jeśli dopuszczalna jest siła działająca na odległość, wykonuje pracę mechaniczną. Podobnie, jeśli moment obrotowy może działać przez odległość obrotową, wykonuje pracę. Matematycznie, dla obrotu wokół stałej osi przez środek masy, praca W może być wyrażona jako
w = θ θ 1 θ 2 τ D θ, {\displaystyle W = \ int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\Tau \ \mathrm {d} \ theta,}
Gdzie τ jest momentem obrotowym, a θ1 i θ2 reprezentują (odpowiednio) początkowe i końcowe pozycje kątowe ciała.,isplacement, granice całkowania również zmieniają się odpowiednio, dając
w = θ θ 1 θ 2 τ → ⋅ D θ → {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\vec {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\vec {\theta }}} W = θ θ 1 θ 2 τ D θ {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\Theta _{2}}\Tau \,\mathrm {d} \theta }
z twierdzenia o energii pracy wynika, że w oznacza również zmianę rotacyjnej energii kinetycznej er ciała, podaną przez
E R = 1 2 i ω 2, {\displaystyle e_{\mathrm {r} }={\tfrac {1}{2}}i\omega ^{2},}
gdzie i jest momentem bezwładności ciała, a ω jest jego momentem bezwładności.prędkość kątowa.,
moc to praca na jednostkę czasu, dana przez
p = τ ω ω , {\displaystyle P = {\boldsymbol {\tau }} \ cdot {\boldsymbol {\omega}},}
gdzie P to moc, τ to moment obrotowy, ω to prędkość kątowa, A ⋅ {\displaystyle \cdot } to iloczyn skalarny.
, Należy zauważyć, że moc wtryskiwana przez moment obrotowy zależy tylko od chwilowej prędkości kątowej – a nie od tego, czy prędkość kątowa wzrasta, zmniejsza się lub pozostaje stała podczas przyłożenia momentu obrotowego (jest to równoważne liniowemu przypadkowi, w którym moc wtryskiwana przez siłę zależy tylko od chwilowej prędkości – a nie od powstałego przyspieszenia, jeśli takie występuje).,
w praktyce zależność tę można zaobserwować w rowerach: rowery składają się zazwyczaj z dwóch kół jezdnych, przednich i tylnych kół zębatych (zwanych zębatkami) połączonych z łańcuchem kołowym i mechanizmu przerzutki, jeśli system transmisji roweru umożliwia stosowanie wielu przełożeń (tj. roweru wielobiegowego), z których wszystkie są przymocowane do ramy. Rowerzysta, osoba, która jeździ na rowerze, dostarcza moc wejściową, obracając pedały, tym samym obracając przednią zębatkę(potocznie zwaną łańcuchem)., Moc wejściowa dostarczana przez rowerzystę jest równa iloczynowi kadencji (tj. liczby obrotów pedałów na minutę) i momentu obrotowego wrzeciona korbowodu roweru. Układ napędowy roweru przekazuje moc wejściową do koła jezdnego, które z kolei przekazuje otrzymaną moc na drogę jako moc wyjściową roweru. W zależności od przełożenia roweru, para wejściowa (moment obrotowy, rpm) jest zamieniana na parę wyjściową (moment obrotowy, rpm)., Dzięki zastosowaniu większego tylnego biegu lub przełączeniu na niższy bieg w rowerach wielobiegowych prędkość kątowa kół jezdnych jest zmniejszana przy jednoczesnym zwiększeniu momentu obrotowego, którego iloczyn (tj. moc) nie zmienia się.
należy używać spójnych jednostek. Dla jednostek metrycznych SI moc wynosi waty, moment obrotowy wynosi newton metry, a prędkość kątowa wynosi radiany na sekundę (nie obr. / min i nie obroty na sekundę).
ponadto Jednostka niutonometru jest wymiarowo równoważna dżulowi, który jest jednostką energii., Jednak w przypadku momentu obrotowego jednostka jest przypisana do wektora, podczas gdy dla energii jest przypisana do skalara. Oznacza to, że równoważność wymiarowa niutonometru i dżula może być stosowana w pierwszym, ale nie w drugim przypadku. Problem ten jest poruszany w analizie orientacyjnej, która traktuje radiany jako jednostkę podstawową, a nie jednostkę bezwymiarową.
konwersja na inne jednostkiedytuj
Współczynnik konwersji może być konieczny przy użyciu różnych jednostek mocy lub momentu obrotowego., Na przykład, jeśli prędkość obrotowa (obroty na czas) jest używana w miejsce prędkości kątowej (radianów na czas), mnożymy przez współczynnik 2π radianów na obrót. W poniższych wzorach P to moc, τ to moment obrotowy, a ν (grecka litera nu) to prędkość obrotowa.
P = τ ⋅ 2 π ν ν {\displaystyle P=\tau \cdot 2\pi \cdot \nu }
wyświetlanie jednostek:
P ( w ) = τ ( N ⋅ m) ⋅ 2 π ( r a D / r e v) ν ν ( r e v / s e c ) {\displaystyle P({\rm {w}})=\tau {\RM {(N\cdot m)}}\cdot 2\pi {\RM {(rad/Rev)}}\cdot \nu {\RM {(rev/sec)}}}
dzielenie przez 60 sekund na minutę daje nam następujące.,
p ( w)=τ ( N ⋅ m) ⋅ 2 π ( r a D / r e v ) ν ν (r p m) 60 {\displaystyle P ({\RM {w}}) = {\frac {\tau {\RM {(N\cdot m)}}\cdot 2\pi {\RM {(rad/rev)}}\cdot \nu {\RM {(rpm)}}}{60}}}
gdzie prędkość obrotowa jest wyrażona w obrotach na minutę (rpm).
niektórzy ludzie (np. amerykańscy inżynierowie motoryzacji) używają koni mechanicznych (mechanicznych) do zasilania, funtów stóp (lbf⋅ft) do momentu obrotowego i rpm do prędkości obrotowej. Powoduje to zmianę wzoru na:
p ( h p ) = τ ( l b f ⋅ f t ) ⋅ 2 π (r a D / r e v ) ν ν ( r p m) 33 000 ., {\displaystyle P ({\rm {hp}})={\frac {\tau {\RM {(lbf\cdot ft)}}\cdot 2\pi {\RM {(rad/rev)}} \ cdot \ nu ({\rm {rpm}})}{33 000}}}.}
stała poniżej (w funtach stóp na minutę) zmienia się wraz z definicją mocy; na przykład, używając metrycznej mocy, wynosi ona około 32 550.
użycie innych jednostek (np. BTU na godzinę dla mocy) wymagałoby innego niestandardowego współczynnika konwersji.
wyprowadzenie
dla obiektu obracającego się odległość liniowa pokryta na obwodzie obrotu jest iloczynem promienia z zakrytym kątem., Oznacza to: odległość liniowa = promień × odległość kątowa. Z definicji odległość liniowa = prędkość liniowa × czas = promień × prędkość kątowa × czas.
według definicji momentu obrotowego: moment obrotowy = promień × Siła. Możemy to zmienić, aby określić siłę = moment obrotowy ÷ promień. Te dwie wartości można zastąpić definicją mocy:
moc = siła ⋅ odległość liniowa czas = (moment obrotowy r) ⋅ (R ⋅ prędkość kątowa ⋅ t ) t = moment obrotowy ⋅ prędkość kątowa ., {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{power}}&={\frac {{\text{force}}\cdot {\text{linear distance}}}{\text{time}}}\\&={\frac {\left({\dfrac {\text{torque}}{r}}\right)\cdot (r\cdot {\text{prędkość kątowa}}\cdot T)}{T}}\\&={\text{moment obrotowy}}\cdot {\text{prędkość kątowa}}}.\end{aligned}}}
promień r i czas t wypadły z równania. Prędkość kątowa musi być jednak wyrażona w radianach, przy założeniu bezpośredniej zależności między prędkością liniową a prędkością kątową na początku wyprowadzenia., Jeśli prędkość obrotowa jest mierzona w obrotach na jednostkę czasu, prędkość liniowa i odległość są zwiększane proporcjonalnie o 2π w powyższym wyprowadzeniu, aby dać:
moc = moment obrotowy ⋅ 2 π π prędkość obrotowa . {\displaystyle {\text {moc}}={\text {moment obrotowy}}\cdot 2 \pi\cdot {\text {prędkość obrotowa}}.\ ,}
Jeśli moment obrotowy jest w niutonach, a prędkość obrotowa w obrotach na sekundę, powyższe równanie daje moc w niutonach na sekundę lub watów., Jeśli używane są jednostki imperialne, a moment obrotowy jest w funtach – Siła stóp i prędkość obrotowa w obrotach na minutę, powyższe równanie daje moc w funtach stóp-siła na minutę.,N uzyskane poprzez zastosowanie współczynnika konwersji 33,000 ft⋅funt/min / moc:
moc = moment obrotowy ⋅ 2 π ⋅ prędkość obrotowa ⋅ m ⋅ funt min ⋅ koni mechanicznych, 33 , 000 ⋅ m ⋅ funt min ≈ momentu obrotowego ⋅ obr. / min, 5 , 252 {\właściwości styl wyświetlania wartości {\zaczynają się{wyrównane}{\text{moc}}&z={\text{chwili}}\cDOT 2\Pi \cDOT na {\text{prędkość obrotowa}}\cDOT na {\фрац {{\text{m}}\cDOT na {\text{funt}}}{\text{minuty}}}\cDOT na {\фрац {\text{moc}}{33,000\cDOT na {\фрац {{\text{m}}\cDOT na {\text{funt}}}{\text{minuty}}}}}\\&\OK {\złamania {{\text{chwili}}\cDOT na {\text{min}}}{5,252}}\end{wyrównany}}}
bo 5252.,113122 ≈ 33 , 000 2 π . {\displaystyle 5252.113122\approx {\frac{33,000} {2 \ pi }}.\ ,}
Leave a Reply