przy obliczaniu rozszerzalności cieplnej konieczne jest rozważenie, czy ciało może się swobodnie rozszerzać, czy jest ograniczone. Jeśli ciało może się swobodnie rozszerzać, rozszerzalność lub odkształcenie wynikające ze wzrostu temperatury można po prostu obliczyć za pomocą odpowiedniego współczynnika rozszerzalności cieplnej.
Jeśli ciało jest ograniczone tak, że nie może się rozwinąć, to naprężenia wewnętrzne zostaną spowodowane (lub zmienione) przez zmianę temperatury., Naprężenie to można obliczyć, biorąc pod uwagę odkształcenie, które wystąpiłoby, gdyby ciało mogło się swobodnie rozszerzać i stres wymagany do zmniejszenia tego odkształcenia do zera, poprzez zależność naprężenie / odkształcenie charakteryzujące się modułem sprężystości lub Younga. W szczególnym przypadku materiałów stałych, zewnętrzne ciśnienie otoczenia zwykle nie wpływa znacząco na wielkość obiektu, a więc zazwyczaj nie jest konieczne uwzględnienie wpływu zmian ciśnienia.,
popularne ciała stałe mają zwykle współczynniki rozszerzalności cieplnej, które nie różnią się znacząco w zakresie temperatur, w których są przeznaczone do stosowania, więc tam, gdzie nie jest wymagana bardzo wysoka dokładność, praktyczne obliczenia mogą być oparte na stałej, średniej wartości współczynnika rozszerzalności.
rozszerzenie liniowe
zmiana długości pręta spowodowana rozszerzalnością cieplną.
ekspansja liniowa oznacza zmianę jednego wymiaru (długości) w przeciwieństwie do zmiany objętości (ekspansji wolumetrycznej).,Dla pierwszego przybliżenia, zmiana w pomiarach długości obiektu spowodowana rozszerzalnością cieplną jest związana ze zmianą temperatury przez współczynnik liniowej rozszerzalności cieplnej (CLTE). Jest to ułamkowa zmiana długości na stopień zmiany temperatury. Zakładając znikomy wpływ ciśnienia, możemy napisać:
α l = 1 L d L D T {\displaystyle \ alpha _{l}={\frac {1} {L}}\, {\frac{dL} {dT}}}
Gdzie L {\displaystyle l} jest miarą długości, A d L / d T {\displaystyle dL/dT} jest szybkością zmiany tego wymiaru liniowego na jednostkową zmianę temperatury.,
zmianę wymiaru liniowego można oszacować następująco:
Δ l l = α l Δ t {\displaystyle {\frac {\Delta L} {L}}= \ alpha _{L} \ Delta T}
ta estymacja działa dobrze, o ile współczynnik rozszerzalności liniowej nie zmienia się znacznie w czasie zmiany temperatury Δ t {\displaystyle \ Delta T} , A ułamkowa zmiana długości jest mała Δ l / l ≪ 1 {\displaystyle \Delta L / L \ ll 1}. Jeśli jeden z tych warunków nie jest spełniony, musi zostać spełnione równanie różniczkowe (używając d L / D T {\displaystyle D/dT}).,ted by:
ϵ t h e r m A l = α l Δ t {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermal} }=\alpha _{L}\Delta T}
gdzie
Δ T = ( T F I N A L − T I n I t i A l ) {\displaystyle \Delta T=(t_{\mathrm {final} }-t_{\mathrm {initial} })}
jest różnicą temperatury pomiędzy dwa zarejestrowane szczepy, mierzone w stopniach Fahrenheita, stopniach Rankine, stopniach Celsjusza lub kelvinach, a α l {\displaystyle \Alpha _{L}} to liniowy współczynnik rozszerzalności cieplnej w „na stopień Fahrenheita”, „na stopień Rankine”, „na stopień Celsjusza” lub „na Kelvin”, oznaczany odpowiednio przez °F−1, R−1, °C−1 lub k−1., W dziedzinie mechaniki continuum rozszerzalność cieplna i jej efekty są traktowane jako eigenstrain i eigenstress.
rozszerzenie Obszarówedytuj
współczynnik rozszerzalności cieplnej powierzchni odnosi się do zmiany wymiarów powierzchni materiału do zmiany temperatury. Jest to ułamkowa zmiana powierzchni na stopień zmiany temperatury., Ignorując ciśnienie, możemy napisać:
α a = 1 A d A D T {\displaystyle \alpha _{a}={\frac {1}{a}}\,{\frac {dA}{dT}}}
Gdzie A {\displaystyle A} jest pewnym obszarem zainteresowania obiektu, A d A/d t {\displaystyle dA / dT} jest szybkością zmiany tego obszaru na jednostkową zmianę temperatury.,
zmianę powierzchni można oszacować jako:
Δ a a = α a Δ t {\displaystyle {\frac {\Delta A} {A}}= \ alpha _{A} \ Delta T}
równanie to działa dobrze, o ile współczynnik rozszerzalności powierzchni nie zmienia się znacznie w czasie zmiany temperatury Δ t {\displaystyle \Delta T} , A ułamkowa zmiana powierzchni jest mała Δ a / a ≪ 1 {\displaystyle \Delta A/A\ll 1} . Jeżeli którykolwiek z tych warunków nie spełnia, równanie musi być całkowane.,
rozszerzenie Objętościedytuj
dla ciała stałego możemy zignorować wpływ ciśnienia na materiał, a objętościowy współczynnik rozszerzalności cieplnej można zapisać:
α V = 1 V D V D T {\displaystyle \alpha _{v}={\frac {1}{V}}\, {\frac {dV}{dT}}}
Gdzie V {\displaystyle V} jest objętością materiału, a d v/d T {\displaystyle {\displaystyle dv / dt} to szybkość zmian tej objętości w stosunku do temperatury.
oznacza to, że objętość materiału zmienia się o pewną stałą wartość ułamkową. Na przykład blok stalowy o objętości 1 metra sześciennego może rozwinąć się do 1.,002 metrów sześciennych, gdy temperatura wzrasta o 50 K. Jest to wzrost o 0,2%. Gdybyśmy mieli blok stali o objętości 2 metrów sześciennych, to w tych samych warunkach rozszerzyłby się do 2,004 metrów sześciennych, ponownie rozszerzając się o 0,2%. Współczynnik rozszerzalności objętościowej wynosiłby 0,2% dla 50 K lub 0,004% K-1.,
jeśli znamy już współczynnik rozszerzalności, to możemy obliczyć zmianę objętości
Δ v v = α v Δ t {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\alpha _{v}\Delta T}
powyższy przykład zakłada, że współczynnik rozszerzalności nie zmienił się wraz ze zmianą temperatury, a wzrost objętości jest niewielki w porównaniu do objętości pierwotnej. Nie zawsze jest to prawdą, ale dla małych zmian temperatury jest to dobre przybliżenie.,e należy zintegrować:
ln ( V + Δ V V ) = ∫ T i T F α V ( T ) d T {\displaystyle \LN \left({\frac {V+\Delta V}{V}}\right)=\int _{T_{i}}^{t_{f}}\alpha _{v}(t)\,dT} Δ v v = exp ( ∫ t i T F α V ( T ) D T ) − 1 {\displaystyle {\frac {\delta v}{v}}=\EXP \Left(\Int _{T_{i}}^{T_{f}}\Alpha _{v}(t)\,dt\right)-1}
materiały izotropoweedytuj
dla materiałów izotropowych współczynnik rozszerzalności cieplnej objętości jest trzykrotnie większy od współczynnika liniowego:
α V = 3 α l {\displaystyle \Alpha _{V}=3\Alpha _{L}}
stosunek ten powstaje, ponieważ objętość składa się z trzech wzajemnie ortogonalnych kierunków., Tak więc, w materiale izotropowym, dla małych zmian różnicowych, jedna trzecia rozszerzalności objętościowej znajduje się w jednej osi. Jako przykład, weźmy sześcian ze stali, który ma boki długości L. pierwotna objętość będzie wynosić V=L 3 {\displaystyle v = l^{3}}, a nowa objętość, po wzroście temperatury, będzie wynosić
V + Δ V = (L + Δ l ) 3 = L 3 + 3 L 2 Δ l + 3 L Δ l 2 + Δ l 3 ≈ L 3 + 3 L 2 Δ L = V + 3 V Δ l L . {\displaystyle V + \ Delta V=(L+\Delta L)^{3}=L^{3}+3L^{2}\Delta L+3L\Delta L^{2}+\Delta L^{3}\approx L^{3}+3L^{2}\Delta L=V+3V{\Delta l \over l}.,}
możemy łatwo zignorować terminy, ponieważ zmiana w L to niewielka ilość, która przy kwadraturze staje się znacznie mniejsza.
Tak
Δ V V = 3 Δ l L = 3 α l Δ t . {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=3{\Delta l \over L}=3\alpha _{L}\Delta T.}
powyższe przybliżenie utrzymuje się dla małych zmian temperatury i wymiarów (tj. gdy Δ t {\displaystyle \Delta T} i Δ L {\displaystyle \Delta L} są małe); ale nie utrzymuje się, jeśli próbujemy przejść tam iz powrotem między współczynnikami objętościowymi i liniowymi przy użyciu większych wartości Δ t {\displaystyle \Delta T} ., W takim przypadku należy wziąć pod uwagę trzeci termin (a czasami nawet czwarty) w powyższym wyrażeniu.
podobnie współczynnik rozszerzalności cieplnej powierzchni jest dwukrotnie większy od współczynnika liniowego:
α a = 2 α l {\displaystyle \alpha _{a}=2\alpha _{l}}
współczynnik ten można znaleźć w sposób podobny do tego w powyższym przykładzie liniowym, zauważając, że powierzchnia powierzchni na sześcianie wynosi TYLKO L 2 {\displaystyle L^{2}} . Również te same rozważania muszą być wykonane przy radzeniu sobie z dużymi wartościami Δ t {\displaystyle \ Delta T} .,
mówiąc prościej, jeśli długość bryły rozszerza się z 1 m do 1,01 M, wówczas powierzchnia rozszerza się z 1 m2 do 1,0201 m2, a objętość z 1 m3 do 1,030301 m3.
materiały Anizotropoweedit
materiały o strukturach anizotropowych, takie jak kryształy (o symetrii mniejszej niż sześcienna, na przykład fazy martenzytyczne) i wiele kompozytów, na ogół mają różne współczynniki rozszerzalności liniowej α l {\displaystyle \alpha _{l}} w różnych kierunkach. W rezultacie całkowita rozszerzalność objętościowa jest rozłożona nierównomiernie między trzy osie., Jeśli symetria kryształu jest monokliniczna lub trikliniczna, nawet kąty między tymi osiami podlegają zmianom termicznym. W takich przypadkach konieczne jest potraktowanie współczynnika rozszerzalności cieplnej jako tensora z maksymalnie sześcioma niezależnymi elementami. Dobrym sposobem na określenie pierwiastków tensora jest zbadanie rozszerzalności za pomocą dyfrakcji proszkowej promieniowania rentgenowskiego. Tensor współczynnika rozszerzalności cieplnej dla materiałów posiadających symetrię sześcienną (np. FCC, BCC) jest izotropowy.
Leave a Reply