Option Preismodelle

Was sind Option Preismodelle?

Optionspreismodelle sind mathematische Modelle, die bestimmte Variablen verwenden, um den theoretischen Wert einer optionCall Optioneine Call-Option, die allgemein als „Call“ bezeichnet wird, ist eine Form eines Derivatekontrakts, der dem Call – Option – Käufer das Recht, aber nicht die Verpflichtung gibt, eine Aktie oder ein anderes Finanzinstrument zu einem bestimmten Preis-dem Ausübungspreis der Option-innerhalb eines bestimmten Zeitraums zu kaufen.., Der theoretische Wert einer Option ist eine Schätzung dessen, was eine Option wert sein sollte, wenn alle bekannten Eingaben verwendet werden. Mit anderen Worten, Optionspreismodelle bieten uns einen fairen Wert einer Option. Finanzprofis kennen die Schätzung des beizulegenden Zeitwerts einer Optionführe dazu, ein Finanzanalyst zu werdenwie ein Finanzanalyst zu werden. Folgen Sie dem Leitfaden von CFI zu Netzwerken, Lebenslauf, Interviews, Finanzmodellierungsfähigkeiten und vielem mehr. Wir haben im Laufe der Jahre Tausenden von Menschen geholfen, Finanzanalysten zu werden und genau zu wissen, was es braucht., könnte ihre Handelsstrategiestrade Order Timing anpassen-TradingTrade Order Timing bezieht sich auf die Haltbarkeit eines bestimmten Handelsauftrags. Die häufigsten Arten des Timings von Handelsaufträgen sind Marktaufträge, AGB-Aufträge und Füllen oder töten Aufträge. und-portfolios. Daher sind Optionspreismodelle leistungsstarke Tools für Finanzexperten, die am Optionshandel beteiligt sind.

Was ist eine Option?,

Eine formale definition einer option fest, dass es eine Art Vertrag zwischen zwei Parteien, dass eine Partei das Recht, aber nicht die Verpflichtung, zum Kauf oder Verkauf des Basiswerts zu einem vorher festgelegten Preis vor oder nach Ablauf Tag. Es gibt zwei Haupttypen von Optionen: Anrufe und Puts.

• Call ist ein Optionskontrakt, der Ihnen das Recht, aber nicht die Verpflichtung gibt, den Basiswert vor oder am Verfallstag zu einem vorbestimmten Preis zu kaufen.,
• Put ist ein Optionskontrakt, der Ihnen das Recht, aber nicht die Verpflichtung gibt, den Basiswert vor oder am Verfallstag zu einem vorbestimmten Preis zu verkaufen.

Optionen können auch nach ihrer Übungszeit klassifiziert werden:

• Optionen im europäischen Stil dürfen nur am Verfallsdatum ausgeübt werden.
• American style Optionen können jederzeit zwischen Kauf und Ablaufdatum ausgeübt werden.,

Die oben erwähnte Klassifizierung von Optionen ist äußerst wichtig, da die Wahl zwischen europäischen oder amerikanischen Optionen unsere Wahl für das Optionspreismodell beeinflusst.

Risiko-neutrale Wahrscheinlichkeit

Bevor wir anfangen, verschiedene Optionspreismodelle zu diskutieren, sollten wir das Konzept der risiko-neutralen Wahrscheinlichkeiten verstehen, die in der Optionspreisgestaltung weit verbreitet sind und in verschiedenen Optionspreismodellen auftreten können.

Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit ist eine theoretische risikobereinigte Wahrscheinlichkeit zukünftiger Ergebnisse., Hinter diesem Konzept stehen zwei Hauptannahmen:

1. Der aktuelle Wert eines Vermögenswerts entspricht der erwarteten Auszahlung, die zum risikofreien Zinssatz abgezinst wird.
2. Es gibt keine arbitrage-Möglichkeiten auf dem Markt.

Die risiko-neutrale Wahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Aktienkurs in einer risiko-neutralen Welt steigen würde. Wir gehen jedoch weder davon aus, dass alle Anleger am Markt risikoneutral sind, noch davon aus, dass riskante Vermögenswerte die risikofreie Rendite erzielen., Dieser theoretische Wert misst die Wahrscheinlichkeit, die Vermögenswerte zu kaufen und zu verkaufen, als ob es für alles auf dem Markt eine einzige Wahrscheinlichkeit gäbe.

Binomiales Optionspreismodell

Die einfachste Methode zum Preis der Optionen ist die Verwendung eines binomialen Optionspreismodells. Dieses Modell nutzt die Annahme vollkommen effizienter Märkte. Unter dieser Annahme kann das Modell die Option an jedem Punkt eines bestimmten Zeitrahmens bewerten.

Im Rahmen des Binomialmodells gehen wir davon aus, dass der Preis des Basiswerts in diesem Zeitraum entweder steigen oder fallen wird., Angesichts der möglichen Preise des Basiswerts und des Ausübungspreises einer Option können wir die Auszahlung der Option unter diesen Szenarien berechnen, dann diese Auszahlungen abzinsen und den Wert dieser Option ab heute ermitteln.

Abbildung 1. Binomialbaum mit zwei Perioden

Black-Scholes-Modell

Das Black-Scholes-Modell ist ein weiteres häufig verwendetes Optionspreismodell. Dieses Modell wurde 1973 von den Ökonomen Fischer Black und Myron Scholes entdeckt., Sowohl Black als auch Scholes erhielten für ihre Entdeckung den Wirtschaftsnobelpreis.

Das Black-Scholes-Modell wurde hauptsächlich für die Preisgestaltung europäischer Optionen auf Aktien entwickelt. Das Modell arbeitet unter bestimmten Annahmen bezüglich der Verteilung des Aktienkurses und des wirtschaftlichen Umfelds. Die Annahmen über die Aktienkursverteilung umfassen:

• Kontinuierlich zusammengesetzte Renditen der Aktie sind normalerweise verteilt und über die Zeit unabhängig.
• Die Volatilität kontinuierlich zusammengesetzter Renditen ist bekannt und konstant.,
• Zukünftige Dividenden sind bekannt (als Dollarbetrag oder als feste Dividendenrendite).

Die Annahmen über das wirtschaftliche Umfeld lauten:

• Die risikofreie Rate ist bekannt und konstant.
• Es entstehen keine Transaktionskosten oder Steuern.
• Es ist möglich, kostenlos Leerverkäufe durchzuführen und risikofrei zu leihen.

Dennoch können diese Annahmen gelockert und gegebenenfalls an besondere Umstände angepasst werden. Darüber hinaus könnten wir dieses Modell problemlos verwenden, um Optionen für andere Vermögenswerte als Aktien (Währungen, Futures) zu bewerten.,

Die Hauptvariablen, die im Black-Scholes-Modell verwendet werden, umfassen:

• Der Preis des Basiswerts ist ein aktueller Marktpreis des Vermögenswerts
• Der Ausübungspreis (K) ist ein Preis, zu dem eine Option ausgeübt werden kann
• Die Volatilität (σ) ist ein Maß dafür, wie stark sich die Sicherheitspreise in den folgenden Perioden bewegen werden., Volatilität ist die schwierigste Eingabe im Optionspreismodell, da die historische Volatilität nicht die zuverlässigste Eingabe für dieses Modell ist
• Zeit bis zum Ablauf (T) ist die Zeit zwischen der Berechnung und dem Ausübungsdatum einer Option
• Zinssatz (r) ist ein risikofreier Zinssatz
• Dividendenrendite (δ) war ursprünglich nicht die Haupteingabe in das Modell. Das ursprüngliche Black-Scholes-Modell wurde für die Preisgestaltung von Optionen auf nicht zahlende Dividendenaktien entwickelt.,

Aus dem Black-Scholes-Modell können wir die folgenden mathematischen Formeln zur Berechnung des beizulegenden Zeitwerts der europäischen Aufrufe und Puts ableiten:

Die obigen Formeln verwenden die risikobereinigten Wahrscheinlichkeiten. N (d1) ist die risikobereinigte Wahrscheinlichkeit, die Aktie nach Ablauf der Option zu erhalten, abhängig von der im Geld enthaltenen Option. N (d2) ist die risikobereinigte Wahrscheinlichkeit, dass die Option ausgeübt wird., Diese Wahrscheinlichkeiten werden unter Verwendung der normalen kumulativen Verteilung der Faktoren d1 und d2 berechnet.

Das Black-Scholes-Modell wird hauptsächlich zur Berechnung des theoretischen Wertes von Optionen im europäischen Stil verwendet und kann aufgrund ihrer vor dem Fälligkeitsdatum auszuübenden Funktion nicht auf Optionen im amerikanischen Stil angewendet werden.

Monte-Carlo-Simulation

Monte-Carlo-simulation ist eine weitere option-pricing-Modell, das wir betrachten werden. Die Monte-Carlo-Simulation ist eine ausgefeiltere Methode, um Optionen zu bewerten., Bei dieser Methode simulieren wir die möglichen zukünftigen Aktienkurse und verwenden sie dann, um die diskontierten erwarteten Optionsauszahlungen zu finden.

In diesem Artikel werden zwei Szenarien diskutiert: Simulation im Binommodell mit vielen Perioden und Simulation in kontinuierlicher Zeit.

Szenario 1

Unter dem Binomialmodell betrachten wir die Varianten, wenn der Kurs des Vermögenswerts (der Aktie) entweder nach oben oder unten geht. In der Simulation bestimmen wir zunächst die Wachstumsschocks des Aktienkurses., Dies kann durch die folgenden Formeln erfolgen:

h in diesen Formeln ist die Länge einer Periode und h = T/N und N ist eine Anzahl von Perioden.

Nachdem wir zukünftige Vermögenspreise für alle erforderlichen Zeiträume ermittelt haben, werden wir die Auszahlung der Option ermitteln und diese Auszahlung auf den Barwert abzinsen. Wir müssen die vorherigen Schritte mehrmals wiederholen, um genauere Ergebnisse zu erhalten, und dann alle vorhandenen Werte durchschneiden, um den beizulegenden Zeitwert der Option zu ermitteln.,

Szenario 2

In der kontinuierlichen Zeit gibt es eine unendliche Anzahl von Zeitpunkten zwischen zwei Zeitpunkten. Daher trägt jede Variable zu jedem Zeitpunkt einen bestimmten Wert.

In diesem Szenario verwenden wir die geometrische Brownsche Bewegung des Aktienkurses, die impliziert, dass die Aktie einem zufälligen Spaziergang folgt. Random walkRandom Walk TheoryDie Random Walk Theorie oder die Random Walk Hypothese ist ein mathematisches Modell des Aktienmarktes., Befürworter der Theorie glauben, dass die Preise von bedeutet, dass die zukünftigen Aktienkurse nicht durch die historischen Trends vorhergesagt werden können, da die Preisänderungen unabhängig voneinander sind., kann die Formel für die Änderung des Aktienkurses angeben:

Wobei:

S – Aktienkurs

ΔS – Änderung des Aktienkurses

µ – erwartete Rendite

t – Zeit

σ – Standardabweichung der Aktienrenditen

↋ – Zufallsvariable µ

Im Gegensatz zur Simulation in einem binomialmodell, in der kontinuierlichen Zeitsimulation müssen wir nicht den Aktienkurs in jedem Zeitraum simulieren, aber wir müssen den Aktienkurs bei der Fälligkeit S(T) mit der folgenden Formel bestimmen:

Wir erzeugen die Zufallszahl ↋ und lösen für S(T)., Danach ähnelt der Prozess dem, was wir für die Simulation im Binomialmodell getan haben: Finden Sie die Auszahlung der Option bei Fälligkeit und diskontieren Sie sie auf den Barwert.

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