Drejningsmoment

Hvis en kraft får lov til at virke gennem en afstand, udfører den mekanisk arbejde. Tilsvarende, hvis drejningsmoment får lov til at virke gennem en rotationsafstand, udfører det arbejde. Matematisk, for rotation om en fast akse gennem centrum af masse, arbejde W kan udtrykkes som

W = ∫ θ 1 θ 2 τ d θ , {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta -,}

hvor τ er moment, og θ1 og θ2 repræsenterer henholdsvis den oprindelige og den endelige vinkel positioner af kroppen.,isplacement, grænserne for integration også ændre sig tilsvarende, hvilket giver

W = ∫ θ 1 θ 2 τ → ⋅ d θ → {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\vec {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\vec {\theta }}} W = ∫ θ 1 θ 2 τ d θ {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \,\mathrm {d} \theta }

det følger af Det arbejde-energi-sætning, at W også repræsenterer den ændring i den roterende kinetiske energi Er af kroppen, der er givet ved

E r = 1 2 i ω 2 , {\displaystyle E_{\mathrm {r} }={\tfrac {1}{2}}I\omega ^{2},}

hvor jeg er inertimoment af kroppen og ω er dens kantede hastighed.,

Power er arbejde pr tidsenhed, der er givet ved

P = τ ⋅ ω , {\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }},}

hvor P er magt, τ er moment, ω er vinkelhastigheden, og ⋅ {\displaystyle \cdot } repræsenterer skalar produkt.algebraisk kan ligningen omarrangeres for at beregne drejningsmoment for en given vinkelhastighed og effektudgang., Bemærk, at den effekt, der indsprøjtes af drejningsmomentet, kun afhænger af den øjeblikkelige vinkelhastighed – ikke af, om vinkelhastigheden øges, falder eller forbliver konstant, mens drejningsmomentet påføres (dette svarer til det lineære tilfælde, hvor kraften, der indsprøjtes af en kraft, kun afhænger af den øjeblikkelige hastighed – ikke af den resulterende acceleration, hvis nogen).,

I praksis, at dette forhold kan iagttages i cykler: Cykler er typisk sammensat af to hjul, forreste og bageste tandhjul (benævnt tandhjul) meshing med en cirkulær kæde og bagskifter mekanisme, hvis cyklen er transmission system giver flere gear at være brugt (dvs multi-speed cykel), som alle er fastgjort til rammen. En cyklist, den person, der kører på cyklen, leverer indgangseffekten ved at dreje pedaler og derved dreje det forreste tandhjul (ofte benævnt kædering)., Indgangseffekten fra cyklisten er lig med produktet af kadence (dvs.antallet af pedalomdrejninger pr. minut) og drejningsmomentet på spindlen på cyklens krumtapsæt. Cyklens gearsystem overfører indgangseffekten til vejhjulet, som igen overfører den modtagne effekt til vejen som cyklens udgangseffekt. Afhængigt af cyklens gearforhold omdannes et (drejningsmoment, rpm)indgangspar til et (drejningsmoment, rpm)udgangspar., Ved at bruge et større baghjul eller ved at skifte til et lavere gear i multi-speed cykler reduceres vinkelhastigheden af vejhjulene, mens drejningsmomentet øges, hvis produkt (dvs. effekt) ikke ændres.der skal anvendes konsistente enheder. For metriske SI-enheder er effekten watatt, drejningsmomentet er Ne .ton meter, og vinkelhastigheden er radianer pr.sekund (ikke rpm og ikke omdrejninger pr. sekund).

enheden ne .ton meter er også dimensionelt ækvivalent med joule, som er energienheden., I tilfælde af drejningsmoment er enheden imidlertid tildelt en vektor, mens den for energi er tildelt en skalar. Det betyder, at den dimensionelle ækvivalens af Ne .ton meter og joule kan anvendes i førstnævnte, men ikke i sidstnævnte tilfælde. Dette problem behandles i orienteringsanalyse, der behandler radianer som en basisenhed snarere end en dimensionsløs enhed.

konvertering til andre enhederrediger

en konverteringsfaktor kan være nødvendig, når der anvendes forskellige enheder af effekt eller drejningsmoment., For eksempel, hvis rotationshastighed (omdrejninger pr.tid) bruges i stedet for vinkelhastighed (radianer pr. tid), multiplicerer vi med en faktor på 2 radi radianer pr. omdrejning. I de følgende formler er P effekt, τ er drejningsmoment, og ν (græsk bogstav nu) er rotationshastighed.

P = τ ⋅ 2 π ⋅ ν {\displaystyle P=\tau \cdot 2\pi \cdot \nu }

Viser enheder:

P ( W ) = τ ( N ⋅ m ) ⋅ 2 π ( r en d / r e v ) ⋅ n ( r e v i s e c ) {\displaystyle P({\rm {W}})=\tau {\rm {(N\cdot m)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu {\rm {(omdr./sek)}}}

Dividere med 60 sekunder per minut giver os følgende.,

P ( W ) = τ ( N ⋅ m ) ⋅ 2 π ( r en d / r e v ) ⋅ ν ( r, p, m ) 60 {\displaystyle P({\rm {W}})={\frac {\tau {\rm {(N\cdot m)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu {\rm {(rpm)}}}{60}}}

hvor rotationshastigheden er i omdrejninger per minut (rpm).Amerikanske bilingeniører) bruger hestekræfter (mekanisk) til strøm, fod-pund (lbf ft ft) til drejningsmoment og omdrejningstal for rotationshastighed. Dette resulterer i , at formlen ændres til:

P ( h p ) = τ ( l b f ⋅ f t ) ⋅ 2 ((r A D / r e v). ν (r p m ) 33.000., {\displaystyle P({\rm {hp}})={\frac {\tau {\rm {(lbf\cdot ft)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu ({\rm {rpm}})}{33,000}}.}

konstanten nedenfor (i fod-pounds per minut) ændres med definitionen af hestekræfter; for eksempel ved hjælp af metrisk hestekræfter bliver det cirka 32.550.BTU pr. time for strøm) ville kræve en anden brugerdefineret konverteringsfaktor.

DerivationEdit

For et roterende objekt er den lineære afstand dækket ved omkredsen af rotation produktet af radius med vinklen dækket., Det vil sige: lineær afstand = radius.vinkelafstand. Definition lineær afstand = lineær hastighed = tid = radius.vinkelhastighed. tid.

ved definitionen af drejningsmoment: drejningsmoment = radius.kraft. Vi kan omarrangere dette for at bestemme kraft = drejningsmoment ÷ radius. Disse to værdier kan erstattes i definitionen af effekt:

effekt = kraft linear lineær afstandstid = ( drejningsmoment r) ⋅ (r ang vinkelhastighed ⋅ t ) t = drejningsmoment .vinkelhastighed., {\displaystyle {\begin{justeret}{\text{power}}&={\frac {{\text{kraft}}\cdot {\text{lineær afstand}}}{\text{tid}}}\\&={\frac {\left({\dfrac {\text{drejningsmoment}}{r}}\right)\cdot (r\cdot {\text{angulære hastighed}}\cdot t)}{t}}\\&={\text{drejningsmoment}}\cdot {\text{angulære hastighed}}.\ end{justeret}}}

radius r og tid t er faldet ud af ligningen. Vinkelhastigheden skal dog være i radianer, ved det formodede direkte forhold mellem lineær hastighed og vinkelhastighed ved begyndelsen af afledningen., Hvis rotationshastigheden måles i omdrejninger pr. tidsenhed, øges den lineære hastighed og afstand proportionalt med 2 .i ovennævnte afledning for at give:

effekt = drejningsmoment 2 2 π rot rotationshastighed. {\displaystyle {\text{power}}={\text{drejningsmoment}}\cdot 2\pi \cdot {\text{rotationshastighed}}.\ ,}

Hvis drejningsmomentet er i ne .ton meter og rotationshastighed i omdrejninger pr.sekund, giver ovenstående ligning effekt i ne .ton meter pr. sekund eller watatt., Hvis der anvendes kejserlige enheder, og hvis drejningsmomentet er i Pund-kraftfødder og rotationshastighed i omdrejninger pr.,n disse ved at anvende omregningsfaktoren 33,000 ft⋅lbf/min pr hestekræfter:

power = drejningsmoment ⋅ 2 π ⋅ rotationshastighed ⋅ m ⋅ lbf min ⋅ hestekræfter 33 , 000 ⋅ m ⋅ lbf min ≈ drejningsmoment ⋅ RPM 5 , 252 {\displaystyle {\begin{justeret}{\text{power}}&={\text{drejningsmoment}}\cdot 2\pi \cdot {\text{rotationshastighed}}\cdot {\frac {{\text{m}}\cdot {\text{lbf}}}{\text{min}}}\cdot {\frac {\text{hestekræfter}}{33,000\cdot {\frac {{\text{m}}\cdot {\text{lbf}}}{\text{min}}}}}\\&\ca {\frac {{\text{drejningsmoment}}\cdot {\text{RPM}}}{5,252}}\end{justeret}}}

fordi 5252.,113122 ≈ 33 , 000 2 π . {\displaystyle 5252.113122\ca {\frac {33,000}{2\pi }}.\,}