Vous êtes-vous déjà assis dans une salle de classe de mathématiques et vous êtes-vous demandé: « Quand vais-je utiliser cela? »Vous vous êtes peut-être posé cette question lorsque vous avez rencontré pour la première fois des nombres « imaginaires”, et avec raison: Qu’est-ce qui pourrait être moins pratique qu’un nombre décrit comme imaginaire?
Mais les nombres imaginaires, et les nombres complexes elles aident à définir, s’avèrent être extrêmement utiles. Ils ont un impact considérable en physique, en ingénierie, en théorie des nombres et en Géométrie., Et ils sont la première étape dans un monde de systèmes de nombres étranges, dont certains sont proposés comme modèles des relations mystérieuses sous-jacentes à notre monde physique. Regardons comment ces chiffres inconnus sont enracinés dans les chiffres que nous connaissons, mais en même temps, ne ressemblent à rien de ce que nous avons imaginé.
Les” Nombres réels » sont quelques-uns de nos objets mathématiques les plus familiers: ce sont tous les nombres qui peuvent être représentés en notation décimale, comme 5, 8.2, -13.712, 0, 10.33333… et latex latex \ pi \ environ 3 3.141592…., Nous pouvons ajouter, soustraire, multiplier et diviser des nombres réels, et nous les utilisons pour répondre à des questions à la fois dans les salles de classe et dans notre vie quotidienne. Mais les chiffres réels ne suffisent pas à résoudre tous nos problèmes mathématiques.
dans les années 1500, le maître solveur d’équations Girolamo Cardano essayait de résoudre des équations polynomiales. Il n’avait aucun mal à résoudre des équations comme latex latex x^2-8x+12=0$, car il était facile de trouver deux nombres dont la somme était 8 et dont le produit était 12: à savoir, 2 et 6., Cela signifiait $latex x^2-8x+12$ pourrait être pris en compte comme $latex (x-2)(x-6)$, et en exprimant ce polynôme sous forme d’un produit de deux facteurs fait de la résolution de l’équation $latex x^2-8x+12=0$ facile.
Mais ce n’était pas si facile de le faire pour des équations comme latex latex x^2-3x+10=0.. Trouver deux nombres qui s’ajoutent à 3 et se multiplient à 10 semble un défi impossible. Si le produit de deux nombres est positif, ils doivent avoir le même signe, et puisque leur somme est positive, cela signifie qu’ils doivent être tous les deux positifs., Mais si deux nombres positifs ajoutent jusqu’à 3, ils doivent tous deux être inférieurs à 3, ce qui signifie que leur produit sera inférieur à 3 × 3 = 9. Il ne semble pas y avoir de moyen de faire fonctionner cela.
Cardano a traité ces nombres non réels, ou « imaginaires”, avec hésitation, décrivant même l’arithmétique qu’il a faite avec eux comme inutile. Mais il a été surpris de constater qu’ils obéissaient à plusieurs des mêmes règles que les nombres réels. Et bien que cela ait pris un certain temps, L’utilisation réticente de Cardano de latex latex \sqrt{-1} led a conduit au développement des « nombres complexes”, une extension puissante et productive des nombres réels.,
les nombres Complexes sont constitués d’une partie réelle et une partie imaginaire. Ils ont la forme a + bi, où a et b sont tous deux des nombres réels, et latex latex i=\sqrt{-1}$, également connu sous le nom de « unité imaginaire. »Ils peuvent sembler étranges au début, mais nous constatons rapidement que nous pouvons ajouter, soustraire, multiplier et diviser des nombres complexes comme nous le faisons avec des nombres réels.,
pour ajouter et soustraire des nombres complexes, il suffit de combiner les parties réelles et les parties imaginaires, comme ceci:
(5 + 3i) + (2 + 8i) = (5 + 2) + (3 + 8)i = 7 + 11i
ceci est similaire à la combinaison de « termes similaires” lorsque vous ajoutez des polynômes ensemble:
(3x + 2) + (5x + 7) = 8x + 9
La Multiplication des nombres complexes se fait en utilisant la même « propriété distributive” que nous utilisons avec les nombres réels.,>= 10 + 2i
$latex \begin{align*}
&= 2 × (5 + i) + 3i × (5 + i)\\
&= 10+2i+15i+3i^2\\
&= 10+17i+3i^2
\end{align*}$
$latex \begin{align*}
(2+3i)\times(5+i) &= 10+17i+3i^2\\
&= 10+17i+3(-1)\\
&= 10+17i-3\\
&= 7+17i
\end{align*}$
Since we can write $latex 10+17i+3i^2$ in the form a + bi, we know it is indeed a complex number., Cela illustre la propriété de « fermeture »: lorsque vous multipliez deux nombres complexes, vous obtenez un autre nombre complexe. Vous n’avez pas obtenir quelque chose d’autre.
la Multiplication des nombres complexes est même « commutative”: Cela signifie que lorsque l’on multiplie deux nombres complexes dans l’ordre, le résultat est le même. Par exemple, vous pouvez vérifier que (5 + i) × (2 + 3i) = 7 + 17i. nous prenons souvent pour acquis que la multiplication des nombres réels est commutative — par exemple, que 5 × 4 = 4 × 5 — mais comme nous le verrons plus loin, ce fait important ne tient pas pour tous les systèmes de nombres.,
Nous pouvons donc multiplier les nombres complexes, mais comment les diviser? La clé est de comprendre la relation entre la division et la multiplication.
je dis souvent aux étudiants qu’il n’y a pas de division: il n’y a que la multiplication par la réciproque. Quand nous voyons l’expression $latex \frac{10}{2}$, nous avons l’habitude de penser « 10 divisé par 2,” mais nous pouvons aussi penser à ce que $latex 10\times\frac{1}{2}$, ou « 10 multiplié par l’inverse de 2., »
maintenant, cela peut sembler une approche inutilement compliquée de la division, mais cela paie quand vous commencez à penser à des nombres comme latex latex \frac{1}{i}$. La signification de « 1 divisé par i” peut ne pas être immédiatement claire, mais « la réciproque de i” est le nombre que vous multipliez par i pour obtenir 1. Et il peut être un peu surprenant que ce nombre soit –i!,
i × (–i) = – (i × i) = – (-1) = 1
en Utilisant le fait que i × i = -1, et quelques autres propriétés importantes de nombres réels et complexes. (qui nous permettent de porter le signe négatif devant l’expression), nous voyons que je × (–i) = 1, et donc –je vraiment est la réciproque de je. Cela signifie que si nous voulons diviser un nombre par je, il nous suffit de le multiplier par l’ –je à la place.
pour les autres nombres complexes, l’arithmétique peut devenir un peu plus difficile, mais l’idée réciproque fonctionne toujours., Par exemple, pour calculer latex latex \frac{1+2i}{3+4i} we nous devons trouver la réciproque de 3 + 4i, et pour ce faire, nous allons utiliser une astuce impliquant le « conjugué” d’un nombre complexe — c’est-à-dire le nombre que vous obtenez lorsque vous changez le signe de sa partie imaginaire.
remarquez ce qui se passe lorsque nous multiplions le nombre complexe 3 + 4i par son conjugué 3 – 4i., That is, $latex (3+4i)\times(3-4i)$:
$latex \begin{align*}
&= 3\times(3-4i)+4i\times(3-4i)\\
&=3\times 3-3\times 4i+4i\times 3-4i\times 4i\\
&= 9-12i+12i-16i^2\\
&= 9-16i^2\\
&= 9+16\\
&= 25
\end{align*}$
This property of conjugates helps us compute the reciprocal of any complex number., nous divisons les deux côtés de l’équation par 25, et faire de l’algèbre:
$latex (3+4i) \times (3-4i)=25$
$latex \frac{(3+4i) \times (3-4i)}{25}=\frac{25}{25}$
$latex \frac{(3+4i) \times (3-4i)}{25}=1$
$latex (3+4i) \times \frac{(3-4i)}{25}=1$
$latex \frac{1+2i}{3+4i}=(1+2i)\times\frac{(3-4i)}{25}=\frac{11+2i}{25}$
L’introduction de ce nouveau non-nombre réel — je, de l’imaginaire de l’unité a lancé un tout nouveau monde mathématique à explorer., C’est un monde étrange, où les carrés peuvent être négatifs, mais dont la structure est très similaire aux nombres réels que nous connaissons si bien. Et cette extension aux nombres réels n’était que le début.
en 1843, William Rowan Hamilton a imaginé un monde dans lequel il y avait de nombreuses « unités imaginaires” distinctes, et ce faisant a découvert les quaternions. Les quaternions sont structurés comme les nombres complexes, mais avec des racines carrées supplémentaires de -1, que Hamilton a appelées j et K. chaque quaternion a la forme a + bi + cj +dk, où a, b, c et d sont des nombres réels, et latex latex i^2=j^2=k^2=-1$., Vous pourriez penser que n’importe qui peut inventer un nouveau système de numérotation, mais il est important de demander s’il aura les structures et les propriétés que nous voulons. Par exemple, le système sera-t-il fermé sous multiplication? Allons-nous être en mesure de diviser?
pour s’assurer que les quaternions avaient ces propriétés, Hamilton a dû comprendre quoi faire à propos de i × J. tous les quaternions doivent ressembler à a + bi + cj +dk, et i × j ne le fait pas. nous avons rencontré un problème similaire lorsque nous avons multiplié pour la première fois deux nombres complexes: notre résultat initial avait un terme, Heureusement, nous pourrions utiliser le fait que latex latex i^2=-1 to pour mettre le nombre dans sa forme appropriée. Mais que peut-on faire avec i × j?
Hamilton lui-même a eu du mal à comprendre ce produit, et quand le moment de l’inspiration est enfin venu, il a sculpté sa perspicacité dans la pierre du pont qu’il traversait:
latex latex i^2=j^2=k^2=I\times j\times k=-1
des gens de partout dans le monde visitent toujours Broome Bridge à Dublin pour partager ce moment de découverte mathématique.,
la célèbre relation de Hamilton entre les unités imaginaires i, j et k nous permet de multiplier et de diviser les quaternions et d’obtenir les résultats que nous attendons le plus souvent. Voyons comment cela résout la question de ce que devrait être i × J.
en commençant par i × j × k = -1, nous multiplions les deux côtés de l’équation (sur leurs côtés droits) par k et simplifions.
de la relation de Hamilton, nous voyons que i × j = K., Ici, nous utilisons le fait que k × k = -1 avec d’autres propriétés, y compris la « propriété associative” de la multiplication, qui dit que, lorsque vous multipliez plus de deux choses ensemble, vous pouvez choisir quelle paire multiplier en premier. C’est une autre propriété que nous tenons pour acquise avec les nombres réels — par exemple, (2 × 3) × 10 = 2 × (3 × 10) — et comme avec la commutativité, nous verrons qu’elle ne tient pas toujours pour tous les systèmes numériques.,
les autres produits peuvent être dérivés de manière similaire, et nous obtenons donc une table de multiplication d’unités imaginaires qui ressemble à ceci:
i × j = k j × K = i k × i = j
j × i = –k k × j = –i i × k = –j
ces règles de multiplication des quaternions peuvent div>
ici, se déplacer autour du cercle dans la direction des flèches vous donne le produit approprié (I × J = K), et se déplacer dans la direction opposée introduit un facteur de -1 (ex. j × i = –k)., Notez que cela signifie que, contrairement aux nombres réels et complexes, la multiplication des quaternions n’est pas commutative. (C’est pourquoi nous avons dû multiplier les deux côtés de l’équation i × j × k = -1 ci-dessus par k sur leur côté droit.) Multiplier deux quaternions dans des ordres différents peut produire des résultats différents!
$latex i\times j=k\neq-k=j\times i$
Pour obtenir le type de structure que nous voulons dans les quaternions, nous devons abandonner la commutativité de la multiplication., C’est une vraie perte: la commutativité est une sorte de symétrie algébrique, et la symétrie est toujours une propriété utile dans les structures mathématiques. Mais avec ces relations en place, nous gagnons un système où nous pouvons ajouter, soustraire, multiplier et diviser un peu comme nous l’avons fait avec les nombres complexes.
pour ajouter et soustraire des quaternions, nous collectons des termes comme auparavant. Pour multiplier, nous utilisons toujours la propriété distributive: il faut juste un peu plus de distribution., Et pour diviser les quaternions, nous utilisons toujours l’idée du conjugué pour trouver la réciproque, car tout comme pour les nombres complexes, le produit de tout quaternion avec son conjugué est un nombre réel.
$latex (a+bi+cj+dk)\times(a-bi-cj-dk)=$
$latexa^2+b^2+c^2+d^2$
$latex \frac{1}{1+i+j+k}=\frac{1-i-j-k}{4}$
Ainsi, les quaternions sont une extension des nombres complexes où l’on peut ajouter, soustraire, multiplier et diviser., Et comme les nombres complexes, les quaternions sont étonnamment utiles: ils peuvent être utilisés pour modéliser la rotation de l’espace tridimensionnel, ce qui les rend inestimables dans le rendu de paysages numériques et de vidéos sphériques, ainsi que dans le positionnement et l’orientation d’objets tels que les vaisseaux spatiaux et les téléphones portables dans notre monde tridimensionnel.
ces extensions au-delà des nombres réels continuent toujours avec les octonions à huit dimensions, un système de nombres encore plus étrange découvert par les collègues de Hamilton qui a sept unités imaginaires., Tout comme dans tous les autres systèmes de nombres que nous avons vus, vous pouvez ajouter, soustraire, multiplier et diviser les octonions. Et tout comme pour les quaternions, nous avons besoin de règles spéciales pour régir la multiplication de toutes les unités imaginaires. Les voici, représentés graphiquement dans un diagramme connu sous le nom de « plan de Fano”:
comme dans la représentation des quaternions, la multiplication le long de la direction de la flèche donne un produit positif, et contre la flèche donne un produit négatif.
comme les quaternions, la multiplication des octonions n’est pas commutative., Mais étendre notre idée de nombre aux octonions nous coûte également l’associativité de la multiplication. En multipliant trois octonions x, y et z, il n’est pas nécessairement vrai que (x × y) × z = x × (y × z). Par exemple, en utilisant le diagramme ci-dessus, nous pouvons voir que
latex latex (e_{3}\fois e_{4})\fois e_{1}=e_{6}\fois e_{1}=e_{5} but
mais
latex latex e_{3}\fois(e_{4}\fois e_{1})=e_{3}\fois e_{2}=-e_{5}
Nous avons donc maintenant un système de nombres avec une multiplication non commutative, non associative et sept racines carrées de -1., Quand quelqu’un l’utiliserait-il? Eh bien, certains physiciens pensent que les octonions peuvent contenir la clé pour décrire comment les forces fortes, faibles et électromagnétiques agissent sur les quarks, les leptons et leurs anti-particules. Si c’est vrai, cela pourrait aider à résoudre l’un des grands mystères de la physique moderne.
en étendant à plusieurs reprises les nombres réels pour créer des systèmes plus grands — les nombres complexes, les quaternions, les octonions — dans lesquels nous pouvons ajouter, soustraire, multiplier et diviser, nous perdons un peu de familiarité avec chaque étape. En cours de route, nous pouvons également perdre le contact avec ce que nous considérons comme réel., Mais ce que nous gagnons de nouvelles façons de penser le monde. Et nous pouvons toujours trouver une utilisation pour que.
Exercices
1. Nous avons créé les nombres complexes en définissant i de sorte que latex latex i^2=-1$. Pouvez-vous trouver un nombre complexe z tel que $latex z^2=i$?
indice: laissez z = a + bi et équarrissez-le. Dans quelles conditions sur a et b serait – ce égal à i?
2. Laissez $latex z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$. Montrer que latex latex z^3=-1$. Pouvez-vous trouver les deux autres racines cubiques de -1?
Téléchargez le graphique PDF « quatre systèmes numériques Spéciaux” à partager avec les étudiants.,
Correction ajoutée Oct. 26: le deuxième prénom de William Rowan Hamilton a été mal orthographié comme « Rohan » dans le post original de cet article.
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