Definición de Ecuación Lineal de Primer Orden
Una ecuación diferencial de tipo
\
- el Uso de un factor de integración;
- Método de variación de constantes.,
el Uso de un Factor de Integración
Si una ecuación diferencial lineal se escribe en la forma estándar:
\
el factor de integración es definida por la fórmula
\
La solución general de la ecuación diferencial se expresa como sigue:
\
donde \(C\) es una constante arbitraria.
Método de Variación de una Constante
Este método es similar a la anterior. En primer lugar, es necesario encontrar la solución general de la ecuación homogénea:
\
El algoritmo descrito se llama el método de variación de constantes., Por supuesto, ambos métodos conducen a la misma solución.
Valor Inicial del Problema
Problemas Resueltos
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ejemplo 1.
resuelve la ecuación \(y – – y-x{e^x} \) \ (=0.\)
solución.
Podemos reescribir esta ecuación en la forma estándar:
\
vamos a resolver esta ecuación utilizando el factor de integración
\
Entonces la solución general de la ecuación lineal está dada por
Ejemplo 2.
resuelve la ecuación diferencial \(xy ‘ = y + 2{x^3}.\)
solución.,
resolveremos este problema utilizando el método de variación de una constante. Primero encontramos la solución general de la ecuación homogénea:
\
que se puede resolver separando las variables:
donde \(C\) es un número real positivo.
\
Entonces la derivada está dada por
\^\prime } }={ C’\left( x \right)x + C\left( x \right).}\]
sustituyendo esto en la ecuación da:
tras la integración, encontramos la función \({C\left (x \right)}:\)
\
donde \({c_1}\) es un número real arbitrario.,
por Lo tanto, la solución general de la ecuación dada es escrito en el formulario
\
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