Termisk expansion

Vid beräkning av termisk expansion är det nödvändigt att överväga om kroppen är fri att expandera eller är begränsad. Om kroppen är fri att expandera, kan expansionen eller stammen till följd av en temperaturökning enkelt beräknas med hjälp av den tillämpliga Värmeutvidgningskoefficienten.

om kroppen är begränsad så att den inte kan expandera, kommer intern stress att orsakas (eller ändras) av en temperaturförändring., Denna stress kan beräknas genom att överväga den stam som skulle uppstå om kroppen var fri att expandera och den stress som krävs för att minska den stammen till noll, genom stress/stamförhållandet karakteriserat av elastiken eller ungens modul. I det speciella fallet med fasta material påverkar det yttre omgivande trycket vanligtvis inte märkbart objektets storlek och det är därför vanligtvis inte nödvändigt att överväga effekten av tryckförändringar.,

vanliga tekniska fasta ämnen har vanligtvis koefficienter för termisk expansion som inte varierar signifikant över temperaturområdet där de är utformade för att användas, så där extremt hög noggrannhet inte krävs kan praktiska beräkningar baseras på ett konstant medelvärde av expansionskoefficienten.

linjär expansionEdit

linjär expansion innebär förändring i en dimension (längd) i motsats till volymförändring (volymetrisk expansion).,Till en första approximation är förändringen i längdmätningar av ett objekt på grund av termisk expansion relaterad till temperaturförändring med en koefficient för linjär termisk expansion (CLTE). Det är fraktionerad förändring i längd per grad av temperaturförändring. Om vi antar försumbar effekt av trycket kan vi skriva:

α L = 1 L d L D t {\displaystyle \ alpha _{l} = {\frac {1}{l}}\, {\frac {dL}{dT}}}

där L {\displaystyle L} är en viss längdmätning och d l / d t {\displaystyle dL / dT} är förändringstakten för den linjära dimensionen per enhetsförändring i temperaturen.,

förändringen i den linjära dimensionen kan uppskattas vara:

Δ l = α l Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta l}{l}}=\alpha _{L}\Delta t}

denna uppskattning fungerar bra så länge som den linjära expansionskoefficienten inte förändras mycket över temperaturförändringen Δ t {\displaystyle \Delta T} , och den bråkliga förändringen i längd är liten Δ L / L 1 {\displaystyle \Delta l/l\j 1} . Om något av dessa villkor inte håller måste den exakta differentialekvationen (med d l / d t {\displaystyle dL/dT} ) integreras.,ted by:

T H e r m a l = α l Δ T {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {thermal} }=\alpha _{L}\Delta T}

VAR

Δ T = ( T F i N a L − T i n i T i a l ) {\displaystyle \Delta t=(t_{\mathrm {final}}}- t_{\mathrm {initial}})}

är skillnaden i temperaturen mellan de två inspelade stammarna, mätt i grader Fahrenheit, grader Rankine, grader Celsius eller Kelvins och α l {\displaystyle \alpha _{L}} är den linjära koefficienten för termisk expansion I ”per grad Fahrenheit”, ”per grad Rankine”, ”per grad Celsius” eller ”per Kelvin”, betecknad med °F−1, R−1, °c−1 respektive K−1., Inom området kontinuummekanik behandlas den termiska expansionen och dess effekter som egenstrain och egenstress.

area expansionEdit

området termisk expansionskoefficient avser förändringen i ett materials area dimensioner till en förändring i temperatur. Det är fraktionerad förändring i området per grad av temperaturförändring., Ignorera Tryck, vi kan skriva:

α a = 1 A D A d t {\displaystyle \ alpha _{A} = {\frac {1}{A}}\, {\frac {dA}{dT}}}

där en {\displaystyle A} är något intresseområde på objektet, och d a/d t {\displaystyle dA / dT} är förändringstakten för det området per enhetsförändring i temperaturen.,

förändringen i området kan uppskattas som:

Δ A = α a Δ t {\displaystyle {\frac {\Delta a}{a}}= \ alpha _{A}\Delta t}

denna ekvation fungerar bra så länge områdets expansionskoefficient inte förändras mycket över temperaturförändringen Δ t {\displaystyle \ Delta T}, och den fraktionella förändringen i området är liten Δ A/A 1 {\displaystyle \Delta A / A\ll 1} . Om något av dessa villkor inte håller, måste ekvationen integreras.,

Volymexpansionedit

för ett fast ämne kan vi ignorera effekterna av tryck på materialet, och den volymetriska termiska expansionskoefficienten kan skrivas:

α V = 1 v d v d t {\displaystyle \alpha _{v}={\frac {1}{v}}\, {\frac {dV}{dT}}}

där V {\displaystyle v} är materialets volym och d v / d t {\frac {1} {v}}}\, {\frac {dT}}}

där V {\displaystyle v} är materialets volym och d v/d t {\displaystyle dv / dt} är graden av förändring av den volymen med temperatur.

detta innebär att volymen av ett material ändras med någon fast fraktionerad mängd. Till exempel kan ett stålblock med en volym på 1 kubikmeter expandera till 1.,002 kubikmeter när temperaturen höjs med 50 K. Detta är en expansion av 0,2 procent. Om vi hade ett stålblock med en volym på 2 kubikmeter, då under samma förhållanden skulle den expandera till 2,004 kubikmeter, igen en expansion av 0,2%. Den volymetriska expansionskoefficienten skulle vara 0,2% för 50 K, eller 0,004% K−1.,

om vi redan känner till expansionskoefficienten kan vi beräkna volymförändringen

Δ v = α v Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta V}{v}} = \ alpha _ {v} \ Delta t}

ovanstående exempel förutsätter att expansionskoefficienten inte ändrades när temperaturen ändrades och volymökningen är liten jämfört med den ursprungliga volymen. Detta är inte alltid sant, men för små temperaturförändringar är det en bra approximation.,E som ska integreras:

ln ( V + Δ V V) = T i T F α v ( t ) d t {\displaystyle \ln \left({\frac {V+\Delta V}{v}}\right)=\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{v}(t)\,dT} Δ V v = exp (t i T F α v ( t ) d t ) − 1 {\displaystyle {\frac {\Delta v}{v}}=\exp \Left(\Int _{T_{i}}^{T_{f}}\Alpha _{v}(t)\,dt\right)-1}

isotropa Materialsedit

för isotropa material är den volymetriska termiska expansionskoefficienten tre gånger den linjära koefficienten:

α v = 3 α l {\displaystyle \alpha _{V}=3\Alpha _{l}}

detta förhållande uppstår på grund av att volymen består av tre ömsesidigt ortogonala riktningar., Således, i ett isotropiskt material, för små differentialförändringar, är en tredjedel av den volymetriska expansionen i en enda axel. Som ett exempel, ta en kub av stål som har sidor av längd L. Den ursprungliga volymen kommer att vara V = l 3 {\displaystyle v = l^{3}} och den nya volymen, efter en temperaturökning, kommer att vara

v + Δ v = ( l + Δ L ) 3 = L 3 + 3 L 2 Δ L + 3 l Δ L 2 + Δ L 3 L 3 + 3 L 2 Δ L = V + 3 V Δ l . {\displaystyle V+ \ Delta V=(L+\Delta L)^{3}=L^{3}+3L^{2}\Delta l+3L\Delta L^{2}+\Delta l^{3}\approx L^{3}+3L^{2}\Delta L=V + 3V{\Delta l \over l}.,}

Vi kan enkelt ignorera villkoren som förändring i L är en liten mängd som på kvadrering blir mycket mindre.

Så

Δ V V = 3 Δ L L = 3 α l δt . {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=3{\Delta l \over l}=3\alpha _{l}\Delta T.}

ovanstående approximation håller för små temperatur-och dimensionella förändringar (det vill säga när Δ t {\displaystyle \Delta T} och Δ l {\displaystyle \Delta l} är små); men det håller inte om vi försöker gå fram och tillbaka mellan volymetriska och linjära koefficienter med större värden av Δ t {\displaystyle \Delta t}. – herr talman!, I det här fallet måste den tredje termen (och ibland även den fjärde termen) i uttrycket ovan beaktas.

på samma sätt är områdets termiska expansionskoefficient två gånger den linjära koefficienten:

α a = 2 α l {\displaystyle \ alpha _{a}=2 \ alpha _ {l}}

detta förhållande kan hittas på ett sätt som liknar det i det linjära exemplet ovan och noterar att området på ett ansikte på kuben bara är L 2 {\displaystyle L^{2}} . Samma överväganden måste också göras vid hantering av stora värden av Δ t {\displaystyle \Delta t} .,

enkelt uttryckt, om längden på ett fast ämne expanderar från 1 m till 1,01 m, expanderar området från 1 m2 till 1,0201 m2 och volymen expanderar från 1 m3 till 1.030301 m3.

anisotropa materialsEdit

material med anisotropa strukturer, såsom kristaller (med mindre än kubisk symmetri, till exempel martensitiska faser) och många kompositer, kommer i allmänhet att ha olika linjära expansionskoefficienter α l {\displaystyle \alpha _{l}} i olika riktningar. Som ett resultat fördelas den totala volymetriska expansionen ojämnt mellan de tre axlarna., Om kristallsymmetrin är monoklinisk eller triklinisk, är även vinklarna mellan dessa axlar föremål för termiska förändringar. I sådana fall är det nödvändigt att behandla värmeutvidgningskoefficienten som en tensor med upp till sex oberoende element. Ett bra sätt att bestämma tensorns element är att studera expansionen genom röntgenpulverdiffraktion. Den termiska expansionskoefficienten tensor för de material som har kubisk symmetri (för t.ex. FCC, BCC) är isotropisk.