熱膨張

熱膨張を計算するときは、ボディが自由に膨張するか拘束されるかを考慮する必要があります。 身体が自由に膨張する場合、温度上昇に起因する膨張または歪みは、適用可能な熱膨張係数を用いて単純に計算することができる。

身体が膨張できないように拘束されている場合、内部応力は温度の変化によって引き起こされる（または変化する）。, この応力は、弾性またはヤング率によって特徴付けられる応力/ひずみ関係を通じて、身体が自由に膨張した場合に生じるひずみと、そのひずみをゼロに減少させるために必要な応力を考慮することによって計算することができる。 固体材料の特殊なケースでは、外部の周囲圧力は通常、物体のサイズにかなり影響を及ぼさないので、通常、圧力変化の影響を考慮する必要はありません。,

一般的なエンジニアリング固体は、通常、それらが使用されるように設計されている温度の範囲にわたって大きく変化しない熱膨張係数を有するので、非常に高い精度が必要とされない場合、実用的な計算は、膨張係数の定数、平均、値に基づいて行うことができる。

線形expansionEdit

線expansion張とは、体積の変化（体積expansion張）とは対照的に、一次元（長さ）の変化を意味します。,第一近似では、熱膨張による物体の長さ測定の変化は、線熱expansion張係数（CLTE）による温度変化に関連しています。 それは温度変化のある程度ごとの僅かの変更長さにです。 圧力の影響が無視できると仮定すると、

α L=1L d L d T{\displaystyle\alpha_{L}={\frac{1}{L}}\,{\frac{dL}{dT}}}

ここで、L{\displaystyle L}は特定の長さの測定値であり、d L/d T{\displaystyle dL/dT}は温度の単位変化あたりの線形次元の変化率である。,

線形次元の変化は次のように推定できる：

Δ L L=α L Δ T{\displaystyle{\frac{\Delta L}{L}}=\alpha_{L}\Delta T}

この推定は、線形expansion張係数が温度Δ T{\displaystyle\Delta T}の変化に対してあまり変化せず、長さの分数変化が小さいΔ L/L≤1{\displaystyle\Delta L/L\ll1}である限りうまくいく。 これらの条件のいずれかが成り立たない場合、厳密な微分方程式（d L/d T{\displaystyle dL/dT}を用いる）は積分されなければならない。,ted by:

ϵ t h e r m a l=α L Δ T{\displaystyle\epsilon_{\mathrm{thermal}}=\alpha_{L}\Delta T}

ここで、

Δ T=(T f i n a l−T i n i t i a l){\displaystyle\Delta T=(T_{\mathrm{final}}-T_{\mathrm{initial}})}

は記録された二つのひずみの間の温度の差である。fahrenheit,degrees rankine,degrees celsius,またはKelvins,およびα l{\displaystyle\alpha_{l}}は、”Per Degrees Fahrenheit”、”per degrees rankine”、”Per degrees celsius”、または”Per kelvin”における熱膨張率の線形係数であり、それぞれ°f−1、r−1、°C−1、またはk−1で表される。, 連続体力学の分野では，熱膨張とその効果を固有ひずみと固有ストレスとして扱った。

面積thermal張編集

面積熱expansion張係数は、材料の面積寸法の変化を温度の変化に関連付けます。 それは温度変化のある程度ごとの区域の僅かの変更です。, 圧力を無視して、

α A=1A d A d T{\displaystyle\alpha_{A}={\frac{1}{A}}\,{\frac{dA}{dT}}}

ここでa{\displaystyle A}は対象物上の関心領域であり、d a/d T{\displaystyle dA/dT}は温度の単位変化あたりのその面積の変化率である。,

面積の変化は次のように推定できる：

Δ A a=α A Δ T{\displaystyle{\frac{\Delta A}{A}}=\alpha_{A}\Delta T}

面積の膨張係数が温度Δ T{\displaystyle\Delta T}の変化に対してあまり変化しない限り、この式はうまく機能し、面積の分数変化が小さいΔ A/A≤1{\displaystyle\Delta A/A\ll1}。 これらの条件のいずれかが成り立たない場合は、方程式を積分する必要があります。,

体積expan張編集

固体の場合、材料に対する圧力の影響を無視することができ、体積熱expansion張係数は次のように書くことができます。

α V=1V d V d T{\displaystyle\alpha_{V}={\frac{1}{V}}\,{\frac{dV}{dT}}}

ここでV{\displaystyle V}は材料の体積であり、d V/d T{\displaystyle dV/dT}}}

ここで、v{\displaystyle V}は材料の体積であり、d V/d T{\displaystyle dV/dT}は温度によるその体積の変化率です。

これは、材料の体積が一定の端数量だけ変化することを意味します。 たとえば、体積が1立方メートルのスチールブロックは、1に拡大する可能性があります。,002立方メートル温度が50K上昇すると、これは0.2％の膨張である。 体積が2立方メートルの鋼のブロックがあれば、同じ条件下では2.004立方メートルに拡大し、再び0.2％の拡大になります。 容積expansion張係数は、0.2Kの場合は50％、または0.004％K−1になります。,

既に膨張係数がわかっていれば、体積の変化を計算することができる

Δ V V=α V Δ T{\displaystyle{\frac{\Delta V}{V}}=\alpha_{V}\Delta T}

上記の例では、温度が変化しても膨張係数は変化せず、体積の増加は元の体積に比べて小さいと仮定している。 これは必ずしも真実ではありませんが、温度のわずかな変化に対しては、それは良い近似です。,eを積分する：

ln⁡(V+Δ V V)=∫T i T f α v(T)d T{\displaystyle\ln\left({\frac{V+\Delta V}{V}}\right)=\int_{T_{i}}^{T_{f}}\alpha_{V}(t)\,dT}Δ V v=exp⁡(∫T i T f α v(T)d T)−1{\displaystyle{\frac{\Delta V}{v}}=\exp\left(\int_{T_{I}}^{t_{f}}\alpha_{v}(t)\,dt\right)-1}

等方性材料について

等方性材料については、体積熱expansion張係数は線形係数の三倍である：

Α V=3α l{\Displaystyle\alpha_{v}=3\alpha_{L}}

この比は、体積が三つの互いに直交する方向から構成されるために生じる。, 従って、等方性材料では、小さい差動変更のために、容積測定の拡張の三分の一は単一の軸線にあります。 元の体積はV=L3{\displaystyle V=L^{3}}となり、温度が上昇した後の新しい体積は

V+Δ V=(L+Δ L)3=L3+3L2Δ L+3L Δ L2+Δ L3Π L3+3L2Δ L=V+3V Δ L L Lとなる。 {\displaystyle V+\Delta V=(L+\Delta L)^{3}=L^{3}+3L^{2}\Delta L+3L\Delta L^{2}\approx L^{3}+3L^{2}\Delta L=V+3V{\Delta L\over L}。, Lの変化は二乗ではるかに小さくなる少量であるため、この項を簡単に無視できます。

したがって

Δ V V=3Δ L L=3α L Δ T。 {\displaystyle{\frac{\Delta V}{V}}=3{\Delta L\over L}=3\alpha_{L}\Delta T.}

上記の近似は、小さな温度変化と寸法変化（つまり、Δ T{\displaystyle\Delta T}とΔ L{\displaystyle\Delta L}が小さい場合）に成り立つが、Δ T{\displaystyle\Delta T}の大きな値を用いて体積係数と線形係数の間を行き来しようとしても成り立たない。, この場合、上記の式の第三項（そして時には第四の項）を考慮する必要があります。

同様に、面積熱expansion張係数は線形係数の倍である：

α A=2α L{\displaystyle\alpha_{A}=2\alpha_{L}}

この比は、上の線形例と同様の方法で見つけることができ、立方体上の面の面積はL2{\displaystyle L^{2}}であることに注意することができる。 また、Δ T{\displaystyle\Delta T}の大きな値を扱うときも同様の考慮事項がなされなければならない。,

より簡単に言えば、ソリッドの長さが1mから1.01mに拡大すると、面積は1m2から1.0201m2に拡大し、体積は1m3から1.030301m3に拡大します。

Anisotropic materialssedit

結晶（例えばマルテンサイト相のような立方対称性よりも小さい）や多くの複合材料のような異方性構造を持つ材料は、一般に異なる方向に異なる線expansion張係数α L{\displaystyle\alpha_{L}}を持つであろう。 その結果，全体積expansion張は三軸間で不等に分布する。, 結晶対称性が単斜晶または三斜晶である場合、これらの軸間の角度でさえも熱変化の影響を受ける。 このような場合には、熱膨張係数を六つまでの独立した要素を持つテンソルとして扱う必要があります。 テンソルの要素を決定する良い方法は、x線粉末回折による展開を研究することです。 立方対称性を有する材料（例えばＦＣＣ，ＢＣＣ）の熱膨張係数テンソルは等方性である。