Koppel

als een kracht over een afstand mag inwerken, doet hij mechanisch werk. Op dezelfde manier, als het koppel is toegestaan om te handelen door middel van een rotatieafstand, het doet werk. Wiskundig gezien kan het werk W worden uitgedrukt als

W = θ θ 1 θ 2 τ D θ, {\displaystyle W=\int _ {\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \ mathrm {d} \theta,}

waar τ koppel is, en θ1 en θ2 (respectievelijk) de begin-en eindhoekposities van het lichaam vertegenwoordigen.,isplacement, de grenzen van de integratie ook veranderen dienovereenkomstig te geven

W = ∫ θ 1 θ 2 τ → ⋅ d θ → {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\vec {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\vec {\theta }}} W = ∫ θ 1 θ 2 τ d θ {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \,\mathrm {d} \theta }

Het volgt uit de werk-energie stelling dat W vertegenwoordigt ook de verandering in de rotatie kinetische energie Er van het lichaam, gegeven door

E r = 1 2 I ω 2 , {\displaystyle E_{\mathrm {r} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2},}

waar I is het traagheidsmoment van het lichaam en ω is de hoeksnelheid.,

vermogen is het werk per tijdseenheid, gegeven door

p = τ ω ω, {\displaystyle P={\boldsymbol {\tau}} \cdot {\boldsymbol {\Omega }},}

waarbij P macht is, τ koppel, ω de hoeksnelheid is en ⋅ {\displaystyle \cdot } het scalaire product vertegenwoordigt.

algebraïsch kan de vergelijking worden herschikt om het koppel te berekenen voor een bepaald hoektoerental en uitgangsvermogen., Merk op dat het door het koppel geïnjecteerde vermogen alleen afhangt van het momentane hoektoerental – niet van de vraag of het hoektoerental toeneemt, afneemt of constant blijft terwijl het koppel wordt uitgeoefend (dit is gelijk aan het lineaire geval waarin het door een kracht geïnjecteerde vermogen alleen afhangt van het momentane toerental – niet van de resulterende versnelling, indien van toepassing).,

in de praktijk kan dit verband worden waargenomen bij fietsen: fietsen bestaan doorgaans uit twee wielen, voor-en achterwielen (“tandwielen” genoemd) die met een cirkelvormige ketting worden gemengd, en een derailleurmechanisme als het transmissiesysteem van de fiets het gebruik van meerdere overbrengingsverhoudingen mogelijk maakt (d.w.z. fiets met meerdere snelheden), die allemaal aan het frame zijn bevestigd. Een fietser, de persoon die op de fiets rijdt, zorgt voor het ingangsvermogen door pedalen te draaien, waardoor het voorwiel (meestal aangeduid als kettingblad) wordt aangezwengeld., Het door de fietser geleverde ingangsvermogen is gelijk aan het product van de cadans (d.w.z. het aantal omwentelingen per minuut in het pedaal) en het koppel op de spindel van het crankstel van de fiets. De aandrijving van de fiets verzendt het ingangsvermogen naar het wiel, dat op zijn beurt het ontvangen vermogen naar de weg overbrengt als het uitgangsvermogen van de fiets. Afhankelijk van de overbrengingsverhouding van de fiets wordt een (koppel, omw / min)ingangspaar omgezet in een (koppel, omw / min)uitgangspaar., Door gebruik te maken van een grotere achterversnelling, of door over te schakelen op een lagere versnelling in multi-speed fietsen, wordt de hoeksnelheid van de wielen verlaagd terwijl het koppel wordt verhoogd, waarvan het product (d.w.z. het vermogen) niet verandert.

consistente eenheden moeten worden gebruikt. Voor metrische SI-eenheden is het vermogen Watt, het koppel is newton meter en de hoeksnelheid is radialen per seconde (geen toerental en geen omwentelingen per seconde).

ook is de eenheid newton meter dimensioneel equivalent aan de joule, die de eenheid van energie is., In het geval van koppel wordt de eenheid echter toegewezen aan een vector, terwijl voor energie aan een scalar wordt toegewezen. Dit betekent dat de dimensionale equivalentie van de newton meter en de joule in het eerste kan worden toegepast, maar niet in het laatste geval. Dit probleem wordt aangepakt in de oriënterende analyse die radialen behandelt als een basiseenheid in plaats van een dimensieloze eenheid.

conversie naar andere unitsEdit

een conversiefactor kan nodig zijn bij gebruik van verschillende vermogens-of koppeleenheden., Bijvoorbeeld, als rotatiesnelheid (omwentelingen per tijd) wordt gebruikt in plaats van hoeksnelheid (radialen per tijd), vermenigvuldigen we met een factor van 2π radialen per omwenteling. In de volgende formules is P macht, τ koppel en ν (Griekse letter nu) rotatiesnelheid.

p = τ 2 2 π ν ν {\displaystyle P=\tau \cdot 2\pi \cdot \nu }

toont eenheden:

P ( W ) = τ ( N m M) ⋅ 2 π ( r A d / r e v) ν ν ( r e v / S E c ) {\displaystyle P({\rm {W}})=\tau {\RM {(n\cdot m)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu {\RM {(Rev/sec)}}}

delen door 60 seconden per minuut geeft ons het volgende.,

P ( W ) = τ ( n ⋅ m ) ⋅ 2 π ( r a d / r e v) ν ν ( r p m ) 60 {\displaystyle P ({\rm {W}}) = {\frac {\tau {\RM {(N \ cdot m)}}\cdot 2 \ pi {\rm {(rad / rev)}}\cdot \nu {\rm {(rpm))}}}{60}}}

waarbij de rotatiesnelheid in omwentelingen per minuut (TPM) is.

sommige mensen (bijvoorbeeld Amerikaanse Automotive engineers) gebruiken pk (mechanisch) voor vermogen, foot-pounds (lbf⋅ft) voor koppel en toerental voor rotatiesnelheid. Dit resulteert in de formule die verandert in:

P ( h p ) = τ ( l b f ⋅ F t ) ⋅ 2 π ( r a d / r e v) ν ν ( r p m ) 33.000 ., {\displaystyle P ({\RM {hp}}) = {\frac {\tau {\RM {(lbf \ cdot ft)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu ({\rm {rpm}})} {33,000}}.}

de constante hieronder (in foot-pounds per minuut) verandert met de definitie van de PK; bijvoorbeeld, met behulp van metrische pk wordt het ongeveer 32.550.

het gebruik van andere eenheden (bijvoorbeeld BTU per uur voor vermogen) vereist een andere aangepaste conversiefactor.

DerivationEdit

voor een roterend object is de lineaire afstand die wordt afgelegd bij de omtrek van de rotatie het product van de straal met de gedekte hoek., Dat wil zeggen: lineaire afstand = straal × hoekafstand. En per definitie, lineaire afstand = lineaire snelheid × tijd = straal × hoeksnelheid × tijd.

volgens de definitie van koppel: koppel = straal × kracht. We kunnen dit herschikken om kracht = koppel ÷ radius te bepalen. Deze twee waarden kunnen worden vervangen door de definitie van vermogen:

vermogen = kracht linear lineaire afstandtijd = ( koppel r) ⋅ (R ⋅ hoektoerental ⋅ t ) t = koppel ⋅ hoektoerental ., {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{power}}&={\frac {{\text{force}}\cdot {\text{lineaire afstand}}}{\text{tijd}}}\\&={\frac {\left({\dfrac {\text{koppel}}{r}}\right)\cdot (r\cdot {\text{hoeksnelheid}}\cdot t)}{t}}\\&={\text{koppel}}\cdot {\text{hoeksnelheid}}.\ end{aligned}}}

De straal r en de tijd t zijn uit de vergelijking gevallen. De hoeksnelheid moet echter in radialen zijn, door de veronderstelde directe relatie tussen lineaire snelheid en hoeksnelheid aan het begin van de afleiding., Als de rotatiesnelheid in omwentelingen per tijdseenheid wordt gemeten, worden de lineaire snelheid en de afstand proportioneel met 2π in de bovenstaande afleiding verhoogd om te geven:

vermogen = koppel π 2 π π rotatiesnelheid . {\displaystyle {\text{power}}={\text{torque}}\cdot 2 \ pi \ cdot {\text{rotatiesnelheid}}.\ ,}

als het koppel in newton meter en het toerental in omwentelingen per seconde is, geeft bovenstaande vergelijking het vermogen in newton meter per seconde of watt., Als imperiale eenheden worden gebruikt, en als het koppel in ponden-kracht voeten en rotatiesnelheid in omwentelingen per minuut is, geeft de bovenstaande vergelijking vermogen in Voet-ponden-kracht per minuut.,n verkregen door toepassing van de conversie factor van 33.000 ft⋅lbf/min per pk:

vermogen = koppel ⋅ 2 π ⋅ rotatiesnelheid ⋅ ft ⋅ lbf min ⋅ pk 33 , 000 ⋅ ft ⋅ lbf min ≈ koppel ⋅ RPM 5 , 252 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{power}}&={\text{koppel}}\cdot 2\pi \cdot {\text{rotatiesnelheid}}\cdot {\frac {{\text{ft}}\cdot {\text{lbf}}}{\text{min}}}\cdot {\frac {\text{pk}}{33,000\cdot {\frac {{\text{ft}}\cdot {\text{lbf}}}{\text{min}}}}}\\&\ca {\frac {{\text{koppel}}\cdot {\text{RPM}}}{5,252}}\end{aligned}}}

omdat 5252.,113122 ≈ 33 , 000 2 π . {\displaystyle 5252.113122 \ approx {\frac {33,000}{2 \ pi }}.\,}