Coppia

Se una forza è permesso di agire attraverso una distanza, sta facendo un lavoro meccanico. Allo stesso modo, se la coppia è permesso di agire attraverso una distanza di rotazione, sta facendo il lavoro. Matematicamente, per rotazione intorno ad un asse fisso attraverso il centro di massa, il lavoro W può essere espresso come

W = ∫ q 1, q 2 τ d, q,, {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta}

dove t è la coppia, e θ1 e θ2 rappresentano, rispettivamente, l’iniziale e la finale posizione angolare del corpo.,isplacement, i limiti di integrazione anche modificare corrispondentemente, dando

W = ∫ q 1, q 2 τ → ⋅ d θ → {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\vec {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\vec {\theta }}} W = ∫ q 1, q 2 τ d θ {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \,\mathrm {d} \theta }

segue il lavoro-energia teorema che W rappresenta il cambiamento in energia cinetica di rotazione Er del corpo, dato da

r = 1 2 I ω 2 , {\displaystyle E_{\mathrm {r} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2},}

dove i è il momento d’inerzia del corpo e ω è la sua velocità angolare.,

Potenza è il lavoro per unità di tempo, dato da

P = τ ω ω , {\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega}},}

dove P è potenza, τ è coppia, ω è la velocità angolare e ⋅ {\displaystyle \cdot } rappresenta il prodotto scalare.

Algebricamente, l’equazione può essere riorganizzata per calcolare la coppia per una data velocità angolare e potenza., Si noti che la potenza iniettata dalla coppia dipende solo dalla velocità angolare istantanea – non dal fatto che la velocità angolare aumenti, diminuisca o rimanga costante durante l’applicazione della coppia (questo è equivalente al caso lineare in cui la potenza iniettata da una forza dipende solo dalla velocità istantanea – non dall’accelerazione risultante, se presente).,

In pratica, questa relazione può essere osservata nelle biciclette: le biciclette sono tipicamente composte da due ruote stradali, ingranaggi anteriori e posteriori (indicati come pignoni) che si ingranano con una catena circolare e un meccanismo di deragliatore se il sistema di trasmissione della bicicletta consente di utilizzare più rapporti di trasmissione (cioè bicicletta a più velocità), tutti collegati al telaio. Un ciclista, la persona che cavalca la bicicletta, fornisce la potenza di ingresso ruotando i pedali, quindi avviando il pignone anteriore (comunemente indicato come corona)., La potenza in ingresso fornita dal ciclista è pari al prodotto della cadenza (cioè il numero di giri del pedale al minuto) e alla coppia sul mandrino della guarnitura della bicicletta. La trasmissione della bicicletta trasmette la potenza in ingresso alla ruota stradale, che a sua volta trasmette la potenza ricevuta alla strada come potenza di uscita della bicicletta. A seconda del rapporto di trasmissione della bicicletta, una coppia di ingresso (coppia, rpm)viene convertita in una coppia di uscita (coppia, rpm)., Utilizzando una marcia posteriore più grande o passando a una marcia inferiore nelle biciclette a più velocità, la velocità angolare delle ruote stradali viene ridotta mentre la coppia viene aumentata, il cui prodotto (cioè la potenza) non cambia.

Devono essere utilizzate unità coerenti. Per le unità SI metriche, la potenza è watt, la coppia è newton metri e la velocità angolare è radianti al secondo (non rpm e non giri al secondo).

Inoltre, l’unità newton metro è dimensionalmente equivalente al joule, che è l’unità di energia., Tuttavia, nel caso della coppia, l’unità viene assegnata a un vettore, mentre per l’energia viene assegnata a uno scalare. Ciò significa che l’equivalenza dimensionale del newton metro e del joule può essere applicata nel primo caso, ma non nel secondo caso. Questo problema è affrontato nell’analisi orientazionale che tratta i radianti come un’unità di base piuttosto che un’unità adimensionale.

Conversione in altre unitàmodifica

Un fattore di conversione può essere necessario quando si utilizzano diverse unità di potenza o coppia., Ad esempio, se la velocità di rotazione (giri per volta) viene utilizzata al posto della velocità angolare (radianti per volta), moltiplichiamo per un fattore di 2π radianti per giro. Nelle seguenti formule, P è potenza, τ è coppia e ν (lettera greca nu) è velocità di rotazione.

P = τ ⋅ 2 π ⋅ n {\displaystyle P=\tau \cdot 2\pi \cdot \nu }

Mostrando quote:

P ( W ) = τ ( N ⋅ m ) ⋅ 2 π ( r a d / r e v ) ⋅ n ( r e v / s e c ) {\displaystyle P({\rm {W}})=\tau {\rm {(N\cdot m)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu {\rm {(giri/sec)}}}

Dividere per 60 secondi al minuto ci dà la seguente.,

P ( W ) = τ ( N ⋅ m ) ⋅ 2 π ( r a d / r e v ) ⋅ n ( r p m ) 60 {\displaystyle P({\rm {W}})={\frac {\tau {\rm {(N\cdot m)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu {\rm {(rpm)}}}{60}}}

in cui la velocità di rotazione in giri al minuto (rpm).

Alcune persone (ad esempio, ingegneri automobilistici americani) usano cavalli (meccanici) per il potere, piedi-libbre (lbf ft ft) per la coppia e rpm per la velocità di rotazione. Ciò si traduce nella modifica della formula in:

P ( h p ) = τ ( l b f t f t) 2 2 π ( r a d / r e v) ν ν ( r p m ) 33.000 ., Il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti per migliorare la tua esperienza di navigazione.}

La costante sottostante (in libbre al minuto) cambia con la definizione della potenza; ad esempio, utilizzando la potenza metrica, diventa circa 32.550.

L’uso di altre unità (ad esempio, BTU all’ora per la potenza) richiederebbe un diverso fattore di conversione personalizzato.

Derivazioneedit

Per un oggetto rotante, la distanza lineare coperta alla circonferenza di rotazione è il prodotto del raggio con l’angolo coperto., Cioè: distanza lineare = raggio × distanza angolare. E per definizione, distanza lineare = velocità lineare × tempo = raggio × velocità angolare × tempo.

Dalla definizione di coppia: coppia = raggio × forza. Possiamo riorganizzare questo per determinare forza = coppia ÷ raggio. Questi due valori possono essere sostituiti nella definizione di potenza:

power = force time linear distance time = (torque r ) speed (r speed angular speed t t) t = torque speed angular speed ., {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{potenza}}&={\frac {{\text{vigore}}\cdot {\text{distanza lineare}}}{\text{tempo}}}\\&={\frac {\left({\dfrac {\text{coppia}}{r}}\right)\cdot (r\cdot {\text{velocità angolare}}\cdot t)}{t}}\\&={\text{coppia}}\cdot {\text{velocità angolare}}.\ end {aligned}}}

Il raggio r e il tempo t sono usciti dall’equazione. Tuttavia, la velocità angolare deve essere in radianti, per la presunta relazione diretta tra velocità lineare e velocità angolare all’inizio della derivazione., Se la velocità di rotazione è misurata in giri per unità di tempo, la velocità lineare e la distanza sono aumentate proporzionalmente di 2π nella derivazione di cui sopra per dare:

potenza = coppia ⋅ 2 π speed velocità di rotazione . {\displaystyle {\text {power}}={\text {torque}} \ cdot 2 \ pi \ cdot {\text {velocità di rotazione}}.\ ,}

Se la coppia è espressa in newton metri e la velocità di rotazione espressa in giri al secondo, l’equazione di cui sopra fornisce potenza espressa in newton metri al secondo o in watt., Se vengono utilizzate unità imperiali, e se la coppia è in libbre-forza piedi e velocità di rotazione in giri al minuto, l’equazione di cui sopra dà potenza in libbre piedi-forza al minuto.,n ricavate applicando il fattore di conversione di 33.000 ft⋅lbf/min per i cavalli vapore:

potenza = coppia ⋅ 2 π ⋅ velocità di rotazione ⋅ ft ⋅ lbf min ⋅ cv 33 , 000 ⋅ ft ⋅ lbf min ≈ coppia ⋅ RPM 5 , 252 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{potenza}}&={\text{coppia}}\cdot 2\pi \cdot {\text {“velocità di rotazione}}\cdot {\frac {{\text{ft}}\cdot {\text{n}}}{\text{min}}}\cdot {\frac {\text{potenza}}{33,000\cdot {\frac {{\text{ft}}\cdot {\text{n}}}{\text{min}}}}}\\&\ca {\frac {{\text{coppia}}\cdot {\text{RPM}}}{5,252}}\end{aligned}}}

perché 5252.,113122 ≈ 33 , 000 2 π . il nostro sito utilizza cookie tecnici e di terze parti.\,}