Cuplu

dacă o forță este permis să acționeze printr-o distanță, este de a face munca mecanică. În mod similar, dacă cuplul este permis să acționeze printr-o distanță de rotație, acesta lucrează. Din punct de vedere matematic, pentru rotație în jurul unei axe fixe prin centrul de masă, activitatea W poate fi exprimată ca

W = ∫ θ 1 θ 2 τ d θ , {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\uta \ \mathrm {d} \theta ,}

în cazul în care τ este cuplului, și θ1 și θ2 reprezintă (respectiv) la inițială și finală poziții unghiulare a corpului.,isplacement, limitele de integrare, de asemenea, modifica în mod corespunzător, oferindu –

W = ∫ θ 1 θ 2 τ → ⋅ d θ → {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\vec {\uta }}\cdot \mathrm {d} {\vec {\theta }}} W = ∫ θ 1 θ 2 τ d θ {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\uta \,\mathrm {d} \theta }

rezultă din lucrarea-energia teorema care W reprezintă, de asemenea, o schimbare în energie cinetică de rotație Er a corpului, dat de

E r = 1 2 I ω 2 , {\displaystyle E_{\mathrm {r} }={\tfrac {1}{2}}mi\omega ^{2},}

în cazul în care I este momentul de inerție al corpului și ω este viteza unghiulară.,

Putere este de lucru pe unitatea de timp, dat de

P = τ ⋅ ω , {\displaystyle P={\boldsymbol {\uta }}\cdot {\boldsymbol {\omega }},}

în cazul în care P este puterea, τ este cuplul, ω este viteza unghiulară, iar ⋅ {\displaystyle \cdot } reprezintă produsul scalar.din punct de vedere algebric, ecuația poate fi rearanjată pentru a calcula cuplul pentru o anumită viteză unghiulară și putere de ieșire., Rețineți că puterea injectată de cuplu depinde numai de viteza unghiulară instantanee – nu de faptul dacă viteza unghiulară crește, scade sau rămâne constantă în timp ce cuplul este aplicat (acest lucru este echivalent cu cazul liniar în care puterea injectată de o forță depinde numai de viteza instantanee – nu de accelerația rezultată, dacă există).,

În practică, această relație poate fi observată în biciclete: Biciclete sunt, de obicei, compus din două roți din față și din spate unelte (denumite pinioane) discretizare cu un lanț circular, și un schimbător de mecanism dacă bicicleta e de transport și de sistem permite mai multe rapoarte de transmisie pentru a fi utilizate (de exemplu, multi-viteza de biciclete), toate din care atașat la cadru. Un ciclist, persoana care plimbari cu bicicleta, furnizează puterea de intrare prin rotirea pedale, cranking astfel pinionul din față (denumit în mod obișnuit ca chainring)., Puterea de intrare furnizată de ciclist este egală cu produsul cadenței (adică numărul de rotații ale pedalei pe minut) și cuplul pe axul manivelei bicicletei. Trenul de rulare al bicicletei transmite puterea de intrare la Roata rutieră, care la rândul său transmite puterea primită pe șosea ca putere de ieșire a bicicletei. În funcție de raportul de transmisie al bicicletei, o pereche de intrare (cuplu, rpm)este transformată într-o pereche de ieșire (cuplu, rpm)., Prin utilizarea unei viteze spate mai mari sau prin trecerea la o treaptă inferioară în bicicletele cu mai multe viteze, viteza unghiulară a roților rutiere este scăzută în timp ce cuplul este crescut, al cărui produs (adică puterea) nu se schimbă.

trebuie utilizate unități consistente. Pentru unitățile metrice SI, puterea este în wați, cuplul este newton metri și viteza unghiulară este radiani pe secundă (nu rpm și nu rotații pe secundă).de asemenea, unitatea newton metru este dimensional echivalent cu joule, care este unitatea de energie., Cu toate acestea, în cazul cuplului, unitatea este atribuită unui vector, în timp ce pentru energie este atribuită unui scalar. Aceasta înseamnă că echivalența dimensională a metrului newton și a joulei poate fi aplicată în primul caz, dar nu și în cel de-al doilea caz. Această problemă este abordată în analiza orientațională care tratează radianii ca o unitate de bază, mai degrabă decât o unitate adimensională.

conversia în alte unitățiedit

un factor de conversie poate fi necesar atunci când se utilizează diferite unități de putere sau cuplu., De exemplu, dacă viteza de rotație (rotații pe timp) este utilizată în locul vitezei unghiulare (radiani pe timp), înmulțim cu un factor de 2π radiani pe revoluție. În următoarele formule, P este putere, τ Este cuplu, iar ν (litera greacă nu) este viteza de rotație.

P = τ ⋅ 2 π ⋅ ν {\displaystyle P=\uta \cdot 2\pi \cdot \nu }

de unități care Prezintă:

P ( W ) = τ ( N ⋅ m ) ⋅ 2 π ( r o d / r e v ) ⋅ ν ( r e v / s e c ) {\displaystyle P({\rm {W}})=\uta {\rm {(N\cdot m)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu {\rm {(rot/sec)}}}

Împărțirea de 60 de secunde pe minut ne dă următoarele.,

P ( W ) = τ ( N ⋅ m ) ⋅ 2 π ( r o d / r e v ) ⋅ ν ( r p m ) 60 {\displaystyle P({\rm {W}})={\frac {\uta {\rm {(N\cdot m)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu {\rm {(rpm)}}}{60}}}

în cazul în care viteza de rotație este în rotații pe minut (rpm).unii oameni (de exemplu, ingineri auto americani) folosesc cai putere (mecanice) pentru putere, picior de lire sterline (lbf⋅ft) pentru cuplu și rpm pentru viteza de rotație. Aceasta are ca rezultat schimbarea formulei în:

P (h p) = τ ( l b f ⋅ f t) ⋅ 2 π ( r A d / r E v ) ν ν ( r p m) 33.000 ., {\displaystyle P({\rm {cp}})={\frac {\uta {\rm {(lbf\cdot ft)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu ({\rm {rpm}})}{33,000}}.}

constanta de mai jos (în picioare-lire pe minut) se schimbă odată cu definiția puterii; de exemplu, folosind cai putere metrice, devine aproximativ 32.550.

utilizarea altor unități (de exemplu, BTU pe oră pentru putere) ar necesita un factor de conversie personalizat diferit.

Derivareedit

pentru un obiect rotativ, distanța liniară acoperită la circumferința de rotație este produsul razei cu unghiul acoperit., Adică: distanța liniară = raza × distanța unghiulară. Și prin definiție, distanța liniară = Viteza liniară × timpul = raza × viteza unghiulară × timpul.

prin definiția cuplului: cuplu = rază × forță. Putem rearanja acest lucru pentru a determina forța = cuplu ÷ raza. Aceste două valori pot fi înlocuite în definiția puterii:

putere = forță ⋅ timp de distanță liniară = (cuplu r) ⋅ (r ⋅ viteză unghiulară ⋅ t) t = cuplu ⋅ viteză unghiulară ., {\displaystyle {\begin{aliniat}{\text{putere}}&={\frac {{\text{vigoare}}\cdot {\text{distanța liniară}}}{\text{timp}}}\\&={\frac {\left({\dfrac {\text{cuplu}}{r}}\right)\cdot (r\cdot {\text{viteză unghiulară}}\cdot t)}{t}}\\&={\text{cuplu}}\cdot {\text{viteză unghiulară}}.\ end{aliniat}}}

raza r și timpul t au ieșit din ecuație. Cu toate acestea, viteza unghiulară trebuie să fie în radiani, prin relația directă presupusă între Viteza liniară și viteza unghiulară la începutul derivării., Dacă viteza de rotație este măsurată în rotații pe unitatea de timp, Viteza liniară și distanța sunt crescute proporțional cu 2π în derivația de mai sus pentru a da:

putere = cuplu ⋅ 2 π ⋅ viteză de rotație . {\displaystyle {\text{putere}} = {\text{cuplu}} \ cdot 2 \ pi \ cdot {\text{viteză de rotație}}.\ ,}

dacă cuplul este în metri newton și viteza de rotație în rotații pe secundă, ecuația de mai sus dă putere în metri newton pe secundă sau wați., Dacă se utilizează unități imperiale și dacă cuplul este în kilograme-picioare de forță și viteză de rotație în rotații pe minut, ecuația de mai sus dă putere în kilograme de picior-forță pe minut.,n obținute prin aplicarea factorului de conversie de 33000 ft⋅lbf/min pe cai putere:

putere = cuplu ⋅ 2 π ⋅ viteza de rotație a ⋅ ft ⋅ lbf min ⋅ cp 33 , 000 ⋅ ft ⋅ lbf min ≈ cuplu ⋅ RPM 5 , 252 {\displaystyle {\begin{aliniat}{\text{putere}}&={\text{cuplu}}\cdot 2\pi \cdot {\text{viteza de rotație}}\cdot {\frac {{\text{ft}}\cdot {\text{lbf}}}{\text{min}}}\cdot {\frac {\text{cp}}{33,000\cdot {\frac {{\text{ft}}\cdot {\text{lbf}}}{\text{min}}}}}\\&\cca {\frac {{\text{cuplu}}\cdot {\text{RPM}}}{5,252}}\end{aliniat}}}

pentru 5252.,113122 ≈ 33 , 000 2 π . {\displaystyle 5252.113122 \ approx {\frac {33,000} {2 \ pi }}.\ ,}