har du nogensinde siddet i et matematisk klasseværelse og spekuleret på, “hvornår vil jeg nogensinde bruge dette?”Du har måske stillet dig selv dette spørgsmål, da du først stødte på “imaginære” tal og med god grund: hvad kunne være mindre praktisk end et tal beskrevet som imaginært?
men imaginære tal, og de komplekse tal, de hjælper med at definere, viser sig at være utroligt nyttige. De har en vidtrækkende indflydelse i fysik, teknik, talteori og geometri., Og de er det første skridt ind i en verden af mærkelige talesystemer, hvoraf nogle foreslås som modeller af de mystiske forhold, der ligger til grund for vores fysiske verden. Lad os se på, hvordan disse ukendte tal er forankret i de tal, vi kender, men på samme tid er i modsætning til noget, vi har forestillet os.
De “reelle tal” er nogle af vores mest kendte matematiske objekter: De er alle tal, der kan være repræsenteret i decimal notation, som 5, 8.2, -13.712, 0, 10.33333… og $latex \pi \ca$ 3.141592…., Vi kan tilføje, trække fra, multiplicere og opdele reelle tal, og vi bruger dem til at besvare spørgsmål både i klasseværelser og i vores hverdag. Men de reelle tal er ikke nok til at løse alle vores matematiske problemer.
i 1500-tallet forsøgte master e .uation solver Girolamo Cardano at løse polynomielle ligninger. Han havde ingen problemer med at løse ligninger som $latex x^2-8x+12=0 $, fordi det var let at finde to tal, hvis sum var 8, og hvis produktet var 12: nemlig, 2 og 6., Dette betød $late.2^2-8.+12$ kunne indregnes som $late. (2-2) (.-6)$, og at udtrykke dette polynom som et produkt af to faktorer, der gjorde det nemt at løse ligningen $late..^2-8.+12=0$.
men det var ikke så nemt at gøre dette for ligninger som $late.2^2-3.+10=0$. At finde to tal, der tilføjer til 3 og formere sig til 10, synes en umulig udfordring. Hvis produktet af de to tal er positivt, skal de have det samme tegn, og da deres sum er positiv, betyder det, at de begge skal være positive., Men hvis to positive tal tilføje op til 3, de skal begge være mindre end 3, hvilket betyder, at deres produkt vil være mindre end 3 3 3 = 9. Der ser ikke ud til at være en måde at få dette til at fungere på.
Cardano behandlede disse ikke-reelle eller “imaginære” tal tøvende og beskrev endda den aritmetiske han gjorde med dem som ubrugelig. Men han var overrasket over at finde, at de adlød mange af de samme regler, som reelle tal gør. Og selvom det tog et stykke tid, førte Cardanos tilbageholdende brug af $Late. \s .rt{-1}$ til udviklingen af de “komplekse tal”, en kraftig og produktiv udvidelse af de reelle tal.,
komplekse tal består af en reel del og en imaginær del. De har formen a + bi, hvor a og b begge er reelle tal og $late.I=\S .rt{-1}$, også kendt som den “imaginære enhed.”De kan virke underlige i starten, men vi finder hurtigt ud af, at vi kan tilføje, trække fra, multiplicere og opdele komplekse tal, ligesom vi gør med reelle tal.,
for At tilføje og trække komplekse tal, skal du bare kombinere de rigtige dele og imaginære dele, som dette:
(5 + 3i) + (2 + 8i) = (5 + 2) + (3 + 8)i = 7 + 11i
Dette svarer til at kombinere “som vilkår”, når du tilføjer polynomier sammen:
(3x + 2) + (5x + 7) = 8x + 9
Multiplikation af komplekse tal er færdig med at bruge den samme “fordelingsmæssige ejendom” vi bruger med reelle tal.,>= 10 + 2i
$latex \begin{align*}
&= 2 × (5 + i) + 3i × (5 + i)\\
&= 10+2i+15i+3i^2\\
&= 10+17i+3i^2
\end{align*}$
$latex \begin{align*}
(2+3i)\times(5+i) &= 10+17i+3i^2\\
&= 10+17i+3(-1)\\
&= 10+17i-3\\
&= 7+17i
\end{align*}$
Since we can write $latex 10+17i+3i^2$ in the form a + bi, we know it is indeed a complex number., Dette illustrerer egenskaben “lukning”: når du multiplicerer to komplekse tal, får du et andet komplekst tal. Du får ikke noget andet.multiplikation af komplekse tal er endda “kommutativ”: dette betyder, at når du multiplicerer to komplekse tal i begge rækkefølge, er resultatet det samme. For eksempel, kan du kontrollere, at (5 + i) × (2 + 3i) = 7 + 17jeg giver. Vi tager ofte for givet, at multiplikation af reelle tal er kommutativ — for eksempel, at 5 × 4 = 4 × 5 — men som vi skal se senere, er det vigtigt, at virkeligheden ikke holde til hvert nummer system.,
så vi kan multiplicere komplekse tal, men hvordan deler vi dem? Nøglen er at forstå forholdet mellem division og multiplikation.
Jeg fortæller ofte eleverne, at der ikke er noget som division: der er kun multiplikation med den gensidige. Når vi ser udtrykket $latex \frac{10}{2}$, vi normalt tænker “10 divideret med 2,” men vi kan også tænke på dette som $latex 10\times\frac{1}{2}$, eller “10 ganget med den reciprokke af 2.,”
Nu kan det virke som en unødigt kompliceret tilgang til division, men det betaler sig, når du begynder at tænke på numre som$latex \frac{1}{jeg}$. Betydningen af “1 divideret med i” er muligvis ikke umiddelbart klar, men “det gensidige af i” er det nummer, du multiplicerer med i for at få 1. Og det kan være lidt overraskende, at dette nummer er-jeg!,
jeg × (–i) = – (jeg × jeg) = – (-1) = 1
ved Hjælp af det faktum, at jeg × i = -1, og nogle andre vigtige egenskaber for reelle og komplekse tal (i, lad os bringe den negative log ud foran udtryk), ser vi, at jeg × (–i) = 1, og så –har jeg virkelig er den reciprokke af jeg. Dette betyder, at hvis vi nogensinde ønsker at dele en række af jeg, vi bare kan gange det med –jeg i stedet.
for andre komplekse tal kan aritmetikken blive lidt sværere, men den gensidige ID.fungerer stadig., For eksempel for at beregne $ late. \ frac{1+2i}{3+4i}$ skal vi finde den gensidige af 3 + 4i, og for at gøre det bruger vi et trick, der involverer “konjugatet” af et komplekst tal — det vil sige det nummer, du får, når du skifter tegn på dets imaginære del.
Bemærk hvad der sker, når vi multiplicerer det komplekse nummer 3 + 4i med dets konjugat 3 – 4i., That is, $latex (3+4i)\times(3-4i)$:
$latex \begin{align*}
&= 3\times(3-4i)+4i\times(3-4i)\\
&=3\times 3-3\times 4i+4i\times 3-4i\times 4i\\
&= 9-12i+12i-16i^2\\
&= 9-16i^2\\
&= 9+16\\
&= 25
\end{align*}$
This property of conjugates helps us compute the reciprocal of any complex number., vi divider begge sider af ligningen med 25 og gøre nogle algebra:
$latex (3+4i) \gange (3-4i)=25$
$latex \frac{(3+4i) \gange (3-4i)}{25}=\frac{25}{25}$
$latex \frac{(3+4i) \gange (3-4i)}{25}=1$
$latex (3+4i) \times \frac{(3-4i)}{25}=1$
$latex \frac{1+2i}{3+4i}=(1+2i)\times\frac{(3-4i)}{25}=\frac{11+2i}{25}$
indførelsen af en ny ikke-reelt tal — jeg, den imaginære enhed — lanceret en helt ny matematisk verden at udforske., Det er en mærkelig verden, hvor firkanter kan være negative, men en, hvis struktur ligner meget de reelle tal, vi er så fortrolige med. Og denne udvidelse til de reelle tal var kun begyndelsen.
I 1843, William Rowan Hamilton forestillede sig en verden, hvor der var mange forskellige “imaginære enheder,” og i den forbindelse opdagede quaternions. Den quaternions er struktureret som de komplekse tal, men med yderligere kvadratrødder af -1, hvor Hamilton kaldet j og k. Hver quaternion har form a + bi + cj +dk, hvor a, b, c og d er reelle tal, og $latex i^2=j^2=k^2=-1$., Du tror måske, at nogen kan opfinde et nyt talesystem, men det er vigtigt at spørge, om det vil have de strukturer og egenskaber, vi ønsker. For eksempel vil systemet blive lukket under multiplikation? Vil vi være i stand til at opdele?
for At sikre den quaternions havde disse egenskaber, Hamilton var nødt til at finde ud af, hvad de skal gøre, om jeg × j. Alle quaternions nødt til at se som a + bi + cj +dk, og jeg × j ikke. Vi løb ind i et lignende problem, når vi først ganget to komplekse tal: Vores første resultat var en jeg × jeg sigt i det, som ikke synes at passe., Heldigvis kunne vi bruge det faktum, at $ late.i^2=-1$ for at sætte nummeret i sin rette form. Men hvad kan der gøres med i j j?
Hamilton selv kæmpede med at forstå dette produkt, og når det øjeblik af inspiration endelig kom, han skåret hans indsigt i sten af den bro, han var ved at krydse:
$latex i^2=j^2=k^2=i\times j\times k=-1$
Folk fra hele verden stadig besøge Broome Bridge i Dublin at få del i dette øjeblik af matematiske opdagelse.,Hamiltons berømte forhold mellem de imaginære enheder i, j og k giver os mulighed for at formere og opdele kvaternioner og få de resultater, vi mest forventer. Lad os se, hvordan dette løser spørgsmålet om, hvad i j j skal være.
begyndende med i j j.k = -1 multiplicerer vi begge sider af ligningen (på deres højre side) med k og forenkler.
fra Hamiltons forhold ser vi, at i .j = k., Her bruger vi det faktum, at k = k = -1 sammen med andre egenskaber, herunder den “associative egenskab” af multiplikation, som siger, at når du multiplicerer mere end to ting sammen, kan du vælge hvilket par der skal formere sig først. Dette er en anden ejendom, vi tager for givet med de reelle tal — for eksempel, (2 × 3) × 10 = 2 × (3 × 10) — og som med kommutativitet vil vi se, at det ikke altid holder for hvert talesystem.,
De andre produkter, der kan være udledt på en lignende måde, og så får vi en lille tabel med imaginære enheder, der ligner denne:
jeg × j = k j × k = i, k × i = j
j × i = –k × j = –i i × k = –j
Disse quaternion multiplikation regler, der kan være repræsenteret i følgende diagram:
Her, at bevæge sig rundt i cirkel i retning af pilene giver dig det rette produkt (i × j = k), og bevæger sig i den modsatte retning introducerer en faktor -1 (ex. j i i = –k)., Bemærk Dette betyder, at i modsætning til de reelle og komplekse tal er multiplikation af kvaternioner ikke kommutativ. (Det er derfor, vi var nødt til at formere begge sider af ligningen i j j.k = -1 ovenfor ved k på deres højre side.) At multiplicere to kvaternioner i forskellige ordrer kan give forskellige resultater!
$late.I\gange j=k\ne.-k=j\gange i$
for at få den slags struktur, vi ønsker i kvaternionerne, er vi nødt til at opgive kommutativiteten af multiplikation., Dette er et reelt tab: kommutativitet er en slags algebraisk symmetri, og symmetri er altid en nyttig egenskab i matematiske strukturer. Men med disse forhold på plads får vi et system, hvor vi kan tilføje, trække fra, formere og opdele meget, som vi gjorde med komplekse tal.
for at tilføje og trække kvaternioner indsamler vi lignende udtryk som før. For at multiplicere bruger vi stadig distributivegenskaben: det kræver bare lidt mere distribution., Og for at opdele kvaternioner bruger vi stadig ideen om konjugatet til at finde det gensidige, for ligesom med komplekse tal er produktet af enhver kvaternion med dets konjugat et reelt tal.
$latex (a+bi+cj+dk)\times a-bi-cj-dk)=$
$latexa^2+b^2+c^2+u^2$
$latex \frac{1}{1+i+j+k}=\frac{1-i-j-k}{4}$
Således quaternions er en udvidelse af de komplekse tal, hvor vi kan lægge sammen, trække fra, gange og dividere., Og ligesom de komplekse tal er kvaternionerne overraskende nyttige: de kan bruges til at modellere rotationen af tredimensionelt rum, hvilket gør dem uvurderlige i gengivelse af digitale landskaber og sfærisk video og i positionering og orientering af objekter som rumskibe og mobiltelefoner i vores tredimensionelle verden.
Disse udvidelser ud over de reelle tal fortsætter stadig med otte-dimensionelle octonions, en endnu fremmed nummer system opdaget af Hamilton ‘ s kolleger, der har syv imaginære enheder., Ligesom i alle de andre talsystemer, vi har set, kan du tilføje, trække fra, multiplicere og opdele octonions. Og ligesom med kvaternionerne har vi brug for nogle særlige regler for at styre, hvordan man multiplicerer alle de imaginære enheder. Her er de repræsenteret grafisk i et diagram kendt som”Fano-flyet”:
som i repræsentationen for kvaternionerne giver multiplicering langs pilens retning et positivt produkt, og mod pilen giver en negativ.
ligesom kvaternionerne er octonion-multiplikation ikke kommutativ., Men at udvide vores ID.om nummer ud til octonions koster os associativitet af multiplikation samt. Når man multiplicerer tre octonioner., y og z, er det ikke nødvendigvis sandt, at (y y Y).==.. (y.)). For eksempel, ved hjælp af diagrammet ovenfor, kan vi se, at
$latex (e_{3}\times e_{4})\gange e_{1}=e_{6}\times e_{1}=e_{5}$
men
$latex e_{3}\gange(e_{4}\times e_{1})=e_{3}\times e_{2}=-e_{5}$
Så nu har vi en række system med ikke-commutatitve, non-associativ multiplikation og syv kvadratrødder af -1., Hvornår ville nogen nogensinde bruge det? Nogle fysikere mener, at octonions kan have nøglen til at beskrive, hvordan de stærke, svage og elektromagnetiske kræfter virker på kvarker, leptoner og deres antipartikler. Hvis det er sandt, kan dette hjælpe med at løse et af de store mysterier i moderne fysik.
ved gentagne gange at udvide de reelle tal for at skabe større systemer — de komplekse tal, kvaternionerne, octonionerne — hvor vi kan tilføje, trække, multiplicere og opdele, mister vi lidt kendskab til hvert trin. Undervejs kan vi også miste kontakten med det, vi synes om som ægte., Men hvad vi får, er nye måder at tænke på verden. Og det kan vi altid bruge til.
øvelser
1. Vi skabte de komplekse tal ved at definere i, så $late.i^2=-1$. Kan du finde et komplekst tal such sådan at $ late?^ ^ 2=jeg$?
tip: Lad = = a + bi og firkantet det. Under hvilke betingelser på a og b ville dette være lig med i?
2. Lad $late.= = \frac{1}{2}+\frac{\s .rt{3}}{2}jeg$. Vis at $late.^ ^ 3=-1$. Kan du finde de to andre terning rødder -1?
do .nload PDF-grafikken “fire specielle talesystemer”, som du kan dele med studerende.,
korrektion tilføjet Oktober. 26: Williamilliam ro .an Hamiltons mellemnavn blev stavet forkert som “Rohan” i det oprindelige indlæg af denne artikel.
Leave a Reply