Espansione termica

Quando si calcola l’espansione termica è necessario considerare se il corpo è libero di espandersi o è vincolato. Se il corpo è libero di espandersi, l’espansione o la deformazione risultante da un aumento della temperatura può essere semplicemente calcolata utilizzando il coefficiente di espansione termica applicabile.

Se il corpo è vincolato in modo che non possa espandersi, lo stress interno sarà causato (o modificato) da un cambiamento di temperatura., Questo stress può essere calcolato considerando lo sforzo che si verificherebbe se il corpo fosse libero di espandersi e lo stress necessario per ridurre tale sforzo a zero, attraverso il rapporto stress/deformazione caratterizzato dal modulo elastico o di Young. Nel caso particolare dei materiali solidi, la pressione ambientale esterna di solito non influisce sensibilmente sulle dimensioni di un oggetto e quindi di solito non è necessario considerare l’effetto delle variazioni di pressione.,

I solidi ingegneristici comuni di solito hanno coefficienti di espansione termica che non variano significativamente nell’intervallo di temperature in cui sono progettati per essere utilizzati, quindi dove non è richiesta una precisione estremamente elevata, i calcoli pratici possono essere basati su un valore medio costante del coefficiente di espansione.

Espansione linearemodifica

Espansione lineare significa cambiamento in una dimensione (lunghezza) rispetto al cambiamento di volume (espansione volumetrica).,Ad una prima approssimazione, la variazione delle misure di lunghezza di un oggetto dovuta all’espansione termica è correlata alla variazione di temperatura da un coefficiente di espansione termica lineare (CLTE). È la variazione frazionaria della lunghezza per grado di variazione di temperatura. Supponendo trascurabile l’effetto di pressione, si può scrivere:

α L = 1 L d L d T {\displaystyle \alpha _{L}={\frac {1}{L}}\,{\frac {dL}{dT}}}

dove L {\displaystyle L} è una particolare misura di lunghezza e d L / d T {\displaystyle dL/dT} è il tasso di variazione della dimensione lineare per unità di variazione di temperatura.,

Il cambiamento nella dimensione lineare può essere stimato:

Δ L L = α Δ L T {\displaystyle {\frac {\Delta L}{L}}=\alpha _{L}\Delta T}

Questa stima funziona bene fintanto che il lineare coefficiente di espansione non cambia di molto oltre il cambiamento di temperatura Δ T {\displaystyle \Delta T} , e il cambiamento frazionario in lunghezza è piccolo Δ L / L ≪ 1 {\displaystyle \Delta L/L\ll 1} . Se una di queste condizioni non regge, l’equazione differenziale esatta (usando d L / d T {\displaystyle dL/DT} ) deve essere integrata.,ted con:

ż t h e r m a l e = α Δ L T {\displaystyle \epsilon _{\mathrm {termica} }=\alpha _{L}\Delta T}

dove

Δ T = ( T i f i n a l T i i n i z i a l e ) {\displaystyle \Delta T=(T_{\mathrm {final} }-T_{\mathrm {iniziale} })}

è la differenza di temperatura tra i due registrata ceppi, misurata in gradi Fahrenheit in gradi di Rankine, gradi Celsius o kelvin,e α L {\displaystyle \alpha _{L}} è il coefficiente lineare di espansione termica “per gradi Fahrenheit”, “per grado di Rankine”, “per gradi”, o “per kelvin”, indicato da °F−1, R−1, °C−1, K−1, rispettivamente., Nel campo della meccanica del continuo, l’espansione termica e i suoi effetti sono trattati come autienstrain e autienstress.

Area expansionEdit

Il coefficiente di espansione termica dell’area mette in relazione la variazione delle dimensioni dell’area di un materiale con una variazione di temperatura. È la variazione frazionaria dell’area per grado di variazione di temperatura., Ignorando la pressione, possiamo scrivere:

α A = 1 A d A d T {\displaystyle \alpha _{A}={\frac {1}{A}}\,{\frac {da}{dT}}}

dove A {\displaystyle A} è un’area di interesse sull’oggetto, e d A/d T {\displaystyle da / dt} è la velocità di variazione di quell’area per variazione unitaria di temperatura.,

Il cambiamento della zona può essere stimata come:

Δ A A = α Un Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta}{A}}=\alpha _{A}\Delta T}

Questa equazione funziona bene come lungo come l’area coefficiente di espansione non cambia di molto oltre il cambiamento di temperatura Δ T {\displaystyle \Delta T} , e il cambiamento frazionario in area piccola Δ Un / Una ≪ 1 {\displaystyle \Delta A/A\ll 1} . Se una di queste condizioni non regge, l’equazione deve essere integrata.,

Volume expansionEdit

Per un solido, siamo in grado di ignorare gli effetti della pressione sul materiale, e il coefficiente di dilatazione termica volumetrica può essere scritto:

α V = 1 V d V d T {\displaystyle \alpha _{V}={\frac {1}{V}}\,{\frac {dV}{dT}}}

dove V {\displaystyle V} è il volume di materiale, e d V / d T {\displaystyle dV/dT} è il tasso di variazione del volume con la temperatura.

Ciò significa che il volume di un materiale cambia di una certa quantità frazionaria fissa. Ad esempio, un blocco di acciaio con un volume di 1 metro cubo potrebbe espandersi a 1.,002 metri cubi quando la temperatura viene aumentata di 50 K. Questa è un’espansione dello 0,2%. Se avessimo un blocco di acciaio con un volume di 2 metri cubi, quindi nelle stesse condizioni, si espanderebbe a 2.004 metri cubi, di nuovo un’espansione dello 0,2%. Il coefficiente di dilatazione volumetrica sarebbe 0,2% per 50 K, o 0,004% K−1.,

Se già sappiamo che il coefficiente di dilatazione, quindi possiamo calcolare la variazione di volume

Δ V V = α Δ V T {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\alpha _{V}\Delta T}

L’esempio presuppone che il coefficiente di dilatazione non varia al variare della temperatura e l’aumento di volume è piccolo rispetto al volume originale. Questo non è sempre vero, ma per piccoli cambiamenti di temperatura, è una buona approssimazione.,e per essere integrato:

ln ⁡ ( V + Δ V, V ) = ∫ T i T f α V ( T ) d T {\displaystyle \ln \left({\frac {V+\Delta V}{V}}\right)=\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT} Δ V V = exp ⁡ ( ∫ T i T f α V ( T ) d T ) − 1 {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\exp \left(\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT\right)-1}

Isotropo materialsEdit

Per i materiali isotropi volumetrica coefficiente di espansione termica è tre volte il coefficiente lineare:

α V = 3 α L {\displaystyle \alpha _{V}=3\alpha _{L}}

Questo rapporto nasce dal fatto che il volume è composto da tre direzioni mutuamente ortogonali., Pertanto, in un materiale isotropico, per piccole variazioni differenziali, un terzo dell’espansione volumetrica si trova in un singolo asse. Come esempio, prendiamo un cubo di acciaio che ha i lati di lunghezza L. Il volume originale sarà V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}} e il nuovo volume, dopo un aumento di temperatura, sarà

V + Δ V = ( L + Δ L ) 3 = L 3 + 3 L 2 Δ L + 3 L Δ L 2 + Δ L 3 ≈ L 3 + 3 L 2 Δ L = V + 3 V Δ L L . {\displaystyle V+ \ Delta V=(L+\Delta L)^{3}=L ^ {3} + 3L^{2}\Delta L + 3L \ Delta L^{2}+ \ Delta L^{3}\circa L ^ {3}+3L^{2}\Delta L=V + 3V{\Delta L \sopra L}.,}

Possiamo facilmente ignorare i termini poiché il cambiamento in L è una piccola quantità che alla quadratura diventa molto più piccola.

So

Δ V V = 3 Δ L L = 3 α L Δ T . {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=3{\Delta L \oltre L}=3\alpha _{L}\Delta T.}

L’approssimazione vale per i piccoli di temperatura e variazioni dimensionali (che è, quando Δ T {\displaystyle \Delta T} e Δ L {\displaystyle \Delta L} sono di piccole dimensioni); ma non tenere se stiamo cercando di andare avanti e indietro tra volumetrico e lineari coefficienti di utilizzo di valori più grandi di Δ T {\displaystyle \Delta T} ., In questo caso, il terzo termine (e talvolta anche il quarto termine) nell’espressione sopra deve essere preso in considerazione.

allo stesso modo, la zona coefficiente di espansione termica è due volte il coefficiente lineare:

α A = 2 α L {\displaystyle \alpha _{A}=2\alpha _{L}}

Questo rapporto può essere trovato in un modo simile a quello lineare esempio sopra, rilevando che l’area di una faccia del cubo è solo L 2 {\displaystyle L^{2}} . Inoltre, le stesse considerazioni devono essere fatte quando si tratta di grandi valori di Δ T {\displaystyle \Delta T} .,

Più semplicemente, se la lunghezza di un solido si espande da 1 m a 1,01 m, l’area si espande da 1 m2 a 1,0201 m2 e il volume si espande da 1 m3 a 1,030301 m3.

Materiali anisotropicimodifica

I materiali con strutture anisotropiche, come i cristalli (con simmetria inferiore a quella cubica, ad esempio le fasi martensitiche) e molti compositi, avranno generalmente diversi coefficienti di espansione lineare α L {\displaystyle \alpha _{L}} in direzioni diverse. Di conseguenza, l’espansione volumetrica totale è distribuita in modo ineguale tra i tre assi., Se la simmetria cristallina è monoclina o triclinica, anche gli angoli tra questi assi sono soggetti a cambiamenti termici. In questi casi è necessario trattare il coefficiente di espansione termica come un tensore con un massimo di sei elementi indipendenti. Un buon modo per determinare gli elementi del tensore è studiare l’espansione mediante diffrazione della polvere a raggi X. Il tensore del coefficiente di dilatazione termica per i materiali che possiedono simmetria cubica (ad esempio FCC, BCC) è isotropico.