혹시 수학 교실에 앉아서 궁금해 한 적이 있습니까?”당신은 수도 자신이 질문할 때 첫 번째 발생하는”가상”숫자,그 이유가 무엇을 할 수 있을 적은 실용적인 보다는 번호로 설명 가상?
그러나 허수,그리고 그들이 정의하는 데 도움이되는 복소수는 믿을 수 없을만큼 유용한 것으로 밝혀졌습니다. 그들은 물리학,공학,수 이론 및 기하학에 광범위한 영향을 미칩니다., 그리고 그들은 첫 번째 단계로 세계의 이상한 번호 시스템의 일부는 제안되고 있으로 모델의 관계를 우리의 근본적인 물리적 world. 이 익숙하지 않은 숫자가 우리가 알고있는 숫자에 뿌리를두고 있지만 동시에 우리가 상상했던 것과는 다른 방법을 살펴 보겠습니다.
“진짜”숫자의 일부는 우리의 가장 친숙한 수학적 개체:그들은 모든 숫자에 표시할 수 있는 decimal notation,아 5, 8.2, -13.712, 0, 10.33333… 과$라텍스\pi\약$3.141592…., 우리는 우리를 추가 할 수 있습,일본어,독일어과 숫자를 나누고,우리가 사용하는 그 질문에 대답하 모두에서 교실과 우리의 일상 생활에서. 그러나 실제 숫자는 우리의 모든 수학 문제를 해결하기에 충분하지 않습니다.
1500 년대에 마스터 방정식 해결사 Girolamo Cardano 는 다항식 방정식을 풀기 위해 노력했습니다. 그는 합계가 8 이고 제품이 12 인 두 개의 숫자,즉 2 와 6 을 쉽게 찾을 수 있었기 때문에$latex x^2-8x+12=0$와 같은 방정식을 푸는 데 아무런 문제가 없었습니다., 이 의미$라텍 x^2-8+12$될 수 있으로 고려$라텍스(x-2)(x-6)$표현이 다항식의 제품으로 두 가지 요인들을 해결 방정식$라텍 x^2-8+12=0$쉽습니다.
그러나$latex x^2-3x+10=0$와 같은 방정식에 대해이 작업을 수행하는 것은 그리 쉽지 않았습니다. 3 에 더하고 10 에 곱하는 두 개의 숫자를 찾는 것은 불가능한 도전처럼 보입니다. 두 숫자의 곱이 양수이면 동일한 부호를 가져야하며 합계가 양수이기 때문에 둘 다 양수이어야 함을 의미합니다., 그러나 두 개의 양수가 최대 3 을 더하면 둘 다 3 보다 작아야하며 이는 제품이 3×3=9 보다 작음을 의미합니다. 이 일을 할 수있는 방법이없는 것 같습니다.
카르다노 치료가 아닌 이러한 실제 또는”가상,”숫자를 주저하면,심지어를 설명하는 연산았으로 그들과 함께 쓸모가 없다. 그러나 그는 그들이 실제 숫자가하는 것과 같은 많은 규칙에 순종한다는 것을 알게되어 놀랐습니다. 고 있지만 그것은,카르다노’s 꺼려의 사용$라텍스\sqrt{-1}$의 개발을 주도하면”복소수,”강력한 생산적인 확장자의 숫자입니다.,
복소수는 실제 부분과 허수 부분으로 구성됩니다. 그들은 a 와 b 가 모두 실제 숫자 인 a+bi 형태와$latex i=\sqrt{-1}$를 가지며”허수 단위라고도합니다.”그들은 처음에는 이상하게 보일 수 있습니다,그러나 우리는 빠르게 찾을 추가할 수 있습니다,빼기,곱하고 나누고 복잡한 숫자는 단지 우리가 우리와 함께 실제 숫자입니다.,
더하기 및 빼기 복잡한 숫자,당신은 단지 결합한 실제 부위와는 상상의 부분은 다음과 같습니다.
(5+3i)+(2+8i) = (5 + 2) + (3 + 8)i=7+11i
이와 유사한 조화”와 같은 용어”당신이 추가한 다항식을 함께:
(3x+2)+(5x+7)=8+9
의 곱셈 복잡한 숫자를 사용하여 수행되는 동일한”분배 제공”우리가 사용하는 실제 숫자입니다.,>= 10 + 2i
$latex \begin{align*}
&= 2 × (5 + i) + 3i × (5 + i)\\
&= 10+2i+15i+3i^2\\
&= 10+17i+3i^2
\end{align*}$
$latex \begin{align*}
(2+3i)\times(5+i) &= 10+17i+3i^2\\
&= 10+17i+3(-1)\\
&= 10+17i-3\\
&= 7+17i
\end{align*}$
Since we can write $latex 10+17i+3i^2$ in the form a + bi, we know it is indeed a complex number., 이것은”클로저”의 속성을 보여줍니다:두 개의 복소수를 곱하면 다른 복소수를 얻습니다. 너는 다른 것을 얻지 못한다.
복소수의 곱셈도”정류”입니다:두 복소수를 어느 순서로든 곱하면 결과가 동일하다는 것을 의미합니다. 예를 들어,는지 확인할 수 있습니다(5+i)×(2+3i)=7+17i. 우리는 종종 우리가 당연한 실수의 곱셈이 commutative—예를 들어,는 5×4=4×5—그러나 우리가 보기 때문에 나중에 이 중요한 사실이 보전되지 않는 모든 수는 시스템입니다.,복소수를 곱할 수는 있지만 어떻게 나눕니까? 핵심은 나눗셈과 곱셈의 관계를 이해하는 것입니다.
나는 종종 학생들에게 나눗셈과 같은 것이 없다고 말한다:상호에 의한 곱셈 만있다. 우리가 볼 때 표현$라텍스\frac{10}{2}$적으로,우리는 보통 생각하”10 나누 2,”그러나 우리는 또한 생각할 수 있으로 이것$라텍스 10\번\frac{1}{2}$나”10 을 곱하여 상호의 2.,”
지금처럼 보이지는 불필요하게 복잡한 접근 방식을 분할,그러나 그것을 갚을 시작할 때를 생각하는 숫자에 대해 다음과 같$라텍스\frac{1}{i}$. “1 을 i 로 나눈 값”의 의미는 즉시 명확하지 않을 수 있지만”i 의 상호”는 1 을 얻기 위해 i 와 곱하는 숫자입니다. 그리고이 숫자가 조금 놀랄 수 있습니다-나는!,
나×(–i)=–(나×나) = – (-1) = 1
를 사용하는 사실 나는×i=-1,그리고 일부는 다른 중요한 특성의 실제와 복잡한 숫자(즉 우리가 가지고 부정적인 앞에서 식),우리는 나×(–i)=1, 그리고 나는 정말의 상호 i. 즉,이 경우 우리는 이제까지를 나눌 수여 내가,우리는 단지 그것을 곱하여–내가 대신 합니다.
다른 복소수의 경우 산술이 조금 더 어려워 질 수 있지만 상호 아이디어는 여전히 작동합니다., 예를 들어,계산$라텍스\frac{1+2}{3+4i}$우리를 찾을 필요가 상호의 3+4i,그리고 그렇게 우리는 것용을 포함하는”어원이”의 복잡한 번호는 번호로 전환할 때 표시의 상상 부분입니다.
복소수 3+4i 에 공액 3–4i 를 곱하면 어떤 일이 발생하는지 주목하십시오., That is, $latex (3+4i)\times(3-4i)$:
$latex \begin{align*}
&= 3\times(3-4i)+4i\times(3-4i)\\
&=3\times 3-3\times 4i+4i\times 3-4i\times 4i\\
&= 9-12i+12i-16i^2\\
&= 9-16i^2\\
&= 9+16\\
&= 25
\end{align*}$
This property of conjugates helps us compute the reciprocal of any complex number., 우리는 나누는 양쪽 방정식의 25 일부 대수:
$라텍스(3+4i)\회(3-4i)=25$
$라텍스\frac{(3+4i)\회(3-4i)}{25}=\frac{25}{25}$
$라텍스\frac{(3+4i)\회(3-4i)}{25}=1$
$라텍스(3+4i)\번\frac{(3-4i)}{25}=1$
$라텍스\frac{1+2}{3+4i}=(1+2)\번\frac{(3-4i)}{25}=\frac{11+2i}{25}$
의 도입이 이 하나의 새로운 부가가,상상의 단위를 발사에 완전히 새로운 수학은 세계를 탐험., 그것은 사각형이 음수가 될 수있는 이상한 세계이지만,그 구조는 우리가 너무 익숙한 실제 숫자와 매우 유사합니다. 그리고 실제 숫자에 대한이 확장은 시작에 불과했습니다.
1843 년 William Rowan Hamilton 은 많은 별개의”가상의 단위”가있는 세계를 상상했으며 그렇게함으로써 쿼터니언을 발견했습니다. 이와 같은 구조 복잡한 숫자이지만,추가적인 사각형 뿌리의 -1 는 해밀턴라 j k. 모든 사원수의 형식은 a+bi+cj+dk,a,b,c 및 d 는 실수,그리고$라텍스 저^2=j^2=k^2=-1$., 당신이 생각하는 사람할 수 있는 발명의 새로운 번호 시스템,하지만 그것이 중요한 것을 묻는다면 그것이 구조와 특성을 우리는 할 수 있습니다. 예를 들어,시스템이 곱셈에서 닫힐 것입니까? 우리는 나눌 수있을 것인가?
을 위해와 이러한 특성 해밀턴을 하기 위하여 무엇을 파악에 대해 나는×j. 모든 사원수처럼 할 필요가+bi+cj+dk,그리고 나는×j 하지 않습니다. 우리는 실로 비슷한 문제를 할 때 우리는 첫 번째 곱한 두 개의 복잡한 숫자:우리의 초기 결과했다 나는×나는 단기에 그는 보이지 않았습니다., 운 좋게도$latex i^2=-1$라는 사실을 사용하여 숫자를 적절한 형태로 넣을 수 있습니다. 그러나 i×j 로 무엇을 할 수 있습니까?
해밀턴 자신을 이해하기 위해 노력하고 본 제품,그리고는 순간 때의 영감을 마지막으로 왔고,그가 새겨진 그의 통찰력으로 돌리는 그가 교:
$라텍스 저^2=j^2=k^2=i\번 j\번 k=-1$
로 모든 세계의 사람들은 여전히 방문 Broome 브리지에서 더블린을 공유하는 이 순간에서의 수학적 발견이다.,
허수 단위 i,j 및 k 사이의 해밀턴의 유명한 관계는 우리가 쿼터니언을 곱하고 나누고 우리가 주로 기대하는 결과를 얻을 수있게합니다. 이것이 i×j 가 무엇이되어야하는지에 대한 질문을 어떻게 해결하는지 봅시다.
i×j×k=-1 로 시작하여 방정식의 양쪽(오른쪽)에 k 를 곱하고 단순화합니다.
해밀턴의 관계에서,우리는 i×j=k 것을 알 수있다., 여기서 우리가 사용하는 사실에 k×k=-1 와 함께 다른 속성을 포함하여,”연관성”의 곱셈는 것을 말한 때에 곱하여 두 개 이상의 물건을 함께,당신이 선택할 수 있는 쌍을 곱하면 처음이다. 이것은 다른 속성을 우리가 당연한 걸로는 실수—예를 들어, (2 × 3) × 10 = 2 × (3 × 10) — 으로 교환 법칙,우리는 그것을 참조하지 않는 항상에 대한 모든 숫자는 시스템입니다.,
기타 제품에서 파생 될 수 있는 비슷한 방법으로,그래서 우리는 구구단의 상상의 단위는 다음과 같습니다.
나×j=j k×k=나는 k×i=j
j×i=k k×j=–i i×k=j
이러한 사원수의 곱셈 규칙에서 표현할 수 있습니다 다음과 같은 다이어그램
여기에, 움직이는 원 주위에 화살표 방향으로 당신에게 적합한 제품(내×j=k),그리고 움직이는 반대 방향으로 소개합 factor-1(ex. j×i=-k)., 주의 사항 이것은 실제 및 복소수와 달리 쿼터니언의 곱셈은 정류가 아니라는 것을 의미합니다. (이것이 우리가 위의 방정식 i×j×k=-1 의 양쪽을 그들의 오른쪽면에 k 로 곱해야만했던 이유입니다.)서로 다른 순서로 두 개의 쿼터니언을 곱하면 다른 결과를 얻을 수 있습니다!
$라텍스 i\번 j=k\neq-k=j\번$
을 얻을 종류의 구조는 우리 원에서 사원수,우리를 포기하는 교환 법칙의 곱셈., 이것은 실제 손실입니다:정류성은 일종의 대수 대칭이며 대칭은 항상 수학적 구조에서 유용한 속성입니다. 그러나 이러한 관계는 장소에서,우리는 얻을 수있는 시스템에 추가할 수 있습니다,빼기와이 많은 우리와 함께했던 복잡한 숫자입니다.
쿼터니언을 더하고 빼기 위해 이전과 같이 용어처럼 수집합니다. 곱하기 위해 우리는 여전히 분배 속성을 사용합니다:그것은 단지 조금 더 분배가 필요합니다., 와 나누 사원수,우리는 여전히 사용할 아이디어의 결합을 찾기 위해 상호하기 때문에,그와 같이 복잡한 숫자로,제품의 모든 사원수의 어원이 실제 번호입니다.
$라텍스(a+bi+cj+dk)\번(a-bi-cj-dk)=$
$latexa^2+b^2+c^2+d^2$
$라텍스\frac{1}{1+i+j+k}=\frac{1-i-j-k}{4}$
따라서,사원수는 확장자의 복잡한 번호를 추가할 수 있습니다,일본어,독일어과 나눕니다., 와 같은 복잡한 숫자,사원수는 놀라 울 정도로 유용합니다:그들을 모형화하는 데 사용할 수 있습니다 회전 의 세 가지 차원 공간,그들이 소중한 렌더링에서 디지털경 및 둥근 비디오,및에서의 위치와 방향을체처럼 우주선에서 휴대폰이 우리의 세 가지 차원의 세계.
이러한 확장을 넘어서는 실수를 계속으로 여전히 팔 차원 octonions,인 정수 시스템에 의해 발견되는 해밀턴의 동료들은 일곱 가상의 단위입니다., 우리가 본 다른 모든 숫자 시스템에서와 마찬가지로 옥토 니온을 더하고,빼고,곱하고 나눌 수 있습니다. 그리고 쿼터니언과 마찬가지로,우리는 모든 허수 단위를 곱하는 방법을 지배하는 몇 가지 특별한 규칙이 필요합니다. 여기에 그들은,그래픽으로 표현하에서 다이어그램으로 알려진”파노 비행기”:
으로 표현에 대해 사원수,곱하여 함께 화살표 방향으로 제공하는 긍정적인 제품에 대해 화살표에 부정적인 하나입니다.
쿼터니언과 마찬가지로 옥토 니온 곱셈은 정류가 아닙니다., 그러나 octonions 에 밖으로 숫자의 우리의 아이디어를 확장하는 것은 우리에게뿐만 아니라 곱셈의 연관성을 요한다. 3 개의 옥토 이온 x,y 및 z 를 곱할 때 반드시(x×y)×z=x×(y×z)인 것은 아닙니다. 예를 들어,다이어그램을 사용하여 위에,우리는 볼 수 있습니다.
$라텍스(e_{3}\번 e_{4})\번 e_{1}=e_{6}\번 e_{1}=e_{5}$
하지만
$라텍스 e_{3}\번(e_{4}\번 e_{1})=e_{3}\번 e_{2}=-e_{5}$
그래서 지금 우리는 번호 시스템을 비 commutatitve,비 곱셈과 연관되어 있는 뿌리의-1 입니다., 누가 언제 그걸 사용할까요? 만,일부 물리학자들은 믿고 octonions 도하는 방법을 설명하는 강력,약과 전자기력 행위에 쿼크,경입자와 그 반대로 입니다. 사실이라면,이것은 현대 물리학에서 위대한 신비 중 하나를 해결하는 데 도움이 될 수 있습니다.
에 의해 반복적으로 확대 실시 번호를 만들기 더 큰 시스템의 복잡한 숫자,사원수,이 octonions—에서는 우리가 추가 할 수 있습니다,빼기,곱하고 나누고,우리가 잃은 익숙함으로 각 단계입니다. 길을 따라,우리는 또한 우리가 진짜라고 생각하는 것에 연락을 잃을 수도 있습니다., 그러나 우리가 얻는 것은 세상에 대한 새로운 사고 방식입니다. 그리고 우리는 항상 그 사용을 찾을 수 있습니다.
연습
1. 우리는$latex i^2=-1$가되도록 i 를 정의하여 복소수를 만들었습니다. $Latex z^2=i$와 같은 복소수 z 를 찾을 수 있습니까?이 문제를 해결하려면 어떻게해야합니까? A 와 b 의 어떤 조건에서 이것이 i 와 같을까요?피>2. Let$latex z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$. $Latex z^3=-1$임을 보여줍니다. -1 의 다른 두 큐브 뿌리를 찾을 수 있습니까?
학생들과 공유 할 수있는”네 개의 특수 번호 시스템”PDF 그래픽을 다운로드합니다.,
수정 10 월 추가. 26:윌리엄 로완 해밀턴의 중간 이름은이 기사의 원래 게시물에서”로한”으로 잘못 입력되었습니다.피>
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