Dreiemoment

Hvis en kraft er lov til å handle gjennom en avstand, det er å gjøre mekanisk arbeid. Tilsvarende, hvis dreiemoment er lov til å handle gjennom en roterende avstand, det er å utføre arbeid. Matematisk, for rotasjon om en fast akse gjennom sentrum av massen, er arbeidet W, som kan uttrykkes som

W = ∫ θ 1 θ 2 τ d θ , {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta ,}

hvor τ er dreiemoment, og θ1 og θ2 representerer henholdsvis første og siste kantete posisjoner av kroppen.,isplacement, grensene for integrering også endres tilsvarende, noe som gir

W = ∫ θ 1 θ 2 τ → ⋅ d θ → {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\vec {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\vec {\theta }}} W = ∫ θ 1 θ 2 τ d θ {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \,\mathrm {d} \theta }

Det følger av arbeid og energi-teoremet at B også representerer endringen i den roterende kinetisk energi Er i kroppen, gitt ved

E r = 1 2 jeg ω 2 , {\displaystyle E_{\mathrm {r} }={\tfrac {1}{2}}jeg\omega ^{2},}

hvor jeg er treghetsmoment av kroppen og ω er sin kantete hastighet.,

Strømmen er på arbeid per tidsenhet, gitt ved

P = τ ⋅ ω , {\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }},}

hvor P er makt, τ er dreiemoment, ω er angular velocity, og ⋅ {\displaystyle \cdot } representerer skalar produktet.

Algebraically, ligningen kan omorganiseres for å beregne moment for en gitt angulær hastighet og effekt., Merk at strømmen injisert av dreiemoment avhenger bare på momentant angulær hastighet – ikke på hvorvidt kantete hastigheten øker, synker, eller forblir konstant, mens dreiemomentet blir brukt (dette tilsvarer det lineære tilfellet der makt injiseres med en kraft som bare avhenger momentant hastighet – ikke på den resulterende akselerasjonen, hvis noen).,

I praksis, er dette forhold som kan observeres i sykkel: – Sykler er vanligvis sammensatt av to road hjul, foran og bak tannhjul (referert til som tannhjulene) modellering med en sirkulær kjeden, og en giret mekanisme hvis sykkelen er transmission system gjør at flere girforhold som skal brukes (dvs. multi-girs sykkel), som er festet til rammen. En syklist, person som rir på sykkel, gir input strøm ved å slå pedaler, og dermed spy foran drivhjul (ofte referert til som krankdrev)., Inngangsstrømmen gitt av syklist er lik produktet av cadence (dvs. antall pedal omdreininger per minutt) og dreiemoment på spindel av sykkel er kranksett. Sykkelen er drivverk overfører inngangseffekt til veien sykling, som igjen formidler den fikk makt til veien som utgangseffekt av sykkelen. Avhengig av girutveksling av sykkel, en (dreiemoment, rpm)inngang par er konvertert til en (dreiemoment, rpm)utgang par., Ved hjelp av en større bakre giret, eller ved å skifte til et lavere gir i multi-speed sykler, angulær hastighet på veien hjul er redusert, mens dreiemomentet er økt, produktet av disse (dvs. strøm) endres ikke.

Konsistente enheter må brukes. For metriske SI-enheter, effekt er watt, dreiemoment er newton meter og angulær hastighet er radianer per sekund (ikke rpm og ikke omdreininger per sekund).

Også, enheten newton meter er dimensjonalt tilsvarende joule, som er enheten for energi., Imidlertid, i tilfelle av dreiemoment, den enhet som er tilordnet til en vektor, mens for energi, det er tilordnet til en skalar. Dette betyr at dimensjonale ekvivalensen av newton meter og joule kan anvendes i det tidligere, men ikke i det siste tilfellet. Dette problemet er tatt opp i orientational analyse som behandler radianer som en grunnleggende enhet snarere enn en dimensionless enhet.

Konvertering til andre unitsEdit

En omregningsfaktor kan være nødvendig når du bruker forskjellige enheter av makt eller kraft., For eksempel, hvis rotasjonshastighet (omdreininger per gang) er brukt i stedet for angulær hastighet (radianer per gang), må vi multiplisere med en faktor på 2π radianer per omdreining. I det følgende formler, S er makt, τ er dreiemoment, og ν (gresk bokstav nu) er rotasjonshastighet.

P = τ ⋅ 2 π ⋅ ν {\displaystyle P=\tau \cdot 2\pi \cdot \nu }

som Viser enheter:

P ( W ) = τ ( N ⋅ m ) ⋅ 2 π ( r en d / r e v ) ⋅ ν ( r e v / s ø k ) {\displaystyle P({\rm {W}})=\tau {\rm {(N\cdot m)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu {\rm {(rev/sek)}}}

å Dele med 60 sekunder per minutt gir oss følgende.,

P ( W ) = τ ( N ⋅ m ) ⋅ 2 π ( r en d / r e v ) ⋅ ν ( r-p m ) 60 {\displaystyle P({\rm {W}})={\frac {\tau {\rm {(N\cdot m)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu {\rm {(rpm)}}}{60}}}

hvor rotasjonshastighet er i omdreininger per minutt (rpm).

Noen mennesker (f.eks., American automotive engineers) bruk hestekrefter (mekanisk) for strøm -, fot-pund (lbf⋅m) for dreiemoment og turtall for rotasjonshastighet. Dette resulterer i formelen endre til:

P ( h s ) = τ ( l b f ⋅ f t ) ⋅ 2 π ( r en d / r e v ) ⋅ ν ( r-p m ) 33 , 000 ., {\displaystyle P({\rm {hp}})={\frac {\tau {\rm {(lbf\cdot m)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu ({\rm {rpm}})}{33,000}}.}

Den konstante nedenfor (i fot-pund per minutt) endringer med definisjonen av hestekrefter, for eksempel ved hjelp av beregning hestekrefter, det blir ca 32,550.

bruke andre enheter (f.eks., BTU per time for strøm) ville kreve en annen tilpasset omregningsfaktor.

DerivationEdit

For en roterende objekt, lineær distanse på omkretsen av rotasjon er produktet av radius med vinkelen dekket., Det er: lineær avstand = radius × kantete avstand. Og per definisjon lineær avstand = lineær hastighet × time = radius × angulær hastighet × tid.

av definisjonen av dreiemoment: dreiemoment = radius × kraft. Vi kan ordne dette for å bestemme kraft = dreiemoment ÷ radius. Disse to verdiene kan byttes ut i definisjon av makt:

power = kraft ⋅ lineær avstand time = ( dreiemoment r ) ⋅ ( r ⋅ angulær hastighet ⋅ t ) t = dreiemoment ⋅ angulær hastighet ., {\displaystyle {\begin{justert}{\text{power}}&={\frac {{\text{kraft}}\cdot {\text{lineær avstand}}}{\text{time}}}\\&={\frac {\left({\dfrac {\text{dreiemoment}}{r}}\right)\cdot (r\cdot {\text{angulær hastighet}}\cdot t)}{t}}\\&={\text{dreiemoment}}\cdot {\text{angulær hastighet}}.\end{justert}}}

radius r og tid t har droppet ut av ligningen. Imidlertid, angulær hastighet må være i radianer, av den antatte direkte sammenheng mellom lineær hastighet og angulær hastighet på begynnelsen av derivasjon., Hvis turtallet er målt i omdreininger per tidsenhet, den lineære hastighet og avstanden er økt proporsjonalt med 2π i over avledning for å gi:

power = dreiemoment ⋅ 2 π ⋅ rotasjonshastighet . {\displaystyle {\text{power}}={\text{dreiemoment}}\cdot 2\pi \cdot {\text{rotasjonshastighet}}.\,}

Hvis dreiemoment er i newton meter og rotasjonshastighet i omdreininger per sekund, ligningen over gir kraft i newton meter per sekund eller watt., Hvis Imperial enheter er brukt, og hvis dreiemoment er i pund-styrke føtter og rotasjonshastighet i omdreininger per minutt, og ligningen over gir makt i fot-pund-kraft per minutt.,n avledet ved å anvende omregningsfaktor 33,000 ft⋅lbf/min per hk:

power = dreiemoment ⋅ 2 π ⋅ rotasjonshastighet ⋅ m ⋅ lbf min ⋅ hk 33 , 000 ⋅ m ⋅ lbf min ≈ dreiemoment ⋅ RPM 5 , 252 {\displaystyle {\begin{justert}{\text{power}}&={\text{dreiemoment}}\cdot 2\pi \cdot {\text{rotasjonshastighet}}\cdot {\frac {{\text{m}}\cdot {\text{lbf}}}{\text{min}}}\cdot {\frac {\text{hestekrefter}}{33,000\cdot {\frac {{\text{m}}\cdot {\text{lbf}}}{\text{min}}}}}\\&\ca {\frac {{\text{dreiemoment}}\cdot {\text{RPM}}}{5,252}}\end{justert}}}

fordi 5252.,113122 ≈ 33 , 000 2 π . {\displaystyle 5252.113122\ca {\frac {33,000}{2\pi }}.\,}