Par

Si se permite que una fuerza actúe a distancia, está haciendo un trabajo mecánico. Del mismo modo, si se permite que el par actúe a través de una distancia de rotación, está haciendo trabajo. Matemáticamente, para la rotación alrededor de un eje fijo a través del centro de masa, el trabajo W puede expresarse como

W = ∫ θ 1 θ 2 τ D θ , {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\tau \ \mathrm {d} \theta ,}

donde τ es torque, y θ1 y θ2 representan (respectivamente) las posiciones angulares inicial y final del cuerpo.,isplacement, los límites de la integración también cambian correspondientemente, dando

W = ∫ θ 1 θ 2 τ → ⋅ D θ → {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}{\vec {\tau }}\cdot \mathrm {d} {\vec {\theta }}} W = ∫ θ 1 θ 2 τ D θ {\displaystyle W=\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}}\Tau \,\mathrm {d} \Theta}

se deduce del teorema de energía de trabajo que w también representa el cambio en la energía cinética rotacional er del cuerpo, dado por

e r = 1 2 i ω 2 , {\displaystyle E_{\mathrm {R}} ={\tfrac {1} {2}} I\omega ^{2},}

donde I es el momento de inercia del cuerpo y ω es su velocidad angular.,

Potencia es el trabajo por unidad de tiempo, dado por

P = τ ⋅ ω , {\displaystyle P={\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {\omega }},}

donde P es la potencia, τ es par, ω es la velocidad angular, y ⋅ {\displaystyle \cdot } representa el producto escalar.

algebraicamente, la ecuación puede ser reordenada para calcular el par para una velocidad angular dada y la potencia de salida., Tenga en cuenta que la potencia inyectada por el par depende solo de la velocidad angular instantánea, no de si la velocidad angular aumenta, disminuye o permanece constante mientras se aplica el par (esto es equivalente al caso lineal donde la potencia inyectada por una fuerza depende solo de la velocidad instantánea, no de la aceleración resultante, si la hay).,

en la práctica, esta relación se puede observar en las bicicletas: las bicicletas se componen típicamente de dos ruedas de carretera, engranajes delanteros y traseros (denominados piñones) que se entrelazan con una cadena circular, y un mecanismo de cambio si el sistema de transmisión de la bicicleta permite que se utilicen múltiples relaciones de transmisión (es decir, bicicletas de varias velocidades), todas las cuales están unidas al cuadro. Un ciclista, la persona que monta la bicicleta, proporciona la potencia de entrada girando los pedales, accionando así el piñón delantero (comúnmente conocido como plato)., La potencia de entrada proporcionada por el ciclista es igual al producto de la cadencia (es decir, el número de revoluciones del pedal por minuto) y el par en el husillo de los platos y bielas de la bicicleta. La transmisión de la bicicleta transmite la potencia de entrada a la rueda de carretera, que a su vez transmite la potencia recibida a la carretera como la potencia de salida de la bicicleta. Dependiendo de la relación de transmisión de la bicicleta, un par de entrada (par, rpm)se convierte en un par de salida (par, rpm)., Al usar una marcha trasera más grande, o al cambiar a una marcha más baja en bicicletas de varias velocidades, la velocidad angular de las ruedas de carretera disminuye mientras se aumenta el par, producto del cual (es decir, la potencia) no cambia.

se deben utilizar unidades consistentes. Para las unidades si métricas, la potencia es vatios, el par es newton metros y la velocidad angular es radianes por segundo (no rpm y no revoluciones por segundo).

Además, la unidad newton metro es dimensionalmente equivalente al joule, que es la unidad de energía., Sin embargo, en el caso del par, la unidad se asigna a un vector, mientras que para la energía, se asigna a un escalar. Esto significa que la equivalencia dimensional del newton metro y el joule puede aplicarse en el primero, pero no en el segundo caso. Este problema se aborda en el análisis orientacional que trata a los radianes como una unidad base en lugar de una unidad adimensional.

conversión a otras unitaseditar

un factor de conversión puede ser necesario cuando se utilizan diferentes unidades de potencia o par., Por ejemplo, si se usa la velocidad de rotación (revoluciones por tiempo) en lugar de la velocidad angular (radianes por tiempo), multiplicamos por un factor de 2π radianes por revolución. En las siguientes fórmulas, P Es potencia, τ es par, y ν (letra griega nu) es velocidad de rotación.

P = τ ⋅ 2 π ⋅ ν {\displaystyle P=\tau \cdot 2\pi \cdot \nu }

Mostrando las unidades de:

P ( W ) = τ ( N ⋅ m ) ⋅ 2 π ( r a d / r e v ) ⋅ ν ( r e v / s e c ) {\displaystyle P({\rm {W}})=\tau {\rm {(N\cdot m)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu {\rm {(rev/s)}}}

Dividiendo por 60 segundos por minuto, nos da la siguiente.,

P ( W ) = τ ( N ⋅ m ) ⋅ 2 π ( r a d / r e v ) ⋅ ν ( r p m ) 60 {\displaystyle P({\rm {W}})={\frac {\tau {\rm {(N\cdot m)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu {\rm {(rpm)}}}{60}}}

donde la velocidad de rotación en revoluciones por minuto (rpm).

algunas personas (por ejemplo, los Ingenieros Automotrices estadounidenses) usan caballos de fuerza (mecánicos) para la potencia, pies-libras (lbf⋅ft) para el par y rpm para la velocidad de rotación. Esto se traduce en la fórmula de cambio:

P ( h p ) = τ ( l b f ⋅ f t ) ⋅ 2 π ( r a d / r e v ) ⋅ ν ( r p m ) 33 , 000 ., {\displaystyle P({\rm {hp}})={\frac {\tau {\rm {(lbf\cdot m)}}\cdot 2\pi {\rm {(rad/rev)}}\cdot \nu ({\rm {rpm}})}{33,000}}.}

la constante de abajo (en pie-libra por minuto) cambia con la definición de los caballos de fuerza; por ejemplo, usando caballos de fuerza métricos, se convierte en aproximadamente 32,550.

el uso de otras unidades (por ejemplo, BTU por hora para la energía) requeriría un factor de conversión personalizado diferente.

Derivacióneditar

para un objeto giratorio, la distancia lineal cubierta en la circunferencia de rotación es el producto del radio con el ángulo cubierto., Es decir: distancia lineal = radio × distancia angular. Y por definición, distancia lineal = Velocidad Lineal × Tiempo = Radio × Velocidad angular × tiempo.

Por la definición de par: par = Radio × Fuerza. Podemos reorganizar esto para determinar fuerza = par ÷ radio. Estos dos valores pueden sustituirse en la definición de potencia:

potencia = fuerza ⋅ distancia lineal tiempo = (par r) ⋅ (r ⋅ Velocidad angular ⋅ t) t = par ⋅ Velocidad angular ., {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{energía}}&={\frac {{\text{fuerza}}\cdot {\text{distancia lineal}}}{\text{hora}}}\\&={\frac {\left({\dfrac {\text{par}}{r}}\derecho)\cdot (r\cdot {\text{velocidad angular}}\cdot t)}{t}}\\&={\text{par}}\cdot {\text{velocidad angular}}.\end{aligned}}}

el radio r y el tiempo t han desaparecido de la ecuación. Sin embargo, la velocidad angular debe estar en radianes, por la supuesta relación directa entre la Velocidad Lineal y la Velocidad angular al comienzo de la derivación., Si la velocidad de rotación se mide en revoluciones por unidad de tiempo, la Velocidad Lineal y la distancia se aumentan proporcionalmente en 2π en la derivación anterior para dar:

potencia = par ⋅ 2 π ⋅ velocidad de rotación . {\displaystyle {\text {power}}={\text{torque}} \ cdot 2 \ pi \ cdot {\text{velocidad de rotación}}.\ ,}

si el par está en newton metros y la velocidad de rotación en revoluciones por segundo, la ecuación anterior da potencia en newton metros por segundo o vatios., Si se usan unidades imperiales, y si el par está en libras-fuerza pies y la velocidad de rotación en revoluciones por minuto, la ecuación anterior da potencia en libras-fuerza pie por minuto.,n derivado aplicando el factor de conversión 33.000 ft⋅lbf/min por caballo de fuerza:

potencia = torque ⋅ 2 π ⋅ velocidad de rotación ⋅ ft ⋅ LBF min ⋅ horsepower 33 , 000 ⋅ ft ⋅ LBF min ≈ torque ⋅ RPM 5 , 252 {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{power}}&={\text{torque}}\cdot 2\pi \cdot {\text{velocidad de rotación}}\cdot {\frac {{\text{ft}}\cdot {\text{lbf}}}{\text{min}}}\cdot {\frac {\text{caballos de fuerza}}{33,000\cdot {\frac {{\text{ft}}\cdot {\text{lbf}}}{\text{min}}}}}\\&\approx {\frac {{\text{torque}}\cdot {\text{rpm}}}{5,252}}\end{aligned}}}

porque 5252.,113122 ≈ 33 , 000 2 π . {\displaystyle 5252.113122 \ approx {\frac {33,000}{2 \ pi }}.\,}