tutti i numeri che possono essere rappresentati in notazione decimale, come 5, 8.2, -13.712, 0, 10.33333… e latex latex \ pi \ circa approx 3.141592…., Possiamo aggiungere, sottrarre, moltiplicare e dividere numeri reali, e li usiamo per rispondere alle domande sia nelle aule che nella nostra vita quotidiana. Ma i numeri reali non sono sufficienti per risolvere tutti i nostri problemi di matematica.
Nel 1500, il maestro risolutore di equazioni Girolamo Cardano stava cercando di risolvere equazioni polinomiali. Non ha avuto problemi a risolvere equazioni come latex latex x^2-8x+12=0 $, perché era facile trovare due numeri la cui somma era 8 e il cui prodotto era 12: vale a dire, 2 e 6., Questo significava $lattice x^2-8x+12$ potrebbe essere fattorizzato come $latex (x-2)(x-6)$, e di esprimere questo polinomio come prodotto di due fattori di fatto risolvere l’equazione $lattice x^2-8x+12=0$ facile.
Ma non è stato così facile farlo per equazioni come latex latex x^2-3x+10=0.. Trovare due numeri che si aggiungono a 3 e si moltiplicano a 10 sembra una sfida impossibile. Se il prodotto dei due numeri è positivo, devono avere lo stesso segno, e poiché la loro somma è positiva, questo significa che devono essere entrambi positivi., Ma se due numeri positivi aggiungono fino a 3, devono essere entrambi inferiori a 3, il che significa che il loro prodotto sarà inferiore a 3 × 3 = 9. Non sembra esserci un modo per farlo funzionare.
Cardano trattò questi numeri non reali, o “immaginari”, esitando, persino descrivendo l’aritmetica che faceva con loro come inutile. Ma fu sorpreso di scoprire che obbedivano a molte delle stesse regole che i numeri reali fanno. E anche se ci è voluto un po’, l’uso riluttante di Cardano di latex latex \sqrt{-1} led ha portato allo sviluppo dei “numeri complessi”, un’estensione potente e produttiva dei numeri reali.,
I numeri complessi sono costituiti da una parte reale e da una parte immaginaria. Hanno la forma a + bi, dove a e b sono entrambi numeri reali, e latex latex i= \ sqrt{-1}$, noto anche come “unità immaginaria.”All’inizio possono sembrare strani, ma scopriamo rapidamente che possiamo aggiungere, sottrarre, moltiplicare e dividere numeri complessi proprio come facciamo con i numeri reali.,
Per aggiungere e sottrarre numeri complessi, basta combinare le parti reali e immaginarie parti, come:
(5 + 3i) + (2 + 8i) = (5 + 2) + (3 + 8)i = 7 + 11i
Questo è simile alla combinazione “di termini come” quando si aggiunge polinomi insieme:
(3x + 2) + (5x + 7) = 8x + 9
la Moltiplicazione di numeri complessi è fatto utilizzando la stessa “proprietà distributiva” usiamo con i numeri reali.,>= 10 + 2i
$latex \begin{align*}
&= 2 × (5 + i) + 3i × (5 + i)\\
&= 10+2i+15i+3i^2\\
&= 10+17i+3i^2
\end{align*}$
$latex \begin{align*}
(2+3i)\times(5+i) &= 10+17i+3i^2\\
&= 10+17i+3(-1)\\
&= 10+17i-3\\
&= 7+17i
\end{align*}$
Since we can write $latex 10+17i+3i^2$ in the form a + bi, we know it is indeed a complex number., Questo illustra la proprietà di “chiusura”: quando si moltiplicano due numeri complessi, si ottiene un altro numero complesso. Non si ottiene qualcos’altro.
La moltiplicazione dei numeri complessi è anche “commutativa”: ciò significa che quando si moltiplicano due numeri complessi in entrambi gli ordini, il risultato è lo stesso. Ad esempio, puoi verificare che (5 + i) × (2 + 3i) = 7 + 17i. Spesso diamo per scontato che la moltiplicazione dei numeri reali sia commutativa — ad esempio, che 5 × 4 = 4 × 5 — ma come vedremo più avanti, questo fatto importante non vale per tutti i sistemi numerici.,
Quindi possiamo moltiplicare numeri complessi, ma come li dividiamo? La chiave è capire il rapporto tra divisione e moltiplicazione.
Dico spesso agli studenti che non esiste una divisione: c’è solo moltiplicazione per il reciproco. Quando vediamo l’espressione latex latex \frac{10}{2}$, di solito pensiamo “10 diviso per 2”, ma possiamo anche pensare a questo come latex latex 10\times\frac{1}{2}$, o “10 moltiplicato per il reciproco di 2.,”
Ora questo può sembrare un approccio inutilmente complicato alla divisione, ma paga quando inizi a pensare a numeri come latex latex \frac{1}{i}$. Il significato di” 1 diviso per i “potrebbe non essere immediatamente chiaro, ma” il reciproco di i” è il numero che moltiplichi con i per ottenere 1. E potrebbe essere un po ‘ sorprendente che questo numero sia-i!,
ho × (–i) = – (i × i) = – (-1) = 1
con il fatto che i × i = -1, e di alcuni altri importanti proprietà reali e numeri complessi (che ci permettono di portare il segno negativo davanti l’espressione), vediamo che mi × (–i) = 1, e così –io, veramente, è il reciproco dell’io. Questo significa che se si desidera dividere un numero per i possiamo solo, moltiplicate per –i invece.
Per altri numeri complessi, l’aritmetica potrebbe diventare un po ‘ più difficile, ma l’idea reciproca funziona ancora., Ad esempio, per calcolare latex latex \frac{1+2i}{3+4i} we abbiamo bisogno di trovare il reciproco di 3 + 4i, e per farlo useremo un trucco che coinvolge il “coniugato” di un numero complesso — cioè, il numero che ottieni quando cambi il segno della sua parte immaginaria.
Notate cosa succede quando moltiplichiamo il numero complesso 3 + 4i per il suo coniugato 3-4i., That is, $latex (3+4i)\times(3-4i)$:
$latex \begin{align*}
&= 3\times(3-4i)+4i\times(3-4i)\\
&=3\times 3-3\times 4i+4i\times 3-4i\times 4i\\
&= 9-12i+12i-16i^2\\
&= 9-16i^2\\
&= 9+16\\
&= 25
\end{align*}$
This property of conjugates helps us compute the reciprocal of any complex number., dividiamo entrambi i lati dell’equazione per il 25 e fare un po di algebra:
$latex (3+4i) \times (3-4i)=25$
$latex \frac{(3+4i) \times (3-4i)}{25}=\frac{25}{25}$
$latex \frac{(3+4i) \times (3-4i)}{25}=1$
$latex (3+4i) \times \frac{(3-4i)}{25}=1$
$latex \frac{1+2i}{3+4i}=(1+2i)\times\frac{(3-4i)}{25}=\frac{11+2i}{25}$
L’introduzione di questo nuovo non-reale — i, l’unità immaginaria — ha lanciato una nuova matematici mondo da esplorare., È un mondo strano, dove i quadrati possono essere negativi, ma la cui struttura è molto simile ai numeri reali con cui siamo così familiari. E questa estensione ai numeri reali era solo l’inizio.
Nel 1843, William Rowan Hamilton immaginò un mondo in cui c’erano molte “unità immaginarie” distinte, e così facendo scoprì i quaternioni. I quaternioni sono strutturati come i numeri complessi, ma con radici quadrate aggiuntive di -1, che Hamilton chiama j e k. Ogni quaternione ha la forma a + bi + cj + dk, dove a, b, c e d sono numeri reali, e latex latex i^2=j^2=k^2=-1$., Si potrebbe pensare che chiunque possa inventare un nuovo sistema numerico, ma è importante chiedere se avrà le strutture e le proprietà che vogliamo. Ad esempio, il sistema sarà chiuso sotto moltiplicazione? Saremo in grado di dividere?
Per garantire che i quaternioni avessero queste proprietà, Hamilton ha dovuto capire cosa fare su i × j. Tutti i quaternioni devono apparire come a + bi + cj +dk, e i × j no. Ci siamo imbattuti in un problema simile quando abbiamo moltiplicato per la prima volta due numeri complessi: il nostro risultato iniziale aveva un termine i × i, che non sembrava adattarsi., Fortunatamente, potremmo usare il fatto che latex latex i^2=-1 = per mettere il numero nella sua forma corretta. Ma cosa si può fare con i × j?
Hamilton stesso faticato a comprendere questo prodotto, e quando il momento di ispirazione, infine, è venuto, ha inciso il suo spaccato la pietra del ponte stava attraversando:
$latex i^2=j^2=k^2=i\times j\times k=-1$
la Gente da tutto il mondo visitano ancora Broome Ponte a Dublino per condividere questo momento di matematica scoperta.,
La famosa relazione di Hamilton tra le unità immaginarie i, j e k ci permette di moltiplicare e dividere i quaternioni e ottenere i risultati che ci aspettiamo principalmente. Vediamo come questo risolve la domanda su cosa dovrebbe essere i × J.
Iniziando con i × j × k = -1, moltiplichiamo entrambi i lati dell’equazione (sul loro lato destro) per k e semplifichiamo.
Dalla relazione di Hamilton, vediamo che i × j = k ., Qui stiamo usando il fatto che k × k = -1 insieme ad altre proprietà, inclusa la “proprietà associativa” della moltiplicazione, che dice che, moltiplicando più di due cose insieme, puoi scegliere quale coppia moltiplicare per prima. Questa è un’altra proprietà che diamo per scontata con i numeri reali, ad esempio, (2 × 3) × 10 = 2 × (3 × 10) — e come con la commutatività, vedremo che non sempre vale per ogni sistema numerico.,
Gli altri prodotti possono essere derivate in modo simile, e si ottiene una tabella di moltiplicazione di unità immaginaria che assomiglia a questo:
i × j = k j × k = i k × i = j
j × i = –k k × j = –i i × k = –j
Questi quaternione moltiplicazione regole può essere rappresentato nel seguente diagramma:
Qui spostare intorno al cerchio nella direzione delle frecce ti dà il prodotto appropriato (i × j = k), e si muovono in direzione opposta introduce un fattore di -1 (ex. j × i = –k)., Si noti questo significa che, a differenza dei numeri reali e complessi, la moltiplicazione dei quaternioni non è commutativa. (Questo è il motivo per cui abbiamo dovuto moltiplicare entrambi i lati dell’equazione i × j × k = -1 sopra per k sul loro lato destro.) Moltiplicando due quaternioni in ordini diversi può produrre risultati diversi!
latex latex i\times j=k\neq-k=j\times i
Per ottenere il tipo di struttura che vogliamo nei quaternioni, dobbiamo abbandonare la commutatività della moltiplicazione., Questa è una vera perdita: la commutatività è una sorta di simmetria algebrica e la simmetria è sempre una proprietà utile nelle strutture matematiche. Ma con queste relazioni in atto, otteniamo un sistema in cui possiamo aggiungere, sottrarre, moltiplicare e dividere molto come abbiamo fatto con i numeri complessi.
Per aggiungere e sottrarre quaternioni, raccogliamo come termini come prima. Per moltiplicare usiamo ancora la proprietà distributiva: richiede solo un po ‘ più di distribuzione., E per dividere i quaternioni, usiamo ancora l’idea del coniugato per trovare il reciproco, perché proprio come con i numeri complessi, il prodotto di ogni quaternione con il suo coniugato è un numero reale.
$latex (a+bi+cj+dk)\times(a-bi-cj-dk)=$
$latexa^2+b^2+c^2+d^2$
$latex \frac{1}{1+i+j+k}=\frac{1-i-j-k}{4}$
Così, i quaternioni sono un’estensione dei numeri complessi in cui è possibile aggiungere, sottrarre, moltiplicare e dividere., E come i numeri complessi, i quaternioni sono sorprendentemente utili: possono essere usati per modellare la rotazione dello spazio tridimensionale, il che li rende inestimabili nel rendering di paesaggi digitali e video sferici, e nel posizionamento e orientamento di oggetti come astronavi e cellulari nel nostro mondo tridimensionale.
Queste estensioni oltre i numeri reali continuano ancora con le ottonioni a otto dimensioni, un sistema numerico ancora più strano scoperto dai colleghi di Hamilton che ha sette unità immaginarie., Proprio come in tutti gli altri sistemi di numeri che abbiamo visto, è possibile aggiungere, sottrarre, moltiplicare e dividere ottonioni. E proprio come con i quaternioni, abbiamo bisogno di alcune regole speciali per governare come moltiplicare tutte le unità immaginarie. Eccoli, rappresentati graficamente in un diagramma noto come “piano di Fano”:
Come nella rappresentazione per i quaternioni, moltiplicando lungo la direzione della freccia dà un prodotto positivo, e contro la freccia ne dà uno negativo.
Come i quaternioni, la moltiplicazione degli ottoni non è commutativa., Ma estendere la nostra idea di numero agli ottoni ci costa anche l’associatività della moltiplicazione. Quando si moltiplicano tre ottonioni x, y e z, non è necessariamente vero che (x × y) × z = x × (y × z). Ad esempio, utilizzando il diagramma di cui sopra, possiamo vedere che
$latex (e_{3}\times e_{4})\times e_{1}=e_{6}\times e_{1}=e_{5}$
ma
$latex e_{3}\times(e_{4}\times e_{1})=e_{3}\times e_{2}=-e_{5}$
Così ora abbiamo un sistema di numero con non commutatitve, camere non-associativo moltiplicazione e sette le radici quadrate di -1., Quando mai qualcuno lo userebbe? Bene, alcuni fisici credono che gli ottonioni possano contenere la chiave per descrivere come le forze forti, deboli ed elettromagnetiche agiscono su quark, leptoni e le loro anti-particelle. Se fosse vero, questo potrebbe aiutare a risolvere uno dei grandi misteri della fisica moderna.
Estendendo ripetutamente i numeri reali per creare sistemi più grandi — i numeri complessi, i quaternioni, gli ottonioni — in cui possiamo aggiungere, sottrarre, moltiplicare e dividere, perdiamo un po ‘ di familiarità con ogni passaggio. Lungo la strada, potremmo anche perdere il contatto con ciò che pensiamo come reale., Ma ciò che guadagniamo sono nuovi modi di pensare al mondo. E possiamo sempre trovare un uso per questo.
Esercizi
1. Abbiamo creato i numeri complessi definendo i in modo che latex latex i^2=-1$. Riesci a trovare un numero complesso z tale che latex latex z^2 = i$?
Suggerimento: lasciare z = a + bi e quadrato. In quali condizioni su a e b sarebbe uguale a i?
2. Se non si desidera, si prega di contattare il servizio clienti. Mostra che latex latex z^3=-1$. Riesci a trovare le altre due radici cubiche di -1?
Scarica la grafica PDF “Quattro sistemi numerici speciali” da condividere con gli studenti.,
Correzione aggiunto ottobre. 26: Secondo nome di William Rowan Hamilton è stato scritto male come “Rohan” nel post originale di questo articolo.
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