Termisk ekspansion

Ved beregning af termisk ekspansion er det nødvendigt at overveje, om kroppen er fri til at udvide eller er begrænset. Hvis kroppen er fri til at udvide, kan udvidelsen eller stammen som følge af en stigning i temperaturen simpelthen beregnes ved hjælp af den gældende termiske udvidelseskoefficient.

Hvis kroppen er begrænset, så den ikke kan udvides, vil intern stress blive forårsaget (eller ændret) ved en temperaturændring., Denne belastning kan beregnes ved at overveje den belastning, der ville opstå, hvis kroppen var fri til at ekspandere, og den stress, der kræves for at reducere denne belastning til nul, gennem stress/belastningsforholdet, der er kendetegnet ved elastikken eller Youngs modul. I det særlige tilfælde af faste materialer påvirker eksternt omgivelsestryk normalt ikke en objekts størrelse, og det er derfor normalt ikke nødvendigt at overveje effekten af trykændringer.,

almindelige tekniske faste stoffer har normalt varmeudvidelseskoefficienter, der ikke varierer markant over temperaturområdet, hvor de er designet til at blive brugt, så hvor ekstremt høj nøjagtighed ikke er påkrævet, kan praktiske beregninger baseres på en konstant, gennemsnitlig værdi af udvidelseskoefficienten.

lineær ekspansionredit

lineær ekspansion betyder ændring i en dimension (længde) i modsætning til ændring i volumen (volumetrisk ekspansion).,Til en første tilnærmelse er ændringen i længdemålinger af et objekt på grund af termisk ekspansion relateret til temperaturændring med en lineær termisk ekspansionskoefficient (CLTE). Det er den fraktionelle ændring i længden pr. Forudsat ubetydelig effekt af pres, kan vi skrive:

α L = 1 L d L d T {\displaystyle \alpha _{L}={\frac {1}{L}}\,{\frac {dL}{dT}}}

, hvor L {\displaystyle L} er en bestemt længde måling og d L / d T {\displaystyle dL/dT} er graden af ændring af lineære dimension per enhed ændring i temperatur.,

Den ændring i den lineære dimension kan estimeres til at være:

Δ L L = α L ∆ T {\displaystyle {\frac {\Delta L}{L}}=\alpha _{L}\Delta T}

Dette skøn, fungerer godt, så længe de lineær udvidelseskoefficient ikke ændrer sig meget over den ændring i temperaturen Δ T {\displaystyle \Delta T} , og relativ ændring i længde er små ∆ L / L ≪ 1 {\displaystyle \Delta L/L\ll 1} . Hvis en af disse betingelser ikke holder, skal den nøjagtige differentialligning (ved hjælp af d L / D t {\displaystyle dL/dt} ) integreres.,ted med:

ϵ t h e r m a l = α L ∆ T {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {termisk} }=\alpha _{L}\Delta T}

hvor

Δ T = ( T f i n a l − T-i n i t i a l ) {\displaystyle \Delta T=(T_{\mathrm {endelig} }-T_{\mathrm {første} })}

er forskellen i temperatur mellem de to indspillede stammer, målt i grader Fahrenheit grader Rankine, grader Celsius eller kelvin,og α L {\displaystyle \alpha _{L}} er lineært koefficient for termisk udvidelse i “grad Fahrenheit per”, “per grad Rankine”, “per grad Celsius”, eller “per kelvin”, der betegnes ved °F−1, R−1, °C−1 eller K−1, hhv., Inden for kontinuummekanik behandles termisk ekspansion og dens virkninger som egenstamme og egenstress.

områdeudvidelsedit

områdeudvidelseskoefficienten relaterer ændringen i et materiales arealdimensioner til en temperaturændring. Det er den fraktionerede ændring i området pr., Ignorerer pres, kan vi skrive:

α A = 1 A d A d T {\displaystyle \alpha _{A}={\frac {1}{A}}\,{\frac {dA}{dT}}}

hvor En {\displaystyle En} er et område af interesse på objektet, og d A / d-T {\displaystyle dA/dT} er graden af ændring af området, per enhed ændring i temperatur.,

Den ændring i det område, der kan estimeres som:

Δ A A = α A Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta A}{A}}=\alpha _{A}\Delta T}

Denne ligning fungerer godt, så længe det område udvidelseskoefficient ikke ændrer sig meget over den ændring i temperaturen Δ T {\displaystyle \Delta T} , og relativ ændring i området er lille Δ A / A ≪ 1 {\displaystyle \Delta A/A\ll 1} . Hvis en af disse betingelser ikke holder, skal ligningen integreres.,

Lydstyrke expansionEdit

For en fast, kan vi ignorere virkningerne af pres på materialet, og den volumetriske termisk udvidelseskoefficient kan skrives:

α V = 1 V d V d T {\displaystyle \alpha _{V}={\frac {1}{V}}\,{\frac {dV}{dT}}}

hvor V {\displaystyle V} er mængden af materiale, og d V / d T {\displaystyle dV/dT} er graden af ændring af denne mængde med temperaturen.

dette betyder, at volumenet af et materiale ændres med en fast fraktioneret mængde. For eksempel kan en stålblok med et volumen på 1 kubikmeter udvide til 1.,002 kubikmeter, når temperaturen hæves med 50 K. Dette er en udvidelse på 0,2%. Hvis vi havde en blok af stål med et volumen på 2 kubikmeter, ville den under de samme betingelser udvides til 2.004 kubikmeter, igen en udvidelse på 0, 2%. Den volumetriske udvidelseskoefficient ville være 0,2% for 50 K eller 0,004% K-1.,

Hvis vi allerede kender udvidelseskoefficient, så kan vi beregne ændringen i volumen

Δ V V = α V ∆ T {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\alpha _{V}\Delta T}

ovenstående eksempel forudsætter, at udvidelseskoefficient ikke ændre sig, når temperaturen ændres, og den stigning i volumen er lille i forhold til den oprindelige mængde. Dette er ikke altid sandt, men for små temperaturændringer er det en god tilnærmelse.,e at blive integreret:

ln ⁡ ( V + Δ V, V ) = ∫ T i T f α V ( T ) d T {\displaystyle \da \left({\frac {V+\Delta V}{V}}\right)=\int _{T_{jeg}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT} Δ V V = exp ⁡ ( ∫ T i T f α V ( T ) d T ) − 1 {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\exp \left(\int _{T_{jeg}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT\right)-1}

Isotrope materialsEdit

For isotrope materialer af den volumetriske varmeudvidelseskoefficient er tre gange det lineære koefficient:

α V = 3, α L {\displaystyle \alpha _{V}=3\alpha _{L}}

Dette forhold opstår, fordi diskenhed består af tre indbyrdes ortogonale retninger., Således er en tredjedel af den volumetriske ekspansion i et isotropisk materiale til små differentielle ændringer i en enkelt akse. Som et eksempel, tage en terning af stål, som har sider af længde L. Den oprindelige volumen, V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}} og den nye diskenhed, efter en temperaturstigning, vil være

V + Δ V = ( L + ∆ L), 3 = L 3 + 3 L 2 ∆ L + 3 L ∆ L 2 + Δ L 3 ≈ L 3 + 3 L 2 ∆ L = V + 3 V Δ L L . {\displaystyle V+\Delta V=(L+\Delta L)^{3}=L^{3}+3L^{2}\Delta L+3L\Delta L^{2}+\Delta L^{3}\omtrent L^{3}+3L^{2}\Delta L=V+3 V{\Delta L \over L}.,}

Vi kan nemt ignorere Vilkårene som ændring i L er en lille mængde, som på kvadrering bliver meget mindre.

så

So V V = 3 L L L = 3 L L T T . {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=3{\Delta L \over L}=3\alpha _{L}\Delta T}

ovenstående tilnærmelse gælder for små temperatur og dimensionelle ændringer (der er, når Δ T {\displaystyle \Delta T} og ∆ L {\displaystyle \Delta L} er lille); men det holder ikke, hvis vi forsøger at gå frem og tilbage mellem volumetrisk og lineære koefficienter med større værdier af ∆ T {\displaystyle \Delta T} ., I dette tilfælde skal den tredje periode (og nogle gange endda den fjerde periode) i udtrykket ovenfor tages i betragtning.

på samme måde, området varmeudvidelseskoefficient er to gange den lineære koefficient:

α A = 2 α L {\displaystyle \alpha _{A}=2\alpha _{L}}

Dette forhold kan være fundet på en måde svarende til den, der i den lineære eksemplet ovenfor, at bemærke, at et område med et ansigt på terningen er bare L 2 {\displaystyle L^{2}} . De samme overvejelser skal også tages, når man beskæftiger sig med store værdier af {t {\displaystyle \Delta T} .,

sagt mere enkelt, hvis længde af en solid udvider fra 1 m til 1,01 m så området udvider fra 1 m2 til 1.0201 m2 og volumen udvider fra 1 m3 til 1.030301 m3.

Anisotropisk materialsEdit

Materialer med anisotropisk strukturer, såsom krystaller (med mindre end kubisk symmetri, for eksempel martensitisk faser) og mange kompositter, vil generelt have forskellige lineær ekspansion koefficienter α L {\displaystyle \alpha _{L}} i forskellige retninger. Som følge heraf fordeles den samlede volumetriske ekspansion ulige mellem de tre akser., Hvis krystalsymmetrien er monoklinisk eller triklinisk, er selv vinklerne mellem disse akser udsat for termiske ændringer. I sådanne tilfælde er det nødvendigt at behandle termisk udvidelseskoefficient som en tensor med op til seks uafhængige elementer. En god måde at bestemme tensorens elementer på er at studere udvidelsen ved røntgenpulverdiffraktion. Den termiske udvidelseskoefficient tensor for de materialer, der besidder kubisk symmetri (for FCC FCC, BCC) er isotropisk.