előfordult már, hogy egy matematikai osztályban ültél, és azon tűnődtél: “mikor fogom ezt valaha is használni?”Lehet, hogy feltette magának ezt a kérdést, amikor először találkozott “képzeletbeli” számokkal, jó okkal: mi lehet kevésbé praktikus, mint egy képzeletbeli szám?
de a képzeletbeli számok, valamint az általuk definiált összetett számok hihetetlenül hasznosnak bizonyulnak. A fizika, a mérnöki tudományok, a számelmélet és a geometria területén is nagy hatást fejtenek ki., Ezek az első lépések a furcsa számrendszerek világába, amelyek közül néhányat a fizikai világunk mögött rejlő titokzatos kapcsolatok modelljeként javasolnak. Vessünk egy pillantást arra, hogy ezek az ismeretlen számok gyökereznek az általunk ismert számokban, de ugyanakkor ellentétben állnak azzal, amit elképzeltünk.
a “valós számok” a legismertebb matematikai objektumaink: ezek mind azok a számok, amelyeket tizedes jelöléssel lehet ábrázolni, például 5, 8.2, -13.712, 0, 10.33333… és $ latex \ pi \ kb.$ 3.141592…., Összeadhatjuk, kivonhatjuk, megsokszorozhatjuk és megoszthatjuk a valós számokat, és felhasználhatjuk őket a kérdések megválaszolására mind az osztálytermekben, mind a mindennapi életünkben. De a valós számok nem elegendőek az összes matematikai problémánk megoldásához.
az 1500-as években a főegyenlet megoldója, Girolamo Cardano megpróbálta megoldani a polinom egyenleteket. Nem volt gondja olyan egyenletek megoldásával, mint a $latex x^2-8x + 12=0 $, mert könnyű volt megtalálni két számot, amelynek összege 8 volt, és amelynek terméke 12: nevezetesen 2 és 6., Ez azt jelentette, $latex x^2-8x+12$ lehet venni, mint $latex (x-2)(x-6)$, továbbá jelezte, hogy ez a polinom, mint egy termék két tényező tette megoldása az egyenletnek $latex x^2-8x+12=0$ könnyű.
de ez nem volt olyan egyszerű, hogy ezt az egyenleteket, mint $latex x^2-3x+10=0$. Lehetetlen kihívásnak tűnik két szám megtalálása, amelyek hozzáadják a 3-at, és szorozzák a 10-et. Ha a két szám szorzata pozitív, akkor ugyanannak a jelnek kell lennie, és mivel összegük pozitív, ez azt jelenti, hogy mindkettőnek pozitívnak kell lennie., De ha két pozitív szám legfeljebb 3, akkor mindkettőnek kevesebbnek kell lennie, mint 3, ami azt jelenti, hogy termékük kevesebb lesz, mint 3 × 3 = 9. Úgy tűnik, nincs mód arra, hogy ez működjön.
Cardano ezeket a nem valós, vagy “képzeletbeli” számokat tétovázóan kezelte, még akkor is, ha a velük végzett aritmetikát haszontalannak írta le. De meglepődve tapasztalta, hogy ugyanazokat a szabályokat követik, mint a valódi számok. És bár eltartott egy ideig, Cardano vonakodó használata $ latex \ sqrt{-1}$ vezetett a fejlesztés a “komplex számok”, egy erős és produktív kiterjesztése a valós számok.,
a komplex számok egy valós és egy képzeletbeli részből állnak. Az a + bi formájuk van, ahol az A és b mind valós számok, mind a $latex i=\sqrt{-1}$, más néven “képzeletbeli egység.”Először furcsának tűnhetnek, de gyorsan rájövünk, hogy összeadhatjuk, kivonhatjuk, megszorozhatjuk és megoszthatjuk a komplex számokat, ahogy a valós számokkal is.,
hozzá, majd vonjuk komplex számok, csak össze az igazi alkatrészek, illetve a képzeletbeli alkatrészek, így:
(5 + 3i) + (2 + 8i) = (5 + 2) + (3 + 8)i = 7 + 11azt
Ez hasonló ötvözi “kifejezések, mint” ha hozzá polinomok együtt:
(3x + 2) + (5 + 7) = 8x + 9
Szorzás a komplex számok segítségével történik ugyanaz a “kereskedelmi ingatlan” használjuk a valós számok.,>= 10 + 2i
$latex \begin{align*}
&= 2 × (5 + i) + 3i × (5 + i)\\
&= 10+2i+15i+3i^2\\
&= 10+17i+3i^2
\end{align*}$
$latex \begin{align*}
(2+3i)\times(5+i) &= 10+17i+3i^2\\
&= 10+17i+3(-1)\\
&= 10+17i-3\\
&= 7+17i
\end{align*}$
Since we can write $latex 10+17i+3i^2$ in the form a + bi, we know it is indeed a complex number., Ez szemlélteti a “Bezárás” tulajdonságát: ha két összetett számot szaporít, akkor egy másik összetett számot kap. Nem kapsz mást.
a komplex számok szorzása még “kommutatív” is: ez azt jelenti, hogy ha két összetett számot mindkét sorrendben megszorozunk, az eredmény ugyanaz. Például ellenőrizheti, hogy (5 + i) × (2 + 3i) = 7 + 17i. gyakran magától értetődőnek vesszük, hogy a valós számok sokszorosítása kommutatív — például, hogy 5 × 4 = 4 × 5 — de amint később látni fogjuk, ez a fontos tény nem minden számrendszerre vonatkozik.,
így komplex számokat tudunk szaporítani, de hogyan osztjuk meg őket? A kulcs Az osztás és a szorzás közötti kapcsolat megértése.
gyakran mondom a hallgatóknak, hogy nincs olyan dolog, mint a felosztás: csak a kölcsönös szorzás van. Amikor a $latex \frac{10}{2}$ kifejezést látjuk, általában azt gondoljuk, hogy” 10 osztva 2-vel”, de ezt úgy is gondolhatjuk, mint $latex 10 \ times \ frac{1}{2}$, vagy ” 10 szorozva a 2 reciprokjával.,”
most ez szükségtelenül bonyolult megközelítésnek tűnhet a megosztáshoz, de kifizetődik, amikor olyan számokra gondol, mint a$latex \frac{1}{i}$. Az “1 osztva i-vel” jelentése nem lehet azonnal világos, de az “I kölcsönös” az a szám, amelyet szorozol velem, hogy 1-et kapj. És lehet, hogy egy kicsit meglepő, hogy ez a szám-én!,
i × (–i) = (i × i) = – (-1) = 1
Az a tény, hogy én × i = -1, valamint néhány egyéb fontos tulajdonságok valós, komplex számok (hogy engedje meg a negatív jel előtt a kifejezés), azt látjuk, hogy én × (–i) = 1, ezért –tényleg a kölcsönös én. Ez azt jelenti, hogy ha valaha szeretné osztani egy számot, amelyet nekünk kell szorozni –én helyette.
más összetett számok esetében az aritmetika kissé nehezebb lehet, de a kölcsönös ötlet továbbra is működik., Például, hogy kiszámolja $latex \frac{1+2i}{3+4i}$ meg kell találni a kölcsönös 3 + 4i, illetve az, hogy ezt fogjuk használni egy trükk, amelynek a “ragozni” egy komplex szám — ez a szám kapunk, ha a kapcsolót a jele, hogy a képzetes rész.
figyeljük meg, mi történik, ha a 3 + 4i komplex számot megszorozzuk a 3 – 4i konjugátumával., That is, $latex (3+4i)\times(3-4i)$:
$latex \begin{align*}
&= 3\times(3-4i)+4i\times(3-4i)\\
&=3\times 3-3\times 4i+4i\times 3-4i\times 4i\\
&= 9-12i+12i-16i^2\\
&= 9-16i^2\\
&= 9+16\\
&= 25
\end{align*}$
This property of conjugates helps us compute the reciprocal of any complex number., mi szakadék mindkét oldalán az egyenlet 25 egy algebra:
$latex (3+4i) \times (3-4i)=25$
$latex \frac{(3+4i) \times (3-4i)}{25}=\frac{25}{25}$
$latex \frac{(3+4i) \times (3-4i)}{25}=1$
$latex (3+4i) \times \frac{(3-4i)}{25}=1$
$latex \frac{1+2i}{3+4i}=(1+2i)\times\frac{(3-4i)}{25}=\frac{11+2i}{25}$
A bevezetése, egy új, nem-valós szám — én, az imaginárius egység — elindított egy teljesen új matematikai világot felfedezni., Ez egy furcsa világ, ahol a négyzetek negatívak lehetnek, de az egyik, amelynek szerkezete nagyon hasonlít a valódi számokhoz, amelyeket annyira ismerünk. A valós számok kiterjesztése pedig csak a kezdet volt.
1843-ban William Rowan Hamilton elképzelt egy olyan világot, amelyben sok különálló “képzeletbeli egység” volt, és ezzel felfedezte a kvaterniókat. A quaternions vagy strukturált, mint a komplex számok, de további tér gyökerei -1, amely Hamilton nevű j illetve k. Minden kvaternió a formája a + bi + cj +dk, ahol a, b, c, d valós számok, $latex én^2=j^2=k^2=-1$., Lehet, hogy bárki kitalálhat egy új számrendszert, de fontos megkérdezni, hogy lesz-e olyan struktúrája és tulajdonságai, amelyeket akarunk. Például, a rendszer bezáródik szorzás alatt? Képesek leszünk megosztani?
biztosítása quaternions volt, ezek a tulajdonságok, Hamilton volt, hogy kitaláljuk, mi legyen i × j. Minden quaternions kell kinézned, mint a + bi + cj +dk, valamint i × j nem. Összefutottunk egy hasonló probléma, amikor először meg kell szorozni a két komplex számok: A kezdeti eredmény volt egy i × i kifejezés, ami nem illik., Szerencsére, tudtuk használni azt a tényt, hogy $latex i^2 = -1$, hogy a szám a megfelelő formában. De mit lehet tenni az I × j – vel?
Hamilton magát, küzdött, hogy megértsük ezt a terméket, amikor a pillanatnyi ihlet végre megérkezett, ő faragta a betekintést a kő a hidat volt átkelés:
$latex én^2=j^2=k^2=i\ – szer j\alkalommal k=-1$
az Emberek az egész világon még mindig látogasson el Broome-Híd Dublinban megosztani ebben a pillanatban a matematikai felfedezés.,
Hamilton híres kapcsolata az I, j és k képzeletbeli egységek között lehetővé teszi a kvaternionok szaporodását és megosztását, valamint a leginkább várt eredmények elérését. Lássuk, hogyan oldja meg ezt a kérdést, hogy mi legyen az I × j.
kezdve i × j × k = -1, szorozzuk mindkét oldalán az egyenlet (a jobb oldalon) k egyszerűsítése.
Hamilton kapcsolatából azt látjuk, hogy I × j = k ., Itt használjuk azt a tényt, hogy k × k = -1 más tulajdonságokkal együtt, beleértve a szorzás “asszociatív tulajdonságát”, amely azt mondja, hogy ha több mint két dolgot megszorozunk, akkor kiválaszthatja, hogy melyik pár szaporodik először. Ez egy másik tulajdonság, amelyet magától értetődőnek veszünk a valós számokkal — például, (2 × 3) × 10 = 2 × (3 × 10) — és mint a kommutativitásnál, azt is látni fogjuk, hogy nem minden számrendszernél tart.,
A másik termékek származó hasonló módon, így kapunk egy szorzótábla a képzetes egység, ami így néz ki:
i × j = k j × k = k × i = j
j × i = –k k × j = –i × k = –j
Ezek a kvaternió szorzás szabályai is képviselteti magát a következő diagram:
Itt mozog a kör irányát a nyilak segítségével adja meg a megfelelő termék (i × j = k), s éppen az ellenkező irányba vezet be tényező -1 (ex. j × i = – k)., Ez azt jelenti, hogy a valós és összetett számokkal ellentétben a kvaterniók szorzata nem kommutatív. (Ezért kellett a fenti I × j × K = -1 egyenlet mindkét oldalát K-val szorozni a jobb oldalukon.) A két kvaterniók szorzása különböző sorrendben eltérő eredményeket hozhat!
$latex i\times j=K\neq-k=j\times i$
ahhoz, hogy megkapjuk azt a struktúrát, amelyet a kvaterniókban akarunk, el kell hagynunk a szorzás commutativitását., Ez egy igazi veszteség: a kommutativitás egyfajta algebrai szimmetria, a szimmetria pedig mindig hasznos tulajdonság a matematikai struktúrákban. De ha ezek a kapcsolatok a helyükön vannak, akkor olyan rendszert nyerünk, amelyben összeadhatjuk, kivonhatjuk, megsokszorozhatjuk és megoszthatjuk azt, amit komplex számokkal csináltunk.
a kvaterniók hozzáadásához és kivonásához hasonló kifejezéseket gyűjtünk, mint korábban. A szaporodáshoz továbbra is az elosztó tulajdonságot használjuk: csak egy kicsit több terjesztést igényel., A kvaterniók felosztásához még mindig a konjugátum ötletét használjuk a kölcsönös megtalálására, mert ugyanúgy, mint a komplex számoknál, a kvaternion konjugátumának terméke valódi szám.
$latex (a+bi+cj+dk)\times(a-bi-cj-dk)=$
$latexa^2+b^2+c^2+d^2$
$latex \frac{1}{1+i+j+k}=\frac{1-i-j-k}{4}$
Így a quaternions kiterjesztése a komplex számok, ahol hozzá tudunk adni, kivonni, szorozni illetve osztani., Pedig, mint a komplex számok, a quaternions meglepően hasznos: hogy lehet használni, hogy a modell a forgatás három-dimenziós térben, ami számukra felbecsülhetetlen a renderelés digitális tájak, gömb alakú videó elhelyezése, valamint tájolása tárgyak, mint az űrhajók pedig mobilok a háromdimenziós világban.
Ezek a kiterjesztések túl a valós számok továbbra is még a nyolc-dimenziós octonions, egy még furcsább száma rendszer által felfedezett Hamilton kollégák, hogy hét képzetes egység., Csakúgy, mint az összes többi számrendszerben, amit láttunk, összeadhatjuk, kivonhatjuk, megszorozhatjuk és megoszthatjuk az oktonionokat. Csakúgy, mint a kvaternereknél, szükségünk van néhány speciális szabályra, hogy szabályozzuk, hogyan kell megszorozni az összes képzeletbeli egységet. Itt vannak grafikusan ábrázolva egy “Fano sík” néven ismert diagramban:
mint a kvaterniók ábrázolásában, a nyíl iránya mentén megszorozva pozitív terméket ad, a nyíl ellen pedig negatív.
a kvaternerekhez hasonlóan az oktonion-szorzás sem kommutatív., De ha kiterjesztjük a szám fogalmát az oktonionokra, az a szorzás asszociativitásával is jár. Három oktonion X, y és z szorzásakor nem feltétlenül igaz, hogy (x × y) × z = x × (y × z). Például a fenti ábra segítségével láthatjuk, hogy
$latex (e_{3}\times e_{4})\times e_{1}=e_{6}\times e_{1}=e_{5}$
de
$latex e_{3}\times(e_{4}\times e_{1})=e_{3}\times e_{2}=-e_{5}$
tehát most van egy számrendszerünk nem kommutatív, nem asszociatív szorzással és -1 hét négyzetgyökével., Mikor használná ezt bárki is? Egyes fizikusok úgy vélik, hogy az oktonionok kulcsfontosságúak lehetnek annak leírásában, hogy az erős, gyenge és elektromágneses erők hogyan hatnak a kvarkokra, a leptonokra és az anti-részecskékre. Ha igaz, ez segíthet megoldani a modern fizika egyik nagy rejtélyét.
a valós számok többszöri kiterjesztésével nagyobb rendszereket hozunk létre — a komplex számokat, a kvaterniókat, az oktonionokat—, amelyekben összeadhatjuk, kivonhatjuk, megszorozhatjuk és megoszthatjuk, elveszítünk egy kis ismeretet minden lépésnél. Útközben elveszíthetjük a kapcsolatot azzal is, amit valóságosnak gondolunk., De amit nyerünk, az új gondolkodásmód a világról. És erre mindig találunk megoldást.
gyakorlatok
1. Létrehoztuk a komplex számok meghatározásával i úgy, hogy $latex i^2 = -1$. Talál egy komplex z számot, hogy $latex z^2=i$?
Hint: Let z = a + bi és négyzet. Milyen feltételek mellett lenne ez egyenlő az A és b-vel?
2. Legyen $latex z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$. Mutasd meg, hogy $latex z^3 = -1$. Meg tudja találni a másik két kocka gyökerei -1?
töltse le a “négy speciális számrendszer” PDF grafikát, hogy megosszák a hallgatókkal.,
korrekció hozzáadott október. 26: William Rowan Hamilton középső nevét tévesen “Rohan” – ként írták a cikk eredeti bejegyzésében.
Leave a Reply