Thermische uitzetting

bij het berekenen van thermische uitzetting moet worden overwogen of het lichaam vrij is uit te breiden of beperkt is. Als het lichaam vrij is om uit te zetten, kan de uitzetting of spanning als gevolg van een temperatuurstijging eenvoudig worden berekend met behulp van de toepasselijke thermische uitzettingscoëfficiënt.

als het lichaam zo beperkt is dat het niet kan uitzetten, dan wordt interne stress veroorzaakt (of veranderd) door een verandering in temperatuur., Deze spanning kan worden berekend door rekening te houden met de spanning die zou optreden als het lichaam vrij zou zijn om uit te breiden en de stress die nodig is om die spanning tot nul te verminderen, door middel van de spanning/spanning relatie gekenmerkt door de elastische of Young ‘ s modulus. In het bijzondere geval van vaste materialen heeft de externe omgevingsdruk meestal geen merkbare invloed op de grootte van een object en is het daarom meestal niet nodig om rekening te houden met het effect van drukveranderingen.,

gemeenschappelijke technische vaste stoffen hebben gewoonlijk thermische uitzettingscoëfficiënten die niet significant variëren over het temperatuurbereik waar ze zijn ontworpen om te worden gebruikt, dus wanneer een extreem hoge nauwkeurigheid niet vereist is, kunnen praktische berekeningen worden gebaseerd op een constante, gemiddelde waarde van de uitzettingscoëfficiënt.

Lineaire expansiedit

lineaire expansie betekent verandering in één dimensie (lengte) in tegenstelling tot verandering in volume (volumetrische expansie).,Bij een eerste benadering is de verandering in lengtemetingen van een object als gevolg van thermische uitzetting gerelateerd aan temperatuurverandering door een lineaire thermische uitzettingscoëfficiënt (CLTE). Het is de fractionele verandering in lengte per graad van temperatuurverandering. Uitgaande van een verwaarloosbaar effect van druk kunnen we schrijven:

α L = 1 L d L D T {\displaystyle \alpha _{L}={\frac {1}{L}}\, {\frac {dL}{dT}}}

waarbij L {\displaystyle L} een bepaalde lengtemeting is en d L / d T {\displaystyle dL/dT} de veranderingssnelheid van die lineaire dimensie is per eenheids verandering in temperatuur.,

de verandering in de lineaire dimensie kan worden geschat op:

Δ L L = α L Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta L}{L}}=\alpha _{L}\Delta T}

deze schatting werkt goed zolang de lineaire uitzettingscoëfficiënt niet veel verandert ten opzichte van de verandering in temperatuur Δ T {\displaystyle \Delta T} , en de fractionele verandering in lengte klein is Δ L / L 1 1 {\displaystyle \Delta L/l\ll 1} . Als een van deze voorwaarden niet geldt, moet de exacte differentiaalvergelijking (D L / d T {\displaystyle dL/dT} ) worden geïntegreerd.,ted door:

ż t h e r m a l = α L Δ T {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermische} }=\alpha _{L}\Delta T}

waar

Δ T = ( T f i n a l − T i n i t i a l ) {\displaystyle \Delta T=(T_{\mathrm {final} }-T_{\mathrm {eerste} })}

is het verschil van de temperatuur tussen de twee opgenomen stammen, gemeten in graden Fahrenheit graden Rankine, graden Celsius of kelvin,en α L {\displaystyle \alpha _{L}} is de lineaire uitzettingscoëfficiënt in “per graad Fahrenheit”, “per graad Rankine”, “per graad Celsius” of “per kelvin”, aangeduid door °F−1, R−1, °C−1, K−1, respectievelijk., Op het gebied van continuümmechanica worden de thermische uitzetting en de effecten ervan behandeld als eigenstrein en eigenstress.

oppervlakte expansiedit

De thermische uitzettingscoëfficiënt van het gebied relateert de verandering in de oppervlakteafmetingen van een materiaal aan een verandering in temperatuur. Het is de fractionele verandering in oppervlakte per graad van temperatuurverandering., Als we de druk negeren, kunnen we schrijven:

α A = 1 A d A D T {\displaystyle\alpha _{a}={\frac {1}{A}}\, {\frac {dA}{dT}}}

waar A {\displaystyle A} een bepaald gebied van belang is op het object, en d A / d T {\displaystyle dA/dT} de veranderingssnelheid is van dat gebied per eenheid verandering in temperatuur.,

De verandering in het gebied kan worden geschat als:

Δ A A = α A Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta A}{A}}= \ alpha _{a} \ Delta T}

deze vergelijking werkt goed zolang de oppervlakte-uitbreidingscoëfficiënt niet veel verandert ten opzichte van de verandering in temperatuur Δ T {\displaystyle \Delta T} , en de fractionele verandering in het gebied is klein Δ a / a 1 1 {\displaystyle \Delta A/A\ll 1} . Als een van deze voorwaarden niet geldt, moet de vergelijking worden geïntegreerd.,

Volume expansionEdit

voor een vaste stof kunnen we de effecten van druk op het materiaal negeren, en de volumetrische thermische uitzettingscoëfficiënt kan worden geschreven:

α V = 1 V d V D T {\displaystyle \alpha _{v}={\frac {1}{v}}\, {\frac {dV}{dT}}}

waarbij V {\displaystyle V} het volume van het materiaal is, en d V / d t {\displaystyle Dv/dt} is de snelheid van verandering van dat volume met de temperatuur.

Dit betekent dat het volume van een materiaal verandert met een vaste fractionele hoeveelheid. Bijvoorbeeld, een stalen blok met een volume van 1 kubieke meter kan uitbreiden tot 1.,002 kubieke meter wanneer de temperatuur wordt verhoogd met 50 K. Dit is een expansie van 0,2%. Als we een blok staal hadden met een volume van 2 kubieke meter, dan zou het onder dezelfde omstandigheden uitbreiden tot 2.004 kubieke meter, opnieuw een uitbreiding van 0,2%. De volumetrische uitzettingscoëfficiënt zou 0,2% zijn voor 50 K, of 0,004% K-1.,

als we de expansiecoëfficiënt al kennen, dan kunnen we de volumeverandering berekenen

Δ V V = α V Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\alpha _{v}\Delta T}

het bovenstaande voorbeeld gaat ervan uit dat de expansiecoëfficiënt niet veranderde naarmate de temperatuur veranderde en de toename in volume klein is ten opzichte van het oorspronkelijke volume. Dit is niet altijd waar, maar voor kleine veranderingen in temperatuur is het een goede benadering.,e geïntegreerd worden:

ln ⁡ ( V + ∆ V ) = ∫ T i T f V α ( T ) d T {\displaystyle \ln \left({\frac {V+\Delta V}{V}}\right)=\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT} Δ V = exp ⁡ ( ∫ T i T f V α ( T ) d T ) − 1 {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\exp \left(\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\dT\right)-1}

Isotrope materialsEdit

Voor isotrope materialen de volumetrische thermische uitzettingscoëfficiënt is drie keer de lineaire coëfficiënt:

α V = 3 α L {\displaystyle \alpha _{V}=3\alpha _{L}}

Deze verhouding ontstaat omdat het volume bestaat uit drie onderling loodrechte richtingen., In een isotroop materiaal, voor kleine differentiële veranderingen, is een derde van de volumetrische expansie in een enkele as. Neem bijvoorbeeld een kubus van staal met zijden van lengte L. Het oorspronkelijke volume is V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}} en het nieuwe volume, na een temperatuurstijging, is

V + Δ V = ( L + Δ L ) 3 = L 3 + 3 L 2 Δ L + 3 L Δ L 2 + Δ L 3 ≈ L 3 + 3 L 2 Δ L = V + 3 V Δ L L . {\displaystyle V+ \ Delta V=(L+\Delta L)^{3}=L^{3}+3L^{2}\Delta L+3L\Delta L^{2}+\Delta l^{3}\approx L^{3}+3L^{2}\Delta L=V+3V{\Delta l \over L}.,}

We kunnen de termen gemakkelijk negeren omdat verandering in L een kleine hoeveelheid is die op squaring veel kleiner wordt.

So

Δ V V = 3 Δ L L = 3 α L Δ T . {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}} = 3 {\Delta l \ over L} = 3 \ alpha _{L} \ Delta T.}

de bovenstaande benadering geldt voor kleine temperatuur-en dimensionale veranderingen (dat wil zeggen wanneer Δ T {\displaystyle \ Delta T} en Δ L {\displaystyle \Delta L} klein zijn); maar het geldt niet als we proberen heen en weer te gaan tussen volumetrische en lineaire coëfficiënten met behulp van grotere waarden van Δ T {\displaystyle \Delta T} ., In dit geval moet de derde term (en soms zelfs de vierde term) in de uitdrukking hierboven in aanmerking worden genomen.

evenzo is de oppervlakte thermische uitzettingscoëfficiënt twee keer de lineaire coëfficiënt:

α a = 2 α L {\displaystyle \ alpha _{a}=2 \ alpha _{L}}

Deze verhouding kan worden gevonden op een manier die vergelijkbaar is met die in het lineaire voorbeeld hierboven, waarbij opgemerkt wordt dat het oppervlak van een vlak op de kubus gewoon L 2 {\displaystyle l^{2}} is . Dezelfde overwegingen moeten ook worden gemaakt bij het omgaan met grote waarden van Δ T {\displaystyle \Delta T} .,

simpel gezegd, als de lengte van een vaste stof toeneemt van 1 m tot 1,01 m dan neemt het oppervlak toe van 1 m2 tot 1,0201 m2 en het volume van 1 m3 tot 1,030301 m3.

anisotrope materialsEdit

materialen met anisotrope structuren, zoals kristallen (met minder dan kubieke symmetrie, bijvoorbeeld martensitische fasen) en vele composieten, zullen over het algemeen verschillende lineaire expansiecoëfficiënten α l {\displaystyle \alpha _{l}} in verschillende richtingen hebben. Hierdoor is de totale volumetrische expansie ongelijk verdeeld over de drie assen., Als de kristalsymmetrie monoclinisch of triclinisch is, zijn zelfs de hoeken tussen deze assen onderhevig aan thermische veranderingen. In dergelijke gevallen is het noodzakelijk om de thermische uitzettingscoëfficiënt te behandelen als een tensor met maximaal zes onafhankelijke elementen. Een goede manier om de elementen van de tensor te bepalen is om de uitzetting door X-ray poederdiffractie te bestuderen. De thermische uitzettingscoëfficiënt tensor voor de materialen met kubieke symmetrie (voor bijvoorbeeld FCC, BCC) is isotroop.