Tepelné roztažnosti

Při výpočtu tepelné roztažnosti je nutné zvážit, zda tělo je zdarma rozšířit nebo je omezena. Pokud se tělo může volně rozšiřovat, lze expanzi nebo napětí vyplývající ze zvýšení teploty jednoduše vypočítat pomocí použitelného koeficientu tepelné roztažnosti.

Pokud je tělo omezeno tak, aby se nemohlo rozšířit, bude vnitřní stres způsoben (nebo změněn) změnou teploty., Tento stres může být vypočítána s ohledem na kmen, který by dojít, pokud tělo byly zdarma rozšířit a stresu nutné snížit napětí na nulu, přes stres/napětí vztah charakterizuje elastické nebo youngův modul pružnosti. Ve zvláštním případě pevných materiálů vnější okolní tlak obvykle výrazně neovlivňuje velikost objektu, a proto obvykle není nutné zvážit účinek změn tlaku.,

Společné inženýrství pevných látek obvykle mají koeficienty tepelné roztažnosti, které nejsou výrazně lišit v rozmezí teplot, kde jsou navrženy tak, aby být použity, tak, kde je extrémně vysoká přesnost není nutná, praktické výpočty mohou být založeny na konstantní, průměrná hodnota koeficientu rozšíření.

lineární expanziedit

lineární expanze znamená změnu v jednom rozměru (délce) na rozdíl od změny objemu (objemová expanze).,K první aproximaci je změna měření délky objektu v důsledku tepelné roztažnosti spojena se změnou teploty koeficientem lineární tepelné roztažnosti (CLTE). Jedná se o zlomkovou změnu délky na stupeň změny teploty. Předpokládám zanedbatelný vliv tlaku, můžeme napsat:

α L = 1 L d L d T {\displaystyle \alpha _{L}={\frac {1}{L}}\,{\frac {dL}{dT}}}

, kde L {\displaystyle L} je zejména měření délky a d L / d T {\displaystyle dL/dT} je rychlost změny, že lineární rozměr jednotkové změně teploty.,

změna lineárního rozměru může být odhadnuta jako:

Δ L = α. L Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta L}{L}}=\alpha _{L}\Delta T}

Tento odhad funguje dobře, dokud lineární roztažnosti příliš nemění v průběhu změny teplot Δ T {\displaystyle \Delta T} , a frakční změna délky je malé Δ L / L ≪ 1 {\displaystyle \Delta L/L\ll 1} . Pokud některá z těchto podmínek nevydrží, musí být integrována přesná diferenciální rovnice (pomocí d L / d t {\displaystyle dL/dt}).,ted:

ϵ t h e r m a l = α. L Δ T {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {tepelné} }=\alpha _{L}\Delta T}

, kde

Δ T = ( T f i n a l − T i n i t i a l ) {\displaystyle \Delta T=(T_{\mathrm {final} }-T_{\mathrm {počáteční} })}

je rozdíl teploty mezi dvěma zaznamenány kmenů, měří ve stupních Fahrenheita, stupních Rankina, stupňů Celsia nebo kelvinech,a α L {\displaystyle \alpha _{L}} je lineární koeficient tepelné roztažnosti v „na stupeň Fahrenheita“, „na stupeň Rankinův“, „na stupeň Celsia“, nebo „za kelvin“, označil °F−1, R−1, °C−1 nebo K−1, resp., V oblasti mechaniky kontinua se tepelná roztažnost a její účinky považují za eigenstrain a eigenstress.

Plocha expansionEdit

koeficient tepelné roztažnosti plochy se týká Změny rozměrů plochy materiálu na změnu teploty. Jedná se o frakční změnu plochy na stupeň změny teploty., Ignorování tlaku, můžeme napsat:

α A = 1 d d T {\displaystyle \alpha _{A}={\frac {1}{A}}\,{\frac {dA}{dT}}}

, kde {\displaystyle A} je nějaká oblast zájmu na objekt, a d A / d T {\displaystyle dA/dT} je rychlost změny této oblasti na jednotkovou změnu teploty.,

změna v této oblasti může být odhadnuta jako:

Δ A = α A Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta}{A}}=\alpha _{A}\Delta T}

Tato rovnice funguje dobře, jak dlouho jako oblast roztažnosti příliš nemění v průběhu změny teplot Δ T {\displaystyle \Delta T} , a frakční změna v oblasti je malé Δ A / ≪ 1 {\displaystyle \Delta A/A\ll 1} . Pokud některá z těchto podmínek neudrží, musí být rovnice integrována.,

Objem expansionEdit

Pro solidní, můžeme ignorovat účinky tlaku na materiál, a objemové tepelné roztažnosti může být napsáno:

α V = 1 V d V d T {\displaystyle \alpha _{V}={\frac {1}{V}}\,{\frac {dV}{dT}}}

, kde V je {\displaystyle V} je objem materiálu, a d V / d T {\displaystyle dV/dT} je rychlostí změny objemu s teplotou.

to znamená, že objem materiálu se mění o určité pevné zlomkové množství. Například ocelový blok o objemu 1 metr krychlový se může rozšířit na 1.,002 metrů krychlových, když je teplota zvýšena o 50 K. jedná se o expanzi 0,2%. Pokud bychom měli blok oceli o objemu 2 metry krychlové, pak za stejných podmínek by se rozšířil na 2.004 metrů krychlových, opět o expanzi 0.2%. Objemový koeficient roztažnosti by byl 0,2% pro 50 K, nebo 0,004% K-1.,

Pokud již víme, roztažnosti, pak můžeme vypočítat změnu v objemu.

Δ V V = α V Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\alpha _{V}\Delta T}

výše uvedený příklad předpokládá, že s použitím koeficientu rozšíření není změna jako změna teploty a nárůst objemu je malý ve srovnání s původní objem. To není vždy pravda, ale pro malé změny teploty je to dobrá aproximace.,e být integrovaná:

ln ⁡ ( V + Δ V V ) = ∫ T i T f α V ( T ) d T {\displaystyle \ln \left({\frac {V+\Delta V}{V}}\right)=\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT} Δ V V = exp ⁡ ( ∫ T i T f α V ( T ) d T ) − 1 {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\exp \left(\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT\right)-1}

Izotropní materialsEdit

Pro izotropní materiály objemové tepelné roztažnosti je třikrát lineární koeficient:

α V = 3 α L {\displaystyle \alpha _{V}=3\alpha _{L}}

Tento poměr vzniká, protože objem se skládá ze tří vzájemně kolmých směrech., V izotropním materiálu je tedy pro malé diferenciální změny jedna třetina objemové expanze v jedné ose. Jako příklad, vezměte kostku z oceli, která má strany o délce L. původní objem bude V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}} a nový svazek, po zvýšení teploty, bude

V + Δ V = ( L + Δ L ) 3 = L 3 + 3 L, 2 Δ L + 3 L Δ L 2 + Δ L 3 ≈ L 3 + 3 L, 2 Δ L = V + 3 V Δ L L . {\displaystyle V+\Delta V=(L+\Delta L)^{3}=L^{3}+3L^{2}\Delta L+3L\Delta L^{2}+\Delta L^{3}\approx L^{3}+3L^{2}\Delta L=V+3V{\Delta L \nad L}.,}

můžeme snadno ignorovat termíny jako změna v L je malé množství, které na kvadratura dostane mnohem menší.

takže

Δ v = 3 Δ l L = 3 α L Δ T. {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=3{\Delta L \nad L}=3\alpha _{L}\Delta T}

výše uvedená aproximace platí pro malé teplotní a objemové změny (to je, když Δ T {\displaystyle \Delta T} a Δ L {\displaystyle \Delta L} jsou malé); ale to neplatí, pokud se budeme snažit jít tam a zpět mezi objemové a lineární koeficienty pomocí větší hodnoty Δ T {\displaystyle \Delta T} ., V tomto případě je třeba vzít v úvahu třetí termín (a někdy i čtvrtý termín) ve výše uvedeném výrazu.

Podobně, plocha koeficient tepelné roztažnosti je dva krát lineární koeficient:

α = 2 α L {\displaystyle \alpha _{A}=2\alpha _{L}}

Tento poměr lze nalézt podobným způsobem jako v lineární příkladu výše, a upozorňuje, že plochy na krychli je jen L 2 {\displaystyle L^{2}} . Stejné úvahy musí být také při řešení velkých hodnot Δ t {\displaystyle \ Delta T} .,

Zjednodušeně řečeno, pokud se délka pevné látky rozšiřuje z 1 m na 1,01 m, pak se plocha rozšiřuje z 1 m2 na 1,0201 m2 a objem se rozšiřuje z 1 m3 na 1,030301 m3.

Anizotropní materialsEdit

Materiály s anizotropní struktury, jako jsou krystaly (s méně než kubickou symetrii, například martenzitické fáze) a mnoho kompozitů, bude obecně mít různé lineární expanzní koeficienty α L {\displaystyle \alpha _{L}} v různých směrech. Výsledkem je, že celková objemová expanze je nerovnoměrně rozdělena mezi tři osy., Pokud je krystalová symetrie monoklinická nebo triklinická, i úhly mezi těmito osami podléhají tepelným změnám. V takových případech je nutné ošetřit koeficient tepelné roztažnosti jako tenzor s až šesti nezávislými prvky. Dobrým způsobem, jak určit prvky tenzoru, je studovat expanzi pomocí difrakce rentgenového prášku. Koeficient tepelné roztažnosti tenzor pro materiály mající kubickou symetrii (např. FCC, BCC)je izotropní.