Wärmeausdehnung

Bei der Berechnung der Wärmeausdehnung muss berücksichtigt werden, ob sich der Körper frei ausdehnen kann oder eingeschränkt ist. Wenn der Körper frei expandieren kann, kann die Ausdehnung oder Dehnung, die sich aus einem Temperaturanstieg ergibt, einfach unter Verwendung des anwendbaren Wärmeausdehnungskoeffizienten berechnet werden.

Wenn der Körper so eingeschränkt ist, dass er sich nicht ausdehnen kann, wird die innere Belastung durch eine Temperaturänderung verursacht (oder geändert)., Diese Belastung kann berechnet werden, indem man die Belastung berücksichtigt, die auftreten würde, wenn sich der Körper frei ausdehnen würde, und die Belastung, die erforderlich ist, um diese Belastung auf Null zu reduzieren, durch die Stress/Dehnungsbeziehung, die durch den Elastizitätsmodul oder den Young-Modul gekennzeichnet ist. Im speziellen Fall von festen Materialien beeinflusst der äußere Umgebungsdruck die Größe eines Objekts in der Regel nicht merklich und so ist es normalerweise nicht notwendig, die Wirkung von Druckänderungen zu berücksichtigen.,

Gewöhnliche technische Feststoffe haben normalerweise Wärmeausdehnungskoeffizienten, die über den Temperaturbereich, in dem sie verwendet werden sollen, nicht signifikant variieren, so dass praktische Berechnungen auf einem konstanten, durchschnittlichen Wert des Ausdehnungskoeffizienten basieren können, wenn keine extrem hohe Genauigkeit erforderlich ist.

Lineare Erweiterungedit

Lineare Ausdehnung bedeutet Änderung einer Dimension (Länge) im Gegensatz zu Volumenänderung (volumetrische Ausdehnung).,In erster Näherung bezieht sich die Änderung der Längenmessungen eines Objekts aufgrund der Wärmeausdehnung auf die Temperaturänderung durch einen Koeffizienten der linearen Wärmeausdehnung (CLTE). Es ist die fraktionierte Längenänderung pro Grad der Temperaturänderung. Unter der Annahme einer vernachlässigbaren Druckwirkung können wir schreiben:

α L = 1 L d L d T {\displaystyle \alpha _{L}={\frac {1}{L}}\, {\frac {dL}{dT}}}

wobei L {\displaystyle L} eine bestimmte Längenmessung und d L / d T {\displaystyle dL/dT} die Änderungsrate dieser linearen Dimension pro Temperaturänderung ist.,

Die Änderung der linearen Dimension kann wie folgt geschätzt werden:

Δ L L = α L Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta L}{L}}=\alpha _{L}\Delta T}

Diese Schätzung funktioniert gut , solange sich der lineare Ausdehnungskoeffizient gegenüber der Temperaturänderung Δ T {\displaystyle \Delta T} nicht wesentlich ändert und die fraktionierte Längenänderung gering ist Δ L / L ≪ 1 {\displaystyle \Delta L/L\ll 1} . Wenn eine dieser Bedingungen nicht gilt, muss die genaue Differentialgleichung (unter Verwendung von d L / d T {\displaystyle dL/dT} ) integriert werden.,dargestellt durch:

ϵ t h e r m a l = α L Δ T {\displaystyle \epsilon _{\mathhrm {thermal} }=\alpha _{L}\Delta T}

wobei

Δ T = ( T f i n a l − T i n i t i a l ) {\displaystyle \Delta T=(T_{\mathhrm {final} }-T_{\mathhrm {initial} })}

ist die Temperaturdifferenz zwischen den beiden aufgezeichneten Stämmen, gemessen in Grad Fahrenheit, Grad Rankine, Grad Celsius oder Kelvin und α L {\displaystyle \alpha _{L}} ist der lineare Wärmeausdehnungskoeffizient in „pro Grad Fahrenheit“, „pro Grad Rankine“, „pro Grad Celsius“ oder „pro Kelvin“, bezeichnet mit °F−1, R−1, °C−1 oder K−1., Im Bereich der Kontinuummechanik werden die Wärmeausdehnung und ihre Auswirkungen als Eigenstrain und Eigenstress behandelt.

Flächenausdehnungskoeffizient

Der Flächenausdehnungskoeffizient bezieht die Änderung der Flächenabmessungen eines Materials auf eine Temperaturänderung. Es ist die fraktionierte Änderung der Fläche pro Grad der Temperaturänderung., Wenn wir den Druck ignorieren, können wir schreiben:

α A = 1 A d A d T {\displaystyle \alpha _{A}={\frac {1}{A}}\, {\frac {dA}{dT}}

wobei A {\displaystyle A} ein Bereich von Interesse für das Objekt ist und d A / d T {\displaystyle dA / dT} die Änderungsrate dieses Bereichs pro Temperaturänderung pro Einheit ist.,

Die Änderung der Fläche kann wie folgt geschätzt werden:

Δ A A = α A Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta A}{A}}=\alpha _{A}\Delta T}

Diese Gleichung funktioniert gut, solange sich der Flächenausdehnungskoeffizient nicht wesentlich über die Temperaturänderung Δ T {\displaystyle \Delta T} ändert und die fraktionierte Flächenänderung gering ist Δ A / A ≪ 1 {\displaystyle \Delta A / A \ ll 1} . Wenn eine dieser Bedingungen nicht gilt, muss die Gleichung integriert werden.,

Volumenerweiterungedit

Für einen Festkörper können wir die Auswirkungen des Drucks auf das Material ignorieren, und der volumetrische Wärmeausdehnungskoeffizient kann geschrieben werden:

α V = 1 V d V d T {\displaystyle \alpha _{V}={\frac {1}{V}}\, {\frac {dV}{dT}}}

wobei V {\displaystyle V} das Volumen des Materials ist und d V / d T {\displaystyle dV/dT} ist die Änderungsrate dieses Volumens mit der Temperatur.

Dies bedeutet, dass sich das Volumen eines Materials um einen festen Bruchteil ändert. Beispielsweise kann sich ein Stahlblock mit einem Volumen von 1 Kubikmeter auf 1 ausdehnen.,002 Kubikmeter, wenn die Temperatur um 50 K erhöht wird, ist dies eine Ausdehnung von 0,2%. Wenn wir einen Stahlblock mit einem Volumen von 2 Kubikmetern hätten, würde er sich unter den gleichen Bedingungen auf 2.004 Kubikmeter ausdehnen, wiederum eine Ausdehnung von 0, 2%. Der volumetrische Ausdehnungskoeffizient wäre 0,2% für 50 K oder 0,004% K-1.,

Wenn wir den Ausdehnungskoeffizienten bereits kennen, können wir die Volumenänderung berechnen

Δ V V = α V Δ T {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\alpha _{V}\Delta T}

Im obigen Beispiel wird davon ausgegangen, dass sich der Ausdehnungskoeffizient nicht geändert hat, da sich die Temperatur geändert hat und die Volumenzunahme im Vergleich zum ursprünglichen Volumen gering ist. Dies ist nicht immer wahr, aber für kleine Temperaturänderungen ist es eine gute Annäherung.,e integriert werden:

ln ⁡ ( V + Δ V V ) = ∫ T i T f α V ( T ) d T {\displaystyle \ln \left({\frac {V+\Delta V}{V}}\right)=\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT} Δ V V = exp ⁡ ( ∫ T i T f α V ( T ) d T ) − 1 {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=\exp \left(\int _{T_{i}}^{T_{f}}\alpha _{V}(T)\,dT\right)-1}

Isotropen materialsEdit

Für isotrope Materialien die volumetrische Koeffizienten der thermischen expansion ist drei mal der lineare Koeffizient:

α V = 3 α L {\displaystyle \alpha _{V}=3\alpha _{L}}

Dieses Verhältnis ergibt sich, da das Handelsvolumen besteht aus drei zueinander orthogonalen Richtungen., Somit ist in einem isotropen Material für kleine Differentialänderungen ein Drittel der volumetrischen Expansion in einer einzigen Achse. Nehmen wir als Beispiel einen Würfel aus Stahl mit Seiten der Länge L. Das ursprüngliche Volumen beträgt V = L 3 {\displaystyle V=L^{3}} und das neue Volumen beträgt nach einer Temperaturerhöhung

V + Δ V = (L + Δ L ) 3 = L 3 + 3 L 2 Δ L + 3 L Δ L 2 + Δ L 3 ≈ L 3 + 3 L 2 Δ L = V + 3 V Δ L L. {\displaystyle V+\Delta V=(L+\Delta L)^{3}=L^{3}+3L^{2}\Delta L+3L\Delta L^{2}+\Delta L^{3}\Delta L^{3}+3L^{2}\Delta L=V+3V{\Delta L \über L}.,}

Wir können die Begriffe leicht ignorieren, da die Änderung in L eine kleine Menge ist, die beim Quadrieren viel kleiner wird.

Also

Δ V V = 3 ∆ L L = 3 α L ∆ T . {\displaystyle {\frac {\Delta V}{V}}=3{\Delta L \Delta L}=3\alpha _{L}\Delta T.}

Die obige Näherung gilt für kleine Temperatur-und Dimensionsänderungen (dh wenn Δ T {\displaystyle \Delta T} und Δ L {\displaystyle \Delta L} klein sind); aber es gilt nicht, wenn wir versuchen, zwischen volumetrischen und linearen Koeffizienten mit größeren Werten von Δ T {\displaystyle \Delta T} hin und her zu gehen ., In diesem Fall muss der dritte Term (und manchmal sogar der vierte Term) im obigen Ausdruck berücksichtigt werden.

In ähnlicher Weise ist der Wärmeausdehnungskoeffizient der Fläche zweimal so hoch wie der lineare Koeffizient:

α A = 2 α L {\displaystyle \alpha _{A}=2\alpha _{L}}

Dieses Verhältnis ist ähnlich wie im obigen linearen Beispiel zu finden, wobei zu beachten ist, dass die Fläche einer Fläche auf dem Würfel nur L 2 {\displaystyle L^{2}} beträgt . Auch bei großen Werten von Δ T {\displaystyle \Delta T} müssen die gleichen Überlegungen angestellt werden .,

Einfacher ausgedrückt: Wenn sich die Länge eines Festkörpers von 1 m auf 1,01 m ausdehnt, dehnt sich die Fläche von 1 m2 auf 1,0201 m2 aus und das Volumen dehnt sich von 1 m3 auf 1,030301 m3 aus.

Anisotrope Materialedit

Materialien mit anisotropen Strukturen, wie Kristalle (mit weniger als kubischer Symmetrie, zum Beispiel martensitische Phasen) und viele Verbundwerkstoffe, haben in der Regel unterschiedliche lineare Ausdehnungskoeffizienten α L {\displaystyle \alpha _{L}} in verschiedenen Richtungen. Infolgedessen ist die gesamte volumetrische Ausdehnung ungleich auf die drei Achsen verteilt., Wenn die Kristallsymmetrie monoklin oder triklin ist, unterliegen sogar die Winkel zwischen diesen Achsen thermischen Veränderungen. In solchen Fällen ist es notwendig, den Wärmeausdehnungskoeffizienten als Tensor mit bis zu sechs unabhängigen Elementen zu behandeln. Eine gute Möglichkeit, die Elemente des Tensors zu bestimmen, besteht darin, die Expansion durch Röntgenpulverbeugung zu untersuchen. Der Wärmeausdehnungskoeffizient-Tensor für die Materialien mit kubischer Symmetrie (z. B. FCC, BCC) ist isotrop.