Définition de l’Équation Linéaire du Premier Ordre
Une équation différentielle de type
\
- à l’Aide d’un facteur d’intégration;
- la Méthode de variation de la constante.,
en Utilisant un Facteur d’Intégration
Si une équation différentielle linéaire est écrit dans la forme standard:
\
le facteur d’intégration est défini par la formule suivante:
\
La solution générale de l’équation différentielle est exprimé comme suit:
\
où \(C\) est une constante arbitraire.
la Méthode de Variation de la Constante
Cette méthode est similaire à l’approche précédente. D’abord il faut trouver la solution générale de l’équation homogène:
\
L’algorithme décrit, est appelée la méthode de variation de la constante., Bien sûr, les deux méthodes mènent à la même solution.
Problème de Valeur Initiale
les Problèmes Résolus
Cliquez ou appuyez sur un problème pour voir la solution.
Exemple 1.
Résoudre l’équation \(y’ – y – x{e^x} \) \(= 0.\)
la Solution.
Nous réécrire cette équation sous forme standard:
\
Nous allons résoudre cette équation en utilisant le facteur d’intégration
\
Alors la solution générale de l’équation linéaire est donné par
Exemple 2.
résoudre l’équation différentielle \(xy ‘ = y + 2{x^3}.\)
la Solution.,
Nous allons résoudre ce problème en utilisant la méthode de variation de la constante. Nous avons d’abord trouver la solution générale de l’équation homogène:
\
qui peut être résolu en séparant les variables:
où \(C\) est un nombre réel positif.
\
Alors la dérivée est donnée par
\^\prime } }={ C’\left( x \right)x + C\left( x \right).}\]
en Substituant dans l’équation donne:
Lors de leur intégration, nous trouvons la fonction \({C\left( x \right)}:\)
\
où \({C_1}\) est un nombre réel arbitraire.,
Ainsi, la solution générale de l’équation s’écrit sous la forme
\
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